陳星玥

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,225002)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)提出了六個(gè)反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心素養(yǎng)，明確指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的標(biāo)志和體現(xiàn),數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)．本文以“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”推導(dǎo)為例,以“真情境”為出發(fā)點(diǎn),探索“真問(wèn)題”,激發(fā)“真思考”．

一、基于學(xué)科素養(yǎng)確立教學(xué)目標(biāo)

從知識(shí)體系來(lái)看,“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”不僅是“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”與“等比數(shù)列”的順延,作為一種特殊的函數(shù),也是“函數(shù)”的延續(xù),而且還為后繼深入學(xué)習(xí)提供了知識(shí)基礎(chǔ).從思想方法來(lái)看,錯(cuò)位相減法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,是求解混合數(shù)列前n項(xiàng)和的重要方法.從知識(shí)應(yīng)用價(jià)值來(lái)看,它是從大量現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)問(wèn)題中抽象出來(lái)的一個(gè)模型,前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中蘊(yùn)涵了基本的數(shù)學(xué)思想方法,它們?cè)跀?shù)列求和問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)．

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用,如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等,而且公式推導(dǎo)過(guò)程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法,都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成源于知識(shí),而知識(shí)理解、知識(shí)遷移和知識(shí)創(chuàng)新則反映了學(xué)習(xí)的三種水平．“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”主要涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理,且三者都處于二級(jí)水平．分析其操作性表現(xiàn),具體可見(jiàn)下表1．

表1

(續(xù)表)

綜上分析,將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為:理解等比數(shù)列的求和公式,能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題,提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；經(jīng)歷等比數(shù)列前n項(xiàng)和的探究過(guò)程,體會(huì)歸納與類比、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,領(lǐng)會(huì)“錯(cuò)位相減法”基本原理,提升邏輯推理素養(yǎng)．

二、圍繞目標(biāo)展開(kāi)教學(xué)設(shè)計(jì)

1.創(chuàng)設(shè)情境,聚焦數(shù)學(xué)與生活

引例一個(gè)打工族小明見(jiàn)近幾年房?jī)r(jià)逐年上漲,覺(jué)得房子還是早買(mǎi)好,但是苦于手上的錢(qián)不夠,于是去找吝嗇的老板借錢(qián),沒(méi)想到老板非常爽快地答應(yīng)了．但是提出一個(gè)條件：在30天中,我第一天借給你1萬(wàn)元,第二天借給你2萬(wàn)元,以后每天借給你的錢(qián)數(shù)都比前一天多1萬(wàn),這是老板提出的借錢(qián)方式．同時(shí),借錢(qián)第一天你得還給我1分,第二天還給我2分,以后每天還的錢(qián)都是前一天的2倍,30天后互不相欠如何?”(批注:計(jì)算小明還錢(qián)先按“分”為單位計(jì)算,最后換成單位“萬(wàn)元”)小明認(rèn)為,“一萬(wàn)一萬(wàn)”地借錢(qián),卻是“幾分幾分”地還錢(qián),很劃算．但轉(zhuǎn)念又想,老板這么吝嗇,為什么能讓自己占這么大的便宜?他很擔(dān)心自己會(huì)上當(dāng)……

設(shè)計(jì)意圖所設(shè)計(jì)的問(wèn)題情境不僅涵蓋舊知檢測(cè),也指向新的問(wèn)題,同時(shí)用的是現(xiàn)實(shí)情境,更能貼近生活,讓學(xué)生經(jīng)歷將生活問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題的同時(shí),發(fā)現(xiàn)另一類求和問(wèn)題．這樣的設(shè)計(jì)不僅活躍課堂氛圍,貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),也體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活,有利于學(xué)生能夠在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題,積累實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗(yàn)．

問(wèn)題1你認(rèn)為小明會(huì)吃虧嗎?老板到底借給小明多少錢(qián)了呢?

2.公式推導(dǎo),漸入深學(xué)的幽境

問(wèn)題2那小明總共需要還多少錢(qián)呢?

問(wèn)題3等差數(shù)列求和的方法能用來(lái)求解嗎?

追問(wèn)1回到定義，思考為什么倒序相加法不能幫助我們求解呢?

設(shè)計(jì)意圖喚醒學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn),從學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)與方法中尋求解決辦法,或得到解決問(wèn)題的靈感,而運(yùn)用倒序相加法得到等式2Sn=(1+229)+(2+228)+…+(229+1)是無(wú)法繼續(xù)求解的．經(jīng)歷等比數(shù)列前n項(xiàng)和的探究過(guò)程,體會(huì)歸納與類比,領(lǐng)會(huì)“錯(cuò)位相減法”基本原理,理解為什么用的是錯(cuò)位相減法．

引導(dǎo)學(xué)生回到定義思考,經(jīng)過(guò)啟發(fā),學(xué)生領(lǐng)悟到這兩類數(shù)列的本質(zhì)區(qū)別:等差數(shù)列是后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為定值,等比數(shù)列則是后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為定值.在等差數(shù)列求和的過(guò)程中,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以得到a1+an=a2+an-1=…,然而在這個(gè)具體的等比數(shù)列問(wèn)題里,則有1+263≠2+262≠22+261≠…,無(wú)法構(gòu)造出類似等差數(shù)列中的兩項(xiàng)和相等的形式,所以“倒序相加法”行不通．

追問(wèn)4是不是所有等比數(shù)列的前n項(xiàng)和都可以這樣求呢?請(qǐng)以公比為2的等比數(shù)列想一想?

設(shè)計(jì)意圖對(duì)于求以2為公比的特殊等比數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)生是有解題經(jīng)驗(yàn)的．經(jīng)過(guò)引導(dǎo),學(xué)生會(huì)自然聯(lián)想到將1變成2-1,又2+2=22,22+22=23,…,2n-1+2n-1=2n,連續(xù)依次向后相加,所以有Sn=1+2+22+23+…+2n=2n-1.這個(gè)過(guò)程說(shuō)明這種方法對(duì)一類問(wèn)題具有一般性,強(qiáng)調(diào)方法的聯(lián)系性.學(xué)習(xí)時(shí)要善于抽象共性問(wèn)題的一般方法,從一般方法角度認(rèn)識(shí)特殊方法.但是當(dāng)公比為3時(shí),就發(fā)現(xiàn)并非所有等比數(shù)列的和都可以這么求,幫助學(xué)生通過(guò)舉反例說(shuō)明某些數(shù)學(xué)結(jié)論不成立．

問(wèn)題4小明向老板借的錢(qián)數(shù)是一個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題,你用到了等差數(shù)列的求和公式.而小明需向老板還的錢(qián)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,你能幫小明找到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式嗎?

追問(wèn)1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是用a1,an,n或者用a1,d,n表示的.如果等比數(shù)列的前n項(xiàng)和存在公式,它可用哪些量來(lái)表示?

追問(wèn)2再來(lái)看S30=1+2+22+…+229，既然要用“首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是229，項(xiàng)數(shù)為30，公比為2”這些量來(lái)表示,那么是不是中間的這些項(xiàng)就需要消去?怎么樣消去它們?先來(lái)做一個(gè)練習(xí)．

如何求S30=1+2+22+…+229的結(jié)果?你能從中得到啟發(fā)嗎?(要求將你的演算過(guò)程寫(xiě)在草稿紙上)

(1)2×(1+2+22)=2+22+23;

(2)2×(1+2+22)-(2+22+23)=0.

設(shè)計(jì)意圖先通過(guò)類比等差數(shù)列,猜想出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式大致需要哪些量來(lái)表示,使學(xué)生初步意識(shí)到需要消去中間項(xiàng).通過(guò)一個(gè)練習(xí),讓學(xué)生乘以2后構(gòu)造出另一個(gè)等式,錯(cuò)一個(gè)位置相減，達(dá)到消去S30=1+2+22+…+229中間項(xiàng)的目的,從而求出S30=230-1.介紹這個(gè)做錯(cuò)位相減法,為公式的推廣作充分的鋪墊．這樣的設(shè)計(jì)讓學(xué)生經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)借鑒、分析與猜想、探索與發(fā)現(xiàn)方法等思維過(guò)程,感悟類比猜想、方程消元等數(shù)學(xué)思想方法,使學(xué)生能夠?qū)εc學(xué)過(guò)的知識(shí)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,通過(guò)對(duì)條件與結(jié)果的分析,探索等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)思路,并且在探索論證的過(guò)程中，能夠理解運(yùn)算是一種演繹推理,體會(huì)程序化思想的意義和作用．

追問(wèn)3現(xiàn)在你能推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式嗎?

追問(wèn)4若q=1,該如何求{an}的前n項(xiàng)和?

追問(wèn)5等差數(shù)列有兩個(gè)求和公式,等比數(shù)列有嗎?如果有,那又是怎么樣的?

設(shè)計(jì)意圖在前面特例分析的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)字母代替數(shù)發(fā)現(xiàn)一般的推導(dǎo)方法．使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象的過(guò)程,體會(huì)方程消元、轉(zhuǎn)化與化歸的神奇,積累代數(shù)式結(jié)構(gòu)分析的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,再與以前學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和相比較、分析,使學(xué)生初步建立數(shù)列的知識(shí)體系．

3.設(shè)置障礙,激發(fā)學(xué)習(xí)的欲望

例2求下列各式的和：

(1)1+x+x2+…+xn-2+xn-1;

(2)1+2×2+3×22+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1.

設(shè)計(jì)意圖例1通過(guò)遞進(jìn)式例題的設(shè)置,幫助學(xué)生復(fù)習(xí)和鞏固所學(xué)內(nèi)容,加深學(xué)生對(duì)公式本質(zhì)的理解,培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣,訓(xùn)練學(xué)生的規(guī)范解題步驟．例2的第(1)問(wèn)需要學(xué)生首先判別是否為等比數(shù)列.如是等比數(shù)列時(shí),注意分公比為1和不為1兩種情況,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度,第(2)問(wèn)既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,學(xué)生會(huì)感覺(jué)比較困難.啟發(fā)學(xué)生嘗試用等比數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)方法．再次鞏固本節(jié)課的難點(diǎn),也啟發(fā)學(xué)生不僅要掌握公式的本身,還要理解公式的由來(lái)，使學(xué)生能夠解決等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的基本問(wèn)題和應(yīng)用問(wèn)題,理解推導(dǎo)公式時(shí)的類比思想．

三、預(yù)期課堂教學(xué)生成與應(yīng)對(duì)

1.以“慢”促思,凸顯學(xué)生主體地位

學(xué)生是課堂教學(xué)的主體,讓學(xué)生獲取知識(shí)的過(guò)程“慢”一點(diǎn),還給學(xué)生一個(gè)“悟”的過(guò)程,才能更好地把知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過(guò)程在頭腦里進(jìn)行一個(gè)完整的梳理和有效的整合．因此,教學(xué)在適當(dāng)?shù)牡胤健奥毕聛?lái)是必要的.例如在公式推導(dǎo)過(guò)程中設(shè)計(jì)的幾個(gè)追問(wèn),就是為了給學(xué)生提供真正的思考素材,讓學(xué)生的探究更為細(xì)膩和自然,讓學(xué)生的體驗(yàn)更為真實(shí)和深刻．

2.分層教學(xué),助推學(xué)困生進(jìn)步

數(shù)學(xué)課堂上能和老師達(dá)成良性互動(dòng)的,往往是少數(shù)成績(jī)比較優(yōu)異的學(xué)生,而偏袒、重視學(xué)優(yōu)生也是大部分老師的慣性．長(zhǎng)期下來(lái)會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)“學(xué)困生”無(wú)法融入到課堂,其學(xué)習(xí)熱情便會(huì)被逐漸耗損．為此,教學(xué)設(shè)計(jì)中通過(guò)分層設(shè)疑、分層評(píng)價(jià)進(jìn)行強(qiáng)度不一的教學(xué)．這種分層設(shè)疑的方式,給學(xué)困生提供更多的表現(xiàn)自己的機(jī)會(huì)．有利于學(xué)生均衡參與,使不同水平的學(xué)生都能得到相應(yīng)的鍛煉與提升．