吳景峰

(廣東省廣州市美術(shù)中學(xué),510060)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版 2020 年修訂)》提出，注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合,提高教學(xué)的實效性,鼓勵學(xué)生運用信息技術(shù)學(xué)習(xí)、探索和解決問題[1].因此,教師應(yīng)重視信息技術(shù)的運用,優(yōu)化課堂教學(xué),轉(zhuǎn)變教學(xué)與學(xué)習(xí)方式．這一點，在對藝術(shù)生的教學(xué)中尤為重要.

本文以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)為例,談?wù)勗凇盎ヂ?lián)網(wǎng)+”背景下將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進行深度融合的途徑．

一、教學(xué)過程

1.品味歷史,情景引入

師:請大家觀看圖1,并回答問題．

問題1大家知道這張圖片出自哪里?它描述了什么?

設(shè)計意圖多媒體展示圖片,引出圓錐曲線這一主題,由此帶領(lǐng)學(xué)生了解數(shù)學(xué)史料．

問題2那大家想知道古代的數(shù)學(xué)家是如何發(fā)現(xiàn)這個圓錐曲線的呢?

教師播放微課——“橢圓的歷史”,內(nèi)容包括梅赫內(nèi)默斯在古代計時的沙漏(如圖2)中發(fā)現(xiàn)橢圓曲線,提出“用垂直于錐面某一母線的平面去截三種圓錐面可得三種曲線”;古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯提出“用不同角度的三個平面切割銳角圓錐得到三種曲線”，并用純幾何法高難度地證明“橢圓上任一點到兩個定點的距離之和為定值”;丹德林利用雙球模型,大大簡化阿波羅尼奧斯的證明,得到同上的結(jié)論．

設(shè)計意圖通過微課視頻,幫助學(xué)生了解橢圓的起源,體驗蘊含的數(shù)學(xué)文化,提升其直觀想象等核心素養(yǎng),并為下一步探究丹德林雙球模型埋下伏筆．

2.探究體驗,生成概念

問題3大家請看我手上的兩個物體,一個是網(wǎng)球,一個是手電筒,這兩個物體可以產(chǎn)生橢圓嗎?

生:可以,只要把球放在地面,打開電筒傾斜照射球,地面上便出現(xiàn)橢圓形的影子．

師:很好!那為什么這是橢圓呢?這是否符合阿波羅尼奧斯當(dāng)年提出的“橢圓上任一點到兩個定點的距離之和為定值”呢?借助幾何畫板把這個問題具象化,請大家觀察(如圖3)．當(dāng)年,丹德林利正是利用球與地面相切、錐面內(nèi)切的關(guān)系,建立起雙球模型(如圖4)．

問題4大家通過幾何畫板觀察(如圖5,動態(tài)展示),請認(rèn)真思考“橢圓上任一點到兩個定點的距離之和為定值”這結(jié)論中,“兩個定點”是什么?“距離之和”又是什么?“和”一定是定值嗎?

生:兩個定點就是兩個球與地面的切點,|PE|+|PF|就是距離之和,和應(yīng)該是定值．

師:為進一步驗證橢圓的這個結(jié)論,借助幾何畫板,得到圖7所示的動態(tài)模型,計算機驗證發(fā)現(xiàn)|PE|+|PF|是定值．

問題5請同學(xué)們依據(jù)學(xué)案問題串提示思考:丹德林當(dāng)年是如何利用雙球模型嚴(yán)格證明|PE|+|PF|為定值呢?

學(xué)生討論后,推選代表上臺展示并進行“說數(shù)學(xué)”．

設(shè)計意圖借助信息技術(shù),讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察探究-發(fā)現(xiàn)猜想-驗證證明”這個過程,既發(fā)揮藝術(shù)生特長,又能提升其直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng),為后面在畫紙上畫橢圓作鋪墊．

師:課前,每兩位同學(xué)已經(jīng)收到一張畫紙和一條20厘米長的繩子,其中,畫紙中間有共線的四個點A，B，C，D,其中AB為15厘米,AC為20厘米,AD為25厘米．

問題6請大家兩兩合作,根據(jù)畫紙上的提示,可以畫出橢圓嗎?怎樣畫?

學(xué)生展示其作品并回答:先在畫紙上選好A，B兩個定點,一個同學(xué)負(fù)責(zé)固定繩子兩端在那兩個點,另一個同學(xué)用鉛筆筆頭把繩子拉緊,同時作畫即可．

師:你們?yōu)槭裁床贿x其它點來固定繩子呢?

生:因為選A，C點繩子剛好繃緊,只能畫線段,選A，D點繩子不夠長,我們也試過選B，C點或C，D點,但發(fā)現(xiàn)畫紙不夠大．(教師通過Flash動畫展示畫橢圓的完整過程)

設(shè)計意圖藝術(shù)生在畫紙上作數(shù)學(xué)圖案,培養(yǎng)多動筆的習(xí)慣,同時,與信息技術(shù)的作圖對比,并應(yīng)用前面得到的結(jié)論,在操作中發(fā)現(xiàn)“定值”的條件,培養(yǎng)其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神．

問題7能類比剛學(xué)過的圓的定義,歸納出橢圓的定義嗎?

生:到平面內(nèi)兩定點A，B距離的和等于常數(shù)(大于|AB|)的點的軌跡叫做橢圓．

教師借助多媒體課件,歸納新知,并指出定義中的關(guān)鍵詞(平面內(nèi)、兩定點、和定值、定值常數(shù)大于|F1F2|)．

設(shè)計意圖學(xué)生找出并歸納橢圓概念的充分必要條件,進一步提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng),滲透類比的數(shù)學(xué)思想．

3.坐標(biāo)解析,推導(dǎo)方程

問題8我們前面是用什么方法來研究直線與圓的方程?一般步驟有哪些?

生:坐標(biāo)法,步驟有建系,設(shè)點,限定條件,代數(shù)方程,化簡．

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生回顧解析幾何的研究方法以及求曲線方程的通法．

師:我們可以把求曲線方程的步驟概括為“建設(shè)限代化”．

問題9請大家按照這5個步驟,分小組討論,如何推導(dǎo)出橢圓方程?

師:這是同學(xué)們最自然想到的常規(guī)思路,運算量雖大,卻是一般性的通法．

設(shè)計意圖學(xué)生經(jīng)歷橢圓方程的推導(dǎo),一題多解,思維碰撞,培養(yǎng)學(xué)生克服困難的毅力及勇于探索的科學(xué)精神,提升其數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)．

問題10是否有更簡便的推導(dǎo)方法呢?

教師通過多媒體展示數(shù)學(xué)史上的其他解法,如分子有理化,得

①

②

設(shè)計意圖開拓學(xué)生視野,鼓勵學(xué)生敢于突破教材方法,學(xué)會反思,培養(yǎng)批判精神．

這個方程我們稱其為橢圓的焦點在x軸上標(biāo)準(zhǔn)方程.

問題12可以總結(jié)一下橢圓方程中a，b，c的關(guān)系嗎?

生:MF1=a,OF1=c,OM=b,都是正數(shù),而且符合勾股定理a2=b2+c2．

師:那它們之間的有什么大小關(guān)系?

生:由定義可知a>c>0,由幾何關(guān)系可知a>b>0．

設(shè)計意圖令a2-c2=b2,除了使方程結(jié)構(gòu)簡化,還要指出其背后的幾何意義,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的簡潔之美,同時滲透數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、參數(shù)思想．

問題13a的變化(保持a>b,a>c且c不變)對橢圓有什么影響?

生:a越大,繩子越長,橢圓在x軸方向沒變化,但y軸方向會變化,橢圓越圓；反之,橢圓越扁．

師:在x軸方向沒變化嗎?

生:隨著a變大,在x軸方向也在擴大．

師:那是為什么呢?

生:剛剛在動手畫橢圓的時候,繩子越長,橢圓在x軸方向也在變寬．

師:觀察很仔細(xì)!我們已有橢圓方程了,大家可以從方程角度分析一下嗎?

生:代入y=0,發(fā)現(xiàn)橢圓與x軸交點就是(±a,0),因此a變大，圖象就往外擴充．

師:還有其它字母變化的影響,請同學(xué)們自行小結(jié),完成學(xué)案的表格(略)．

設(shè)計意圖利用幾何畫板驗證猜想,并從方程角度進行論證,滲透數(shù)形結(jié)合的思想．

問題14若以經(jīng)過橢圓兩焦點F1，F(xiàn)2的直線為y軸,線段F1F2的垂直平分線為x軸,那么橢圓的方程會怎么樣?

設(shè)計意圖利用類比對稱,化歸思想讓學(xué)生體會問題的本質(zhì)所在,位置不同,圖形一致,得出焦點在y軸上的方程,避免繁雜計算．

問題15橢圓的兩個標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b，c關(guān)系有變化嗎?

生:由x與y的對稱性,a，b，c關(guān)系沒有變化,仍然是a2=b2+c2,a>b>0．

問題16如何從方程判斷焦點位置?

生:焦點位置取決于a2的位置,所以大分母在哪個變量下,焦點就在哪個軸上．

設(shè)計意圖突出兩個標(biāo)準(zhǔn)方程的相同點與不同點,滲透數(shù)形結(jié)合思想．

4.回顧總結(jié),提煉思想

問題17請大家總結(jié)一下這節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

設(shè)計意圖利用多媒體,再次突出本節(jié)課的重點,提煉其數(shù)學(xué)思想．

二、總結(jié)與反思

1.融合信息技術(shù),融入數(shù)學(xué)文化

在引入橢圓的發(fā)展史時,強調(diào)阿波羅尼奧斯的結(jié)論,并引導(dǎo)學(xué)生一起進行探索與驗證,相比教材更自然地得到橢圓第一定義．利用丹德林雙球模型進行證明的時候,學(xué)生體驗數(shù)學(xué)家的探索過程,并借助幾何軟件的強大功能,把丹德林的思維過程呈現(xiàn)在學(xué)生面前,讓藝術(shù)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的文化價值和審美價值．

2.融合信息技術(shù),輔助傳統(tǒng)教學(xué)

本節(jié)課以橢圓為主線,設(shè)計一系列問題,一步步引導(dǎo)學(xué)生思考、探究、討論、歸納、總結(jié),構(gòu)建橢圓定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的知識體系．在這個過程中,信息技術(shù)發(fā)揮了重要作用．如橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),關(guān)鍵步驟需要紙筆運算，但有些問題則借助信息技術(shù)進行輔助,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新力.又如生活中的橢圓問題,由電筒照射網(wǎng)球,借助幾何畫板抽象出模型,層層深入,培養(yǎng)學(xué)生“觀察探究發(fā)現(xiàn)猜想驗證證明”的能力．

3.融合信息技術(shù),營造學(xué)習(xí)氛圍

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,利用信息技術(shù),把抽象問題具象化,為學(xué)生學(xué)習(xí)更多、更豐富的數(shù)學(xué)知識提供可能,也為學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)開拓了廣闊空間,有利于營造學(xué)習(xí)氛圍．藝術(shù)生是一個“很感性”的群體,他們對具象化的事物感興趣,也熟悉各種美術(shù)繪畫軟件的操作,因此,在教學(xué)中合理利用信息技術(shù)能大大激發(fā)藝術(shù)生的學(xué)習(xí)興趣與熱情．課例中,橢圓定義的發(fā)現(xiàn)探究及參數(shù)a變化對橢圓的影響,都是利用信息技術(shù)讓學(xué)生經(jīng)歷探究的過程,從而燃起藝術(shù)生的學(xué)習(xí)動力．