單堯

【摘要】伴隨著我國高中數(shù)學新教材的頒布，題根教學法在高中數(shù)學課堂上被應(yīng)用就顯得尤為重要.筆者基于自己多年的教學實踐，總結(jié)出這種教學法所富有的教學意義與價值，接著又從三個方面講解了該教學方法的有效實施路徑，希望能夠最大限度地發(fā)揮出該教學方法的作用，使學生能夠從中得到更多有價值的數(shù)學收獲.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學;題根教學法;教學

高中數(shù)學是中學的一門非常重要的基礎(chǔ)性課程，同時也是一門比較容易丟失分數(shù)的學科.這是因為這門學科本身具有一定的學習難度，再加上對學生也做出了較高的思維要求.這也就容易出現(xiàn)這樣一種情況：當學生解決不出某一道數(shù)學難題，學生就會對這門學科的學習產(chǎn)生出一定的消極情緒.而數(shù)學知識之間是具有一定的聯(lián)系性和連貫性的，高中數(shù)學教師可以基于這一特點，對學生進行合理的“題根”模式教學，幫助學生正確找到學習數(shù)學課程的技巧，從而有效促進學生的數(shù)學成績得到明顯提升.

一、題根教學法的概述

“詞根”這個詞最初是在英語教學中產(chǎn)生的，其含義比較固定，掌握了詞根，就能迅速記住英語詞匯.而高中數(shù)學習題的題干則是由幾個已知的條件和最后的結(jié)論構(gòu)成的，這些已知的條件，也就是數(shù)學問題的“題根”.很多數(shù)學練習看似不同，其實都使用了同類的解題方式.我們把課本上的例題、習題，或一系列的變形、擴展、提煉，最后可以被廣泛地運用于解題的結(jié)論，統(tǒng)稱為“題根”.若是能抓住這些數(shù)學習題的題根展開教學，學生就能找到該類型數(shù)學習題的大致解決思路，這些數(shù)學習題也就可以迎刃而解.而題根可以是一個已知條件，也可以是一個數(shù)學公式，或者是一個數(shù)學定義等等，它是一類具有典型性和代表性的問題.作為一名高中數(shù)學教師，在實施題根教學法的過程中，必須帶領(lǐng)學生正確找到題根，學生才能真正領(lǐng)會到該教學方法的真諦，通過這種方式，學生們才能真正體會到高中數(shù)學學習的快樂.

二、題根教學法在高中數(shù)學教學中的教學價值

（一）題根教學法有利于幫助學生鞏固數(shù)學基礎(chǔ)

很多高中數(shù)學教師在選擇數(shù)學習題的時候，往往習慣于選擇一些自己所熟悉的或者難度較高的數(shù)學習題，但是這些習題有時候并不是學生所需要的.這樣的數(shù)學習題選擇，不但讓這些數(shù)學習題失去了本身原有的教學價值，而且會浪費學生學習高中數(shù)學這門課程的時間和精力，學生的數(shù)學學習效果不理想.而題根教學法的實施，則可以幫助教師在數(shù)量廣大的數(shù)學習題中找到既促進教學目標完成又滿足學生數(shù)學學習需求的數(shù)學習題.教師通過務(wù)實基礎(chǔ)選擇數(shù)學習題，這樣不僅可以幫助學生鞏固數(shù)學基礎(chǔ)，而且可以讓學生形成系統(tǒng)的數(shù)學解題思路.

比如，在學習“棱錐”的時候：首先，教師可以為學生選擇一道求三棱錐體積的習題，并且令學生獨立思考解決該習題的思路.其次，教師不要急于說出正確的解題方法，而是讓學生舉手分享自己的內(nèi)心想法.有的學生可能會舉手說：“我認為可以用定義法來解決.”有的學生可能還會舉手補充：“我認為還可以用分割法來解決.”最后，教師可以向?qū)W生講解所有的解題思路，并且將學生所做出的回答進行總結(jié)，讓學生了解到解決這道習題的秘訣在于找到三棱錐中的垂直關(guān)系，這是錐體體積習題的題根，同時也是解決錐體體積習題的重要思路.通過這樣的數(shù)學教學，學生也就可以正確認識到錐體體積習題的題根，讓學生的數(shù)學基礎(chǔ)得到更好的鞏固.

（二）題根教學法有利于幫助學生形成靈活思維

變式訓練，是高中數(shù)學這門課程中的重要教學模式之一，但變式訓練并不是簡單地將某一個數(shù)學習題的數(shù)據(jù)進行修改.一個好的數(shù)學變式訓練應(yīng)該是對某一類數(shù)學習題的再次鞏固和升華，更是對學生數(shù)學思維的一種開拓.而“題根”教學方法能使高中數(shù)學教師更好地進行“變式”的練習.教師可以將某個數(shù)學習題的題根作為引導學生展開數(shù)學探究的起點，隨之而來的將會是更多的數(shù)學習題，使學生可以從中得出更加深奧的數(shù)學知識.學生要想學好高中數(shù)學這門課程，本身就必須形成更加靈活的思維，才能更加輕松地拿下這門課程.

比如，依舊以“棱錐”為例子.首先，教師可以將上面求三棱錐體積的習題進行改變，讓學生求取該三棱錐體積的最大值，并且令學生思考該習題有幾種解決方法.其次，教師可以在學生思考的過程中進行提點：“想一想，這道習題與我們之前所講解的是否有相似之處？它的題根是什么呢？”這時候，有的學生可能就會從中受到啟發(fā)：“我認為首先應(yīng)該列出求三棱錐體積的公式，找到其中的變量，這樣才可以求出該三棱錐體積的最大值.”最后，教師就可以向?qū)W生公布所有可能讓三棱錐體積最大的情況，并且再次為學生留出獨立思考的時間，讓學生可以自主確定該變式習題的正確答案.通過這樣的數(shù)學教學，學生的數(shù)學思維也將會得到更好的培養(yǎng).

（三）題根教學法有利于幫助學生克服數(shù)學難題

高中數(shù)學這門課程的講解肯定需要用到數(shù)量眾多的數(shù)學難題，但是，直接將這些數(shù)學難題擺放在學生的眼前，學生往往很難做到一下子完全接受，甚至還會因此而產(chǎn)生出一定的消極情緒.而題根教學法，則可以幫助學生克服掉這些數(shù)學難題.教師可以找出某一題根，將其作為數(shù)學難題的一個跳板，為學生做好鋪墊.當學生有了之前的數(shù)學鋪墊之后，學生也就可以自然而然地過渡到數(shù)學難題的解題思路中.這樣不僅可以讓學生產(chǎn)生出克服數(shù)學難題的成就感和自豪感，而且可以有效提升學生在數(shù)學課堂上的參與度，學生的數(shù)學學習成績也就會直線上升.

比如，依舊以“棱錐”為例子.首先，教師可以選擇一道歷年求取三棱錐體積的數(shù)學真題，由于有了之前的鋪墊，相信學生對該類型的數(shù)學習題已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ).其次，教師可以讓學生之間互相討論這道求三棱錐體積數(shù)學真題的解決方案，增進學生之間的數(shù)學交流.最后，教師可以帶領(lǐng)學生經(jīng)過嚴密的推理以及精確的計算而得出這道習題的正確答案.通過這樣的數(shù)學教學，學生也就會建立起克服數(shù)學難題的自信心.

三、高中數(shù)學教學中“題根”教學法的實踐途徑

（一）正確尋找題根，發(fā)掘本質(zhì)

高中數(shù)學教師要想讓題根教學法能夠發(fā)揮出真正的教學價值，第一步要做的就是帶領(lǐng)學生正確尋找數(shù)學習題的題根，引導學生發(fā)掘出數(shù)學習題的本質(zhì).當學生能夠充分掌握到某類型數(shù)學習題的題根之后，他們也就可以將這些數(shù)學習題輕松解決掉.

比如，在學習“解三角形”的時候，我們有兩大武器可以選擇——正弦定理、余弦定理.首先，老師可以根據(jù)正弦和余弦定理，為學生提供一種數(shù)學練習：“在一個三角形中，tan B的值為3[]4，邊長b的值為2，假如sin A的值為1[]2，求它的另外兩個邊長”，并且讓學生獨立解決這道習題.其次，老師引導學生們分享和交流個人的思考方式與解題思路.有的學生可能就會開始舉手分享：“我選擇運用正弦定理來解決.”而其他學生可能就會繼續(xù)：“這道題還可以用余弦定理來解決.”這時候，學生之間可能會出現(xiàn)分歧，教師就可以讓學生將這兩種解決方法進行對比，找出更加簡便的方法.最后，教師可以帶領(lǐng)學生進行總結(jié)，在今后遇到兩角一邊的情況時，選擇正弦定理進行解決更好.

（二）展開多種變式，加強鍛煉

當學生已經(jīng)學會如何正確尋找數(shù)學習題的題根之后，為了幫助學生更好地鞏固，高中數(shù)學教師應(yīng)該靈活地展開多種數(shù)學變式教學，加強對學生的思維鍛煉.當學生可以輕松地解決數(shù)量較多的數(shù)學習題的時候，學生的數(shù)學解題能力也就會得到相應(yīng)的提高.

比如，依舊以“正弦定理和余弦定理”為例.首先，教師可以將以上習題進行變化：在一個三角形中，tan B的值為3[]4，邊長b的值為2，解此三角形面積的最大值.其次，學生在之前的基礎(chǔ)上展開探究，并且得到結(jié)論：當三角形另外兩個邊長相等時，這個三角形的面積就會得到最大值.最后，教師再次將該習題進行變式：“同學們，你們再想一想，若是將該三角形的面積進行改變的話，那么這個三角形還會有怎樣的變化呢？”學生也就會再一次展開積極的數(shù)學探究.教師通過這樣不斷地為學生展開變式訓練，引導學生逐步展開深入探究，讓學生們在學習的同時，也能使數(shù)學思維更加靈活機動.學生在今后遇到類似的數(shù)學習題時，也就會嘗試著采用多種角度思考和解決，這對學生的數(shù)學思維發(fā)展將有著意想不到的積極作用.

（三）引導總結(jié)題根，深化認知

總結(jié)，是學生學習數(shù)學課程過程中不可或缺的重要部分.單單只靠尋找題根和變式教學，學生的數(shù)學學習將會是不完整的，甚至還會產(chǎn)生出邊學邊忘的尷尬情景.因此，高中數(shù)學教師要引導學生總結(jié)題根，深化學生對數(shù)學題根的認知，以此促使學生可以正確認識到數(shù)學典型習題為他們的數(shù)學學習帶來的巨大價值.

比如，依舊以“正弦定理和余弦定理”為例.首先，教師可以讓學生回顧剛剛的解題過程，并且進行一定的反思，讓學生找出剛剛的不足之處.其次，教師可以讓學生將之前所做過的習題擺放在一起進行對比，讓學生發(fā)現(xiàn)這些習題之間的遞進性.最后，教師可以讓學生總結(jié)解決這些習題所用到的題根，以此來幫助學生加深印象，使學生在今后遇到正弦定理或者余弦定理習題的時候，可以有更加明確的解題思路.所以，教師通過帶領(lǐng)學生對題根進行總結(jié)，讓學生充分感受到數(shù)學課程的奧妙之處，并且提高了學生對數(shù)學解題方法的認識以及運用能力.

（四）有效設(shè)計范例——題根，提高學生解決問題的能力

有很多數(shù)學問題，表面上看起來很不一樣，但實際上所用到的方法卻是類似的.在日常數(shù)學教學中，我們?nèi)裟懿蹲降竭@些典型的數(shù)學問題，并將其作為范例形式加強訓練，那么在面對成千上萬的數(shù)學題時，學生將不再感到不知所措，而是能夠迅速地發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，找到關(guān)鍵的題根，從而掌握問題的精髓，進而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和動力.那么題根該從哪里探尋呢？

1.公式題根

比如，已知tan a=2，

求：3sin a+2cos a[]

sin a-cos a.

解：3sin a+2cos a[]

sin a-cos a=3tan a+2[]tan a-1=3×2+2[]2-1=8.

由于已知分子、分母是齊次式，所以可直接除以cos a，轉(zhuǎn)換為僅包含tan a的式子，即進行求解，得到8.

在上述范例中，我們不斷地抓住來自公式的題根，從而掌握問題的本意.在無數(shù)的數(shù)學公式中，每一個公式都可以作為解題的一個新的增長點，產(chǎn)生新的問題和知識.在此過程中，我們不能忽略公式的變式，可以看出，公式和公式的變形形式是題根的一個重要因素和來源.

2.方法題根

當解答一些數(shù)學問題時，通常會有一定的解法和步驟，如果能熟練地掌握和運用這些解法和步驟，當學生遇到這一類的問題時，就可以很好地解決問題了.

比如，（1）計算y = x3-x +3在（1，3）處的切線方程.在某點處的切線方程中，其關(guān)鍵字是“在”，表示此點為切點，因此該直線是唯一的.過某點處的切線方程中，其關(guān)鍵字是“過”，說明這個點未必就是切點，所以這條線并非唯一的.在實際教學中，可將此解法分成如下步驟：（1）設(shè)切點;（2）寫切線方程;（3）代入所過點;（4）求解方程，得到切點坐標;（5）從切點求得切線方程，最終得到2x-y+1=0，或 x+4 y-13=0.

這兩個問題是高中階段數(shù)學切線問題中的一個重要考題，其重點是對特征詞的判斷和對切點的判斷，是一種很明顯的方法類題根.在日常教學中，通過幫助學生正確認識關(guān)鍵字，并能正確理解具體的操作步驟，可以減少學習上的錯誤.

上面的例子統(tǒng)稱為“范例題根”.通過對老師所提供的范例的觀察，學生可以對傳統(tǒng)的解題方式進行研究，從而使問題的解法更易于由學生進行歸納和提煉.與傳統(tǒng)的學習方式相比較，范例學習與題根教學密切相關(guān)，其優(yōu)點在于：（1）范例學習中，采用標準范例，提出了恰當?shù)慕忸}方式，讓學生更注重知識結(jié)構(gòu)的構(gòu)建，避免出現(xiàn)問題的錯誤解決方式，不但節(jié)省了時間，而且可以緩解學生在學習中的壓力，幫助他們提高學習效果.（2）大部分學生會選擇對老師所給出的范例進行分析，而非依靠自己的復雜無章的計算來解決問題，所以，范例學習可以讓學生更輕松地獲得知識.教師在教學中要為學生提供大量的學習、研究和模仿的范例，以及研究怎樣設(shè)計范例“題根”.（3）范例學習能夠最大限度地調(diào)動學生的學習積極性，改變他們的被動接受習慣，所以，范例學習能夠加速學生的數(shù)學遷移，幫助他們高效率地解決數(shù)學問題.

（五）善于發(fā)掘表面上簡單的數(shù)學問題，深入思考尋找“根”

從簡單到復雜是解決問題的一條有效途徑.在實際的解題教學中，不少老師都對這種重要的教學方式未給予重視，甚至存在著不以為然的態(tài)度.有些學生對于覺得很簡單的問題就會馬上入手解答.有些老師在教學中，對于簡單的問題往往點到為止、一帶而過，覺得“題目太簡單，沒什么好講解的”.但是，復雜的本質(zhì)來源于簡單，不管是學習數(shù)學知識，或者培養(yǎng)學生的數(shù)學邏輯思考和探索的能力，都是從簡單開始的.對一些看似簡單的數(shù)學題目，教師要善于激活學生的思維之門，將學生的主觀能動性調(diào)動起來，使其經(jīng)過必要的“變化”來發(fā)現(xiàn)問題的普遍形式，從而在深層思考中尋“根”.

例如：在一節(jié)關(guān)于數(shù)列的練習中，教師會給學生提供下列練習：

已知數(shù)列{an}的首項a1=1，且an+1-an=n+1（n∈N），求數(shù)列∑10[]k=11[]ak.

如果是平時，許多教師都只是簡單地解答這道題，而那些有著豐富教學經(jīng)驗的教師，在看到問題后，首先會深思：“這道題很容易，但如何才能將‘簡單’教得更有效？”對此，在教學中融入“以學定教”與“以教導學”教學理念，即教師不能包攬、代勞，要避免越俎代庖，而要根據(jù)學情來確定教法;同時，教學要避免停留于表面，即在傳授知識、滲透數(shù)學思維和方法的過程中，要進行循循善誘的引導.為此，可以采用以下幾種教學方式：

在展示完問題之后，老師并沒有馬上解答，而是讓他們思考一下自己的解題方法，再按照自己的想法和預先設(shè)定好的方案，嘗試著解出來，結(jié)果大部分同學都能找到正確的答案，而且解題思路也基本一致.為推動預先設(shè)定的教學方案，教師在課堂結(jié)束后，將兩名同學的解題過程以實體投影形式呈現(xiàn).學生的解題思路是：先用累加法求得數(shù)列{an}的通項公式an即n（n+1）[]2，然后根據(jù)這一點得到倒數(shù)1[]an即2[]n（n+1），隨后再把它拆開，即1[]an=21[]n-1[]n+1，接著用錯位加法計算∑10[]k=11[]ak.

老師對這一解答給予了肯定的評價，接著提問：“不過，這道題目是不是就這么算完了？問題的解決流程是否可以被優(yōu)化？大家的思路能不能拓寬一下？”然后老師拋出一些思考和探究的題目：（1）這是一道高考題目，雖然每個人都能找到答案，但是，從“特殊”到“普遍性”的思考模式來看，這個問題的核心是：有哪些條件，結(jié)論是什么？能不能對一般性的問題進行分析？（2）請同學們分享個人觀點，并根據(jù)自己的分析找出解題方式的不同之處.這個結(jié)論是否唯一？（3）這類數(shù)列問題能不能利用一般命題來優(yōu)化？由此，教師與學生對所要解答的問題的性質(zhì)有了進一步的了解，即要求解一個數(shù)列遞推關(guān)系的數(shù)學問題，它的一般性質(zhì)：若已知數(shù)列{an}的首項，并且該數(shù)列滿足an+1=pan+f（n）（n∈N）的遞推關(guān)系，則數(shù)列{an}的通項公式是什么？就此老師基于f（n）的類型，為解題做示范與指導，即若 f（n） 為一次函數(shù)，即an+1=pan+bn+c，可構(gòu)造an+1+λn+μ=p[an+λ（n-1）+μ]，借助待定系數(shù)法，求出參數(shù)λ，μ.若f（n）為二次函數(shù)（或二次以上函數(shù)），可構(gòu)造an+1+λ（n+1）2+μ（n+1）+η=p[an+λn2+μn+η]，通過待定系數(shù)法求出參數(shù)λ，μ，η.若an+1=pan+qn，則可構(gòu)造新的等比數(shù)列來求解：當p=q時，即an+1=pan+pn，由an+1+t（n+1）pn+1=p（an+tnpn），求得t=-1[]p，于是可構(gòu)造等比數(shù)列an-1[]ppn;當p≠q時，由an+1+tqn+1=p（an+tqn），求得t=1[]p-q，于是可構(gòu)造等比數(shù)列an+1[]p-qpn.

教師在確定學生們對這些一般性結(jié)論和探究方式有了更深入的了解之后，就給他們安排了一個新的任務(wù)：利用已學“題根”，學習小組間進行編題、解題活動，回答別人編寫的問題，并做出相應(yīng)的評價.在這種情況下，“題根”的有效教學使學生更積極地參與到數(shù)學問題的實際操作中，使有關(guān)的“聯(lián)成體”“串成線”“生成根”的數(shù)學問題得到了進一步了解，意識到題根在數(shù)學中的重要作用.

四、結(jié) 語

綜上所述，題根教學法在高中數(shù)學課堂上的實施已經(jīng)變得尤為重要了.因此，高中數(shù)學教師在實施該教學方法的過程中要帶領(lǐng)學生正確尋找題根，使學生可以理清楚這類數(shù)學習題的解決方法，學生也就不會像一個無頭蒼蠅一樣，同類題目做了很多遍，稍微變化一點，就又不會做了.教師要對這一類型的題根展開適當?shù)挠柧殻瑥亩鴰椭鷮W生跳出數(shù)學題海，在舉一反三中找到學好高中數(shù)學課程的新思路.

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