黃 翔，李小新

（1.安徽中醫(yī)藥大學醫(yī)藥信息工程學院，安徽 合肥 230012；2.池州學院大數(shù)據(jù)與人工智能學院 安徽 池州 247000）

變限積分函數(shù)是一種特殊的函數(shù)表示方法，它用定積分的形式解決了在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)存在性問題.教學中，變限積分函數(shù)的求導問題是教學的重點與難點，也是考試?？贾R點，因此對變限積分函數(shù)的求導方法探討是教學研究的熱點之一.

文傳軍等[1]將積分變限的函數(shù)求導問題歸納為公式型、乘積型和換元型，并給出了通用的基于復合函數(shù)形式的含積分變限函數(shù)求導方法.宋傳靜[2]由易到難依次給出五個求導公式，并結(jié)合例題比較五個公式的解題過程的難易度.朱忠華[3]結(jié)合實例講解變限積分函數(shù)的求導以及其在微積分各主要內(nèi)容中的應用.熊良鵬等[4]探討了變限積分函數(shù)的求導性質(zhì)在極限計算及積分不等式證明兩類問題的應用.侯玉雙等[5]針對學生在學習變限積分函數(shù)求導數(shù)時通常出現(xiàn)的三類錯誤，結(jié)合牛頓-萊布尼茲公式，提出了變限積分函數(shù)求導的F-方法.品希大[6]探討了一元函數(shù)變限積分函數(shù)及其導數(shù)的教學方式，舉例并歸類說明不同類型題目如何正確用積分函數(shù)求解.陸宜清[7]介紹由變限積分函數(shù)所衍生的積分函數(shù),討論了變限積分函數(shù)在證明定積分性質(zhì)方面的應用.

本文例舉變限積分函數(shù)求導公式在近十年的全國大學生數(shù)學競賽和碩士研究生入學考試試題中若干應用，以期對同學們后續(xù)課程學習、數(shù)學競賽、考研、進行學術研究等方面提供必要幫助.

1 定義與公式

如果函數(shù)f(t)在區(qū)間[a,b]上可積，x∈[a,b]，則變動上限的積分是關于x的函數(shù)，稱為變上限積分函數(shù).同理稱為變下限積分函數(shù)，統(tǒng)稱為變限積分函數(shù).

變限積分函數(shù)求導問題是高等數(shù)學課程考查的重點，在張磊等[8]中可以查閱以下求導公式，在此不給證明.

需要指出的是，公式（1）是溝通導數(shù)與定積分的橋梁，是后面公式的基礎，公式（2）是公式（1）的推廣，是變限積分函數(shù)求導的一般公式，在平時教學中應用較多，特別注意，該公式是被積表達式中不含有求導變量x時才能使用；公式（3）是被積函數(shù)含參變量的積分函數(shù)的求導公式，顯示積分函數(shù)求導過程中，求導與求積次序可以互換，公式（4）是含參變量的變限積分函數(shù)的求導公式，作為其推廣，公式（5）是對被積函數(shù)是復合函數(shù)含參變量的變限積分函數(shù)求導.

特別地，對于含參變量的變限積分函數(shù)的求導一般可通過“變量分離和變量替換”將含參變量的變限積分函數(shù)轉(zhuǎn)換成直接可以用公式（1）、（2）求解的形式.

2 應用舉例

3 結(jié)論

變限積分函數(shù)是一類非常重要的特殊函數(shù)，它的求導公式必須熟練掌握并能進行各方面的應用。應用時要注意區(qū)分積分變量、函數(shù)參變量以及函數(shù)的復合形式，采用變量分離和變量替換時與常義積分相似，需要遵循“換元必換限”的原則.公式（5）更具有一般性、直接性、適用范圍廣的優(yōu)勢，但是也具有形式復雜，記憶理解困難的特點.在教學中，建議根據(jù)學生基礎，講解深度需難易結(jié)合，既能吸引學生學習興趣，又能避免學生產(chǎn)生畏難、排斥心理.