李 鋒

(福建省連江第一中學(xué),350500)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出,高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,通過創(chuàng)設(shè)問題情境,引發(fā)學(xué)生探究、思考,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),并深入挖掘數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值．解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要分支,在上述方面顯示出非凡的教育價值,對促進(jìn)學(xué)生智力發(fā)展和形成理性思維,發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)等，有著獨(dú)特的、不可替代的作用．本文對此進(jìn)行探究.

一、問題的提出

人教A版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第二章“圓錐曲線與方程”中有如下兩題:

問題1如圖1,已知定點(diǎn)A在半徑為r的圓O內(nèi),點(diǎn)P是圓O上的動點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)Q為線段AP的垂直平分線l和半徑OP的交點(diǎn),則點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么?

問題2如圖2,已知定點(diǎn)A在半徑為r的圓O外,點(diǎn)P是圓O上的動點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)Q為線段AP的垂直平分線l和直線OP的交點(diǎn),則點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么?

這兩個問題背景相似,內(nèi)涵深刻．在此基礎(chǔ)上,通過變式引導(dǎo)學(xué)生開展探究,重點(diǎn)研究一類背景相似圓錐曲線的軌跡問題,充分挖掘其中的數(shù)學(xué)思想,可有助于引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟坐標(biāo)法的本質(zhì),突出解析幾何的核心內(nèi)容、學(xué)科思想和研究方法,體現(xiàn)解析幾何的教育價值,提升學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．

二、教學(xué)過程設(shè)計

1.溫故知新,回歸概念本質(zhì)

師:請回憶并敘述橢圓、雙曲線的定義,畫出圖形并用符號表示橢圓、雙曲線上任意一點(diǎn)所滿足的幾何條件．

設(shè)計意圖回歸概念本質(zhì),使學(xué)生的思維退回到最基本也最重要的地方,為探究活動的開展奠定思維基礎(chǔ)．培養(yǎng)學(xué)生文字語言、圖形語言、符號語言等三種數(shù)學(xué)語言交流的能力,提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．

練習(xí):(1) 平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0)距離的和為10的點(diǎn)的軌跡是______,方程是______;(2) 平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0)距離的差為4的點(diǎn)的軌跡是______,方程是______;(3)平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0)距離的比為2的點(diǎn)的軌跡是______,方程是______.

設(shè)計意圖通過基礎(chǔ)練習(xí)題,小試牛刀,鞏固對橢圓、雙曲線概念的理解,鞏固求曲線軌跡方程的一些基本方法(如定義法、直接法)．通過學(xué)生答題,充分暴露出學(xué)生的思維,強(qiáng)化對概念本質(zhì)的理解,滲透數(shù)學(xué)文化,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．

2.變式探究,揭示概念內(nèi)涵

教師:拿出一張圓形紙片,如圖3,設(shè)點(diǎn)A是不同于圓心O的圓內(nèi)的一個定點(diǎn),先把紙片翻折起來,使圓周正好經(jīng)過點(diǎn)A,然后將紙片展開得到一條折痕l(為便于觀察,把直線l用鉛筆畫出來),類似地折下去,就會得到一些折痕．請大家仔細(xì)觀察上述折痕所圍成的輪廓,會是什么曲線?

活動說明學(xué)生進(jìn)行折紙試驗(yàn),開始有的學(xué)生很盲目,東折一下、西折一下,沒發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律．教師引導(dǎo)學(xué)生耐心地按一定規(guī)則進(jìn)行翻折,學(xué)生開始沿著圓形紙片的邊緣移動,慢慢有順序地翻折下去,最后發(fā)現(xiàn)折痕圍成的輪廓是個橢圓,如圖4．

設(shè)計意圖“折紙小世界,思維大舞臺”．學(xué)生在具體的折紙活動中,經(jīng)歷直觀感知、猜想歸納、分析綜合、抽象概括等思維活動,感受數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的思維抽象過程,發(fā)展直觀想象與數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．

師:請給出問題1的證明．

生:如圖5,由已知|QA|=|QP|,故|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r>|OA|，故點(diǎn)Q的軌跡就是以O(shè)，A為焦點(diǎn),r為長軸長的橢圓．

設(shè)計意圖回歸概念本質(zhì),加深定義理解．學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上進(jìn)行推理證明,思維由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識,培養(yǎng)直觀想象與邏輯推理核心素養(yǎng)．

師:能求出點(diǎn)Q的軌跡方程嗎?

設(shè)計意圖建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,鞏固求曲線軌跡方程的一般方法,感悟坐標(biāo)法下幾何與代數(shù)的和諧統(tǒng)一,發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．

教師:如果問題1中去掉限制條件“點(diǎn)A在圓O內(nèi)”,即點(diǎn)A在圓上或圓外,那么點(diǎn)Q的軌跡還會是橢圓嗎?

活動說明教師結(jié)合幾何畫板,引導(dǎo)學(xué)生觀察:如圖6(1)～6(2),當(dāng)點(diǎn)A在圓上,點(diǎn)Q與O重合;當(dāng)點(diǎn)A移動到圓外時,點(diǎn)Q“突然消失”(提問學(xué)生為什么?)．接著,教師追問,“如何改變題目條件,才能讓點(diǎn)Q‘重出江湖’,不一樣的條件對軌跡產(chǎn)生怎樣的影響?”經(jīng)過學(xué)生充分思考、交流,同時教師利用幾何畫板演示,最后歸納出下面幾種情形:如果點(diǎn)A在圓外,直線l與OP所在直徑的交點(diǎn)的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的雙曲線左支位于圓O內(nèi)部分(如圖6(3));直線l與射線PO的交點(diǎn)的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的雙曲線左支(如圖6(4));直線l與直線OP的交點(diǎn)的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的雙曲線(如圖6(5))．

設(shè)計意圖改變題目中條件“點(diǎn)A在圓內(nèi)”的限制,激勵學(xué)生進(jìn)行開放探究,進(jìn)一步深入挖掘問題的豐富內(nèi)涵,提升學(xué)生發(fā)散性思維的品質(zhì),發(fā)展學(xué)生的直觀想象與數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．

師:能否類似解答問題2,并求出點(diǎn)Q的軌跡方程?

活動說明學(xué)生通過類比問題1進(jìn)行解答．有不少學(xué)生認(rèn)為點(diǎn)Q軌跡只是雙曲線一支,原因是對于所給出的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)P,通過作圖分析,只能得出軌跡是雙曲線的一支．教師適時指出“點(diǎn)P是圓外的動點(diǎn)”,引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)改變點(diǎn)P的位置,再利用作圖得出雙曲線的另一支,同時利用幾何畫板進(jìn)行操作驗(yàn)證．

設(shè)計意圖通過類比,再次鞏固概念及求曲線方程的一般方法,培養(yǎng)概念思維,發(fā)展邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．

3.遷移應(yīng)用,深化概念理解

師:試解答如下問題系列:

變式1已知圓A:(x+3)2+y2=100內(nèi)一定點(diǎn)的坐標(biāo)為B(3,0),一個動圓經(jīng)過定點(diǎn)B且與圓A相內(nèi)切,求動圓圓心P的軌跡方程;

設(shè)計意圖通過設(shè)計有效的問題系列,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行針對性的變式訓(xùn)練,體現(xiàn)了一類背景相似的點(diǎn)的軌跡問題的求解策略．在應(yīng)用圓、橢圓及雙曲線的定義解題過程中,進(jìn)一步鞏固學(xué)生對概念的認(rèn)識,深化對概念的理解,提升學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．

4.總結(jié)反思,內(nèi)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

教師:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),請大家談?wù)勛约涸谥R與技能、思想與方法及情感體驗(yàn)等方面,有什么收獲與體會?

活動說明學(xué)生回顧總結(jié),對本節(jié)課所學(xué)到的知識進(jìn)行歸納,先請學(xué)生發(fā)表意見,鼓勵大家暢所欲言．最后教師作點(diǎn)評并適當(dāng)補(bǔ)充,尤其注意在思維及思想方法層面進(jìn)行梳理與提煉．

設(shè)計意圖對一節(jié)課的總結(jié),不能只單純對該節(jié)課所學(xué)到的知識進(jìn)行表層方面的總結(jié),還要在思維能力與數(shù)學(xué)思想方法層面進(jìn)行強(qiáng)調(diào)與提煉．讓學(xué)生自己嘗試歸納知識并感悟思想方法,可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力,形成善于總結(jié)反思的良好習(xí)慣．同時,適時補(bǔ)充與必要提煉,引導(dǎo)學(xué)生再次深度反思與感悟,促進(jìn)學(xué)生知識內(nèi)化、能力遷移和思維提升,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．

5.布置作業(yè),提升能力素養(yǎng)

(1)已知一個動圓過點(diǎn)A(4,0),且與圓C:(x+4)2+y2=100 相內(nèi)切,則這個動圓圓心的軌跡方程是______；

(2)已知一個動圓與圓C:(x+1)2+y2=25相內(nèi)切,同時與圓A:(x-1)2+y2=1相外切,則這個動圓圓心的軌跡方程是______.

變式已知一個動圓同時與圓C:(x+5)2+y2=36及圓A:(x-5)2+y2=4相外切,則這個動圓圓心的軌跡方程是______.

設(shè)計意圖進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識,強(qiáng)化定義求軌跡方程的方法,感悟橢圓與雙曲線之間的聯(lián)系與區(qū)別,提高數(shù)形結(jié)合解題的能力,養(yǎng)成用概念思維的習(xí)慣,發(fā)展直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．

三、感悟與思考

1.回歸概念本質(zhì),發(fā)展推理論證能力,形成理性思維的品質(zhì)

概念是一切數(shù)學(xué)思維活動的基礎(chǔ),學(xué)生在概念學(xué)習(xí)過程中所養(yǎng)成的思維方式、方法技能，是很容易進(jìn)行內(nèi)化與遷移的．本節(jié)課在探求軌跡問題時緊扣相關(guān)概念,返璞歸真,在概念的應(yīng)用中進(jìn)一步體會其本質(zhì)．推理論證能力是學(xué)好數(shù)學(xué)必需的一項基本能力,本節(jié)課不僅注重數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造過程中的合情推理——?dú)w納與類比,而且將這種非形式化的探索式論證轉(zhuǎn)化成有效的數(shù)學(xué)證明,很好地培養(yǎng)了學(xué)生的推理論證能力,使學(xué)生深刻體驗(yàn)數(shù)學(xué)的“真”,并震撼于數(shù)學(xué)的理性精神,形成理性思維的品質(zhì)．

2.變式引領(lǐng),遷移拓展,深入挖掘數(shù)學(xué)思想方法

“變式方法引領(lǐng)練習(xí)”是有中國特色數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的特征之一,每一個變式具有創(chuàng)新的意味,為學(xué)生思維能力的發(fā)展搭好“腳手架”, 既夯實(shí)基礎(chǔ),又提升思維品質(zhì)．本節(jié)課通過變式,引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行開放探究,充分挖掘課本習(xí)題的教學(xué)功能,發(fā)展學(xué)生的直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、推理證明等思維能力,體會其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法．如改變題目中的“點(diǎn)A在圓內(nèi)”這一限制條件,給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個開放探究的平臺,并造成學(xué)生的認(rèn)知沖突(當(dāng)點(diǎn)A移動到圓外時,點(diǎn)Q“突然消失”),然后在教師的不斷追問(“如何改變題目條件,才能讓點(diǎn)Q‘重出江湖’？不一樣的條件對軌跡產(chǎn)生怎樣的影響?”)之下,學(xué)生不僅強(qiáng)烈感受到數(shù)學(xué)美的沖擊,同時也獲得了聯(lián)系、運(yùn)動與變化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法研究問題的深刻體驗(yàn)．在不斷夯實(shí)基礎(chǔ)的同時,加深對概念的理解,使知識、思想與方法順利內(nèi)化、遷移．

3.關(guān)注核心,體現(xiàn)解析幾何的教育價值,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

圓錐曲線及其軌跡問題屬于解析幾何的核心內(nèi)容,而最本質(zhì)且處于核心地位的研究方法當(dāng)屬坐標(biāo)法．因?yàn)閿?shù)學(xué)的教育價值正是通過“學(xué)科思想和研究方法”來具體體現(xiàn)的,“坐標(biāo)法”滲透了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想．本節(jié)課通過探究一類背景相似圓錐曲線的軌跡問題,突出用坐標(biāo)法解決問題的一般思路,不僅提高了分析問題、解決問題的能力,接受數(shù)形結(jié)合等重要思想的熏陶,體會幾何與代數(shù)的和諧統(tǒng)一,更感受到數(shù)學(xué)美的巨大沖擊,加強(qiáng)了審美意識,樹立普遍聯(lián)系、對立統(tǒng)一、量變到質(zhì)變的辯證觀念,體現(xiàn)了解析幾何的教育價值．同時,學(xué)生不斷經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、推理論證、反思建構(gòu)等思維探究活動,很好地發(fā)展了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．