李小朋

【摘要】定義是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，無論證明還是計(jì)算，歸根結(jié)底都要圍繞定義進(jìn)行，而實(shí)變函數(shù)課程中很多定義非常抽象，難以理解，給這門課程的學(xué)習(xí)者帶來了很大的困難.本文通過兩個(gè)例子把實(shí)變函數(shù)中出現(xiàn)的定義和在數(shù)學(xué)分析中同學(xué)們已經(jīng)熟知卻未必理解深刻的相似定義進(jìn)行比較，從而使學(xué)生在對新定義有了比較準(zhǔn)確的認(rèn)識的同時(shí)也對已經(jīng)學(xué)過的定義加深了理解.

【關(guān)鍵詞】比較法;上下極限;一致收斂;一致連續(xù);一致可積

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)階段，我們會遇到各種各樣的定義，而不同場合下的數(shù)學(xué)定義，有些名字很像甚至完全一樣，這并不是巧合，它們之間一定有著很深刻的聯(lián)系，我們要學(xué)會發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，這對我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定義有著很大的幫助，在實(shí)變函數(shù)中就有很多這樣的例子，以下是兩個(gè)實(shí)例.

一、集合序列上下極限和數(shù)列上下極限之間的比較

實(shí)變函數(shù)理論是集合論體系之下的，所以幾乎每本實(shí)變函數(shù)教材的開始都會介紹基本的集合論知識，其中一個(gè)重要概念就是集合序列的上下極限.我們先看看集合序列上下極限是如何定義的：

定義1（集合序列上下極限）：對于一串給定的集合A1，A2，…，An，…，我們稱

{x：有無窮多個(gè)n，使得x屬于An}

為這串集合的上極限，記為limnsup An，我們稱

{x：只有有限多個(gè)n，使得x不屬于An}

為這串集合的下極限，記為limninf An.

很多同學(xué)都感覺這個(gè)概念太抽象，難以理解，而數(shù)學(xué)分析里正好也有一個(gè)相似的定義，就是數(shù)列的上下極限.在聯(lián)系這兩個(gè)定義之前，我們需要把數(shù)學(xué)分析中一些相關(guān)定義進(jìn)行拓展，這是因?yàn)樵跀?shù)學(xué)分析體系，并沒有引入有關(guān)無窮大的計(jì)算，而在實(shí)變函數(shù)中需要引入無窮大的相關(guān)計(jì)算.

首先是上下確界的概念需要進(jìn)行拓展.數(shù)學(xué)分析中的確界存在公理說的是有上界的數(shù)集必有上確界，有下界的數(shù)集必有下確界，上下確界的定義局限于只能描述有界集合，這里我們可以把上下確界的定義拓展到無界集合，一個(gè)無上界集合的上確界定義為+∞，一個(gè)無下界集合的下確界定義為-∞.其次是單調(diào)收斂定理也可以拓展，原來單調(diào)收斂定理是單調(diào)有界數(shù)列必有極限，現(xiàn)在可以拓展為：任意單調(diào)數(shù)列都有極限，單調(diào)增加數(shù)列的極限就是這個(gè)數(shù)列轉(zhuǎn)化為數(shù)集的上確界，單調(diào)減小數(shù)列的極限就是這個(gè)數(shù)列轉(zhuǎn)化為數(shù)集的下確界.這樣數(shù)列上下極限的討論范圍就可以從數(shù)學(xué)分析中的有界數(shù)列變?yōu)橐话銛?shù)列.

定義1（數(shù)列上下極限）：設(shè){xn}n≥1是一個(gè)數(shù)列，令αn=infk≥n{xk}，βn=supk≥n{xk}，

則αn↑，βn↓.由于單調(diào)數(shù)列一定有極限，所以

liminfn→+∞ xn=limn→+∞αn=supn≥1{αn}=supn≥1infk≥n{xk};limsupn→+∞ xn=limn→+∞βn=infn≥1{βn}=infn≥1supk≥n{xk}

分別稱為數(shù)列{xn}n≥1的下極限和上極限.

數(shù)列上下極限定義的刻畫過程其實(shí)是非常典型的一種數(shù)學(xué)思維，就是對于一個(gè)復(fù)雜問題，我們總是先討論最簡單情況，然后再用簡單情況采用的辦法來幫助我們處理一般情況.所有數(shù)列中最容易直觀感受其極限變化過程的就是單調(diào)數(shù)列，所以我們先討論單調(diào)數(shù)列，在上下確界的定義幫助下，我們發(fā)現(xiàn)單調(diào)數(shù)列的極限一定存在，單調(diào)增加數(shù)列的極限就是這個(gè)數(shù)列轉(zhuǎn)化為數(shù)集的上確界，單調(diào)減小數(shù)列的極限就是這個(gè)數(shù)列轉(zhuǎn)化為數(shù)集的下確界.對于一般的沒有單調(diào)性的數(shù)列{xn}n≥1，我們分別刻畫了兩個(gè)包夾{xn}n≥1的數(shù)列{αn}n≥1和{βn}n≥1，對n≥1，有an≤xn≤βn，就取{αn}n≥1的極限作為{xn}n≥1的下極限，取{βn}n≥1的極限作為{xn}n≥1的上極限，即liminfn→+∞ xn=limn→+∞αn=supn≥1{αn}，limsupn→+∞ xn=limn→+∞βn=infn≥1{βn}.下面我們來仿照數(shù)列上下極限的定義來刻畫集合序列上下極限.

首先最容易直觀感受集合序列極限變化過程的就是單調(diào)集合序列，雖然對于集合來說缺少了上下確界這個(gè)定義的輔助，但我們同樣可以對集合實(shí)現(xiàn)上下確界的內(nèi)涵邏輯，數(shù)集的下確界的直觀解釋是最大下界，對于集合序列來說其最大下界恰好可以用交運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)，一列集合的交集正好比每一個(gè)集合都“小”，而且是最“大”的那個(gè)比每個(gè)集合都“小”的集合.相應(yīng)的，數(shù)集的上確界的直觀解釋是最小上界，對于集合序列來說其最小上界恰好可以用并運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)，一列集合的并集正好比每一個(gè)集合都“大”，而且是最“小”的那個(gè)比每個(gè)集合都“大”的集合，這樣我們就可以定義單調(diào)集合序列的極限了.

設(shè){An}n≥1是一個(gè)集合序列，如果對n≥1，有AnAn+1，則取{An}n≥1的極限為：limn→+∞An=∪+∞n=1An.

類似的，如果對n≥1，有AnAn+1，則取{An}n≥1的極限為：

limn→+∞An=∩+∞n=1An.

這樣最簡單的集合序列情形我們就刻畫好了.

其次，對于一般的集合序列{An}n≥1，我們用交并運(yùn)算，替換數(shù)列上下極限定義刻畫過程中用到的上下確界這個(gè)輔助定義，同樣可以刻畫兩個(gè)包夾{An}n≥1的集合序列{αn}n≥1和{βn}n≥1，對n≥1，有anAnβn，其中αn=∩k≥n{Ak}，βn=∪k≥n{Ak}，因?yàn)閧αn}n≥1和{βn}n≥1是單調(diào)集合序列從而有極限，其中{αn}n≥1是單調(diào)增加集合序列，就取{αn}n≥1的極限作為{An}n≥1的下極限，而{βn}n≥1是單調(diào)減少集合序列，就取{βn}n≥1的極限作為{An}n≥1的上極限，這樣我們仿照數(shù)列上下極限的定義邏輯就得到了一個(gè)集合序列上下極限定義.

定義2（集合序列上下極限）：設(shè){An}n≥1是一個(gè)集合序列，

令αn=∩k≥n{Ak}，βn=∪k≥n{Ak}，則αn↑，βn↓，

由于單調(diào)集合序列一定有極限，所以

liminfn→+∞ An=limn→+∞αn=∪n≥1αn=∪n≥1∩k≥nAk，

limsupn→+∞ An=limn→+∞βn=∩n≥1βn=∩n≥1∪k≥nAk

分別稱為集合序列{An}n≥1的下極限和上極限.

這個(gè)版本的集合上下極限定義和原始定義在形式上有所區(qū)別，但本質(zhì)上是等價(jià)的，下面我們來證明定義“1”和定義2這兩個(gè)版本的集合序列上下極限的定義等價(jià)：

定理：對于一串給定的集合A1，A2，…，An，…，都有下面兩式成立：

{x：有無窮多個(gè)n，使得x屬于An}=∩∞n=1∪∞k=nAk

{x：只有有限多個(gè)n，使得x不屬于An}=∪∞n=1∩∞k=nAk

證明：先證明第一個(gè)等式：對任意x屬于左邊集合，則有無窮個(gè)N，使得X屬于An，因此對任意大于等于1的自然數(shù)N，N之后一定有自然數(shù)K大于等于N，使得X屬于Ak，如若不然，就和已知有無窮多個(gè)An包含X矛盾，即X屬于右邊的集合，所以左邊的集合包含于右面的集合;另一方面，對任意X屬于右邊集合，由交集和并集的定義，對任意大于等于1的自然數(shù)N，都存在大于等于N的自然數(shù)K，使得X屬于Ak，按此邏輯，對于N=1，應(yīng)存在n1，使得X屬于An1，對于N等于n1+1，應(yīng)存在n2大于n1，使得X屬于An2，依次類推，我們可得到數(shù)列n1<n2<…<nk<…，使得X屬于每一個(gè)Ank，即有無窮多個(gè)An包含X，所以X屬于左邊的集合，所以右邊的集合又包含于左邊的集合，綜上，左右兩邊集合相等.

再來證明第二個(gè)等式：對任意X屬于左邊的集合，則至多有有限個(gè)An不包含X，假設(shè)一共有I個(gè)An不包含X，按下標(biāo)從小到大順序記為An1，An2，…，Ani，這樣當(dāng)K大于ni時(shí)，一定有X屬于Ak，即X屬于等式右邊的集合，所以等式左邊的集合包含于等式右邊的集合;

另一方面，對任意X屬于等式右邊的集合，由交集和并集的定義可知，存在N使得，對任意N大于等于N，必有X屬于An，這說明只有當(dāng)N小于N時(shí)才可能有X不屬于An，即至多有有限個(gè)An不包含X，所以等式右邊的集合也包含于等式左邊的集合，綜上，等式兩邊集合相等.

相信通過上面定義的比較，同學(xué)們通過定義2更容易理解和記憶集合序列上下極限這個(gè)相對比較抽象的數(shù)學(xué)定義.

二、函數(shù)列一致收斂，函數(shù)一致連續(xù)以及函數(shù)族一致可積之間的比較

實(shí)變函數(shù)中的EGOROFF定理給出了函數(shù)列幾乎處處收斂如何轉(zhuǎn)化為一致收斂的方法，其中函數(shù)列一致收斂和函數(shù)一致連續(xù)以及勒貝格積分下的函數(shù)族一致可積這三個(gè)定義中都提到了“一致”，它們之間有沒有什么聯(lián)系呢？雖然前兩個(gè)定義在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中就已經(jīng)學(xué)過了，可大多數(shù)同學(xué)對這兩個(gè)定義理解得都不到位，再加上更難理解的函數(shù)族一致可積這個(gè)新定義，更是不知所云.其實(shí)通過定義的比較，找出三者內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，這對理解這三個(gè)定義非常有幫助.我們先看看這三個(gè)定義的具體描述.

定義3（函數(shù)列一致收斂） 設(shè)函數(shù)列{fn（x）}n≥1和函數(shù)f（x）定義在閉區(qū)間[a，b]上，如果對ε>0，都N≥1，使得對x∈[a，b]，當(dāng)n≥N時(shí)，有|fn（x）-f（x）|<ε，

則稱函數(shù)列{fn（x）}n≥1在[a，b]上一致收斂于f（x）.

定義4（函數(shù)一致連續(xù)） 設(shè)函數(shù)f（x）定義在閉區(qū)間[a，b]上，如果對ε>0，都δ>0，使得對x∈[a，b]，y∈[a，b]，當(dāng)|x-y|<δ時(shí)，有|f（x）-f（y）|<ε，則稱函數(shù) f（x）在閉區(qū)間[a，b]上一致連續(xù).

定義5（函數(shù)族一致可積） 設(shè)E是一個(gè)Rn中的可測集合，F(xiàn)是一族在E上的可積函數(shù)，如果對任意ε>0，都有僅與ε有關(guān)的δ>0，使得對E的任意可測子集A，當(dāng)mA<δ時(shí)，對一切f∈F，都有∫Af（x）dx<ε，則稱F在E上是一致可積函數(shù)族.

這三個(gè)定義看上去有些相似，但又有很大差別，但事實(shí)上，當(dāng)我們選對觀察角度時(shí)，三者的思維邏輯是完全一樣的.所有收斂都會涉及三個(gè)問題：第一是收不收斂？第二是收斂到誰？第三是收斂的速度是多少？我們現(xiàn)在研究的這三個(gè)定義中關(guān)鍵詞“一致”，主要是和第三個(gè)問題相關(guān)，當(dāng)我們站在收斂速度這個(gè)角度來觀察，就會發(fā)現(xiàn)三者之間的聯(lián)系.

首先，我們先來看函數(shù)列一致收斂這個(gè)定義，其中的ε和N之間的配比關(guān)系就決定了收斂的速度，我們都知道函數(shù)列在閉區(qū)間[a，b]上一致收斂一定是點(diǎn)點(diǎn)收斂的，即對x0∈[a，b]，limn→+∞fn（x0）=f（x0），但不同的x0∈[a，b]，當(dāng)n→+∞時(shí)，fn（x0）收斂到f（x0）的速度是不一樣的，有的快有的慢，一般來說，對于相同的ε，取得能滿足要求的N越大，收斂速度越慢，反之，取得能滿足要求的N越小，收斂速度越快，點(diǎn)點(diǎn)收斂的時(shí)候，不一定能找到一個(gè)固定的速度（也就是某個(gè)ε和N之間的配比關(guān)系），這里我們可以把這個(gè)固定速度稱為控制速度，使得每一個(gè)x0點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)列fn（x0）收斂到f（x0）的速度都比這個(gè)控制速度快，被它所控制.而我們看一致收斂定義，里面的ε和N之間的配比關(guān)系就正好可以控制每一個(gè)x0點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)列fn（x0）收斂到f（x0）的速度，換句話說，每一個(gè)x0都對應(yīng)一個(gè)數(shù)列的收斂速度，如果我們能在這些速度中找到一個(gè)最慢的收斂速度，那么這個(gè)速度就是上面所說的控制速度，一旦找到了這個(gè)控制速度就可以實(shí)現(xiàn)一致收斂.

例如：設(shè)fn（x）=xn，x∈[0，1]，f（x）=0，x∈[0，1）

1，x=1，則顯然{fn（x）}n≥1在[0，1]上點(diǎn)點(diǎn)收斂于f（x）.但不同的x0∈[0，1]，fn（x0）收斂到f（x0）的速度是不一樣的，x0越接近于0，收斂速度越快，而x0越接近于1，收斂速度越慢，而且永遠(yuǎn)也找不到一個(gè)最慢的收斂速度作為控制速度，但對δ，0<δ<1，當(dāng)我們挖掉（δ，1]這個(gè)左開右閉區(qū)間后，對x0∈[0，δ]，fn（x0）收斂到f（x0）的速度都會比δn→0的速度快，從而δn→0就是我們?yōu)閷?shí)現(xiàn)一致收斂所需要的那個(gè)控制速度，即{fn（x）}n≥1在[0，δ]上一致收斂于f（x）.

其次，我們再來看函數(shù)一致連續(xù)這個(gè)定義，我們只需要把定義中的符號稍微換一下，我們馬上就能發(fā)現(xiàn)兩者的聯(lián)系.

定義4*（一致連續(xù)）設(shè)函數(shù)f（x）定義在閉區(qū)間[a，b]上，如果對ε>0，都

δ>0，使得對x0∈[a，b]，y∈[a，b]，當(dāng)|x-y|<δ，有|f（x0）-f（y）|<ε，則稱函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上一致連續(xù).

我們只是把定義4中的x替換成了x0，對比函數(shù)在x0連續(xù)的定義，這樣邏輯關(guān)系就會與函數(shù)列一致收斂和點(diǎn)點(diǎn)收斂的關(guān)系一模一樣，函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上一致連續(xù)一定會點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)，即對x0∈[a，b]，limx→x0f（x）=f（x0），但不同的x0∈[a，b]，當(dāng)x→x0時(shí)，f（x）收斂到f（x0）的速度是不一樣的，有的快有的慢，一般來說，對相同的ε，取得能滿足要求的δ越小，收斂速度越慢，反之，取得能滿足要求的δ越大，收斂速度越快，點(diǎn)點(diǎn)收斂的時(shí)候，不一定能找到一個(gè)固定的速度（也就是某個(gè)ε和δ之間的配比關(guān)系），這里我們可以把這個(gè)固定速度稱為控制速度，使得每一個(gè)x0點(diǎn)所對應(yīng)的f（x）收斂到f（x0）的速度都比這個(gè)控制速度快，被它所控制.而我們看一致連續(xù)的定義，里面的ε和δ之間的配比關(guān)系就決定了我們前面提到的控制速度，正好可以控制每一個(gè)x0點(diǎn)所對應(yīng)的f（x）收斂到f（x0）的速度，這和函數(shù)列一致收斂的情形是相同的.

最后，我們來看函數(shù)族一致可積這個(gè)定義，函數(shù)族一致可積的另一個(gè)叫法是積分等度絕對連續(xù)函數(shù)族，來源于可積函數(shù)的絕對連續(xù)性，這里所說的“連續(xù)”和函數(shù)的連續(xù)在形式上有區(qū)別，但本質(zhì)邏輯是一樣的，它是指當(dāng)積分區(qū)域A的測度趨于0時(shí)，f（x）的絕對值在A上的積分也相應(yīng)地趨于0，這里我們可以把連續(xù)函數(shù)的概念抽象成一個(gè)連續(xù)映射φ來理解，把自變量對應(yīng)積分區(qū)域A的測度值，而把f（x）的絕對值在A上的積分運(yùn)算值對應(yīng)映射本身，因?yàn)楫?dāng)積分區(qū)域測度為0時(shí)，積分值一定是0，所以我們刻畫的這個(gè)映射φ在自變量為0時(shí)，對應(yīng)的映射值也是0，即“φ（0）=0”，當(dāng)F為可積函數(shù)時(shí)，由可積函數(shù)的絕對連續(xù)性定理，當(dāng)自變量（也就是A的測度值）趨于0時(shí)，映射φ的像趨于φ（0）=0，這和普通函數(shù)在0點(diǎn)的連續(xù)性是一樣的，因此才有“連續(xù)”這個(gè)叫法.再回到定義5，對任意f∈F可看出當(dāng)mA趨于0時(shí)，有f（x）的絕對值在A上的積分趨于0，但是不對不同的F，積分值趨于0的速度是不一樣的，這個(gè)速度正是由定義中的ε和δ的配比關(guān)系所決定的，相同ε時(shí)，可取得的δ越大，收斂速度越快，反之則越慢，而定義5中的ε和δ是可以控制每一個(gè)F的收斂速度，也就是找到了一個(gè)所謂的“最慢收斂速度”，這就和前面兩個(gè)定義中“一致”完全對應(yīng)上了，事實(shí)上數(shù)學(xué)里有很多和“一致”相關(guān)的定義，基本上都是這個(gè)邏輯，所謂一致，一定是和無窮個(gè)收斂速度相關(guān)，在這無窮個(gè)收斂速度里如果能找到一個(gè)最慢的收斂速度，也就是前面反復(fù)提到的那個(gè)“控制速度”，那就是“一致”的，相信經(jīng)過這樣的比較，學(xué)生會對這三個(gè)定義有了更加深刻的認(rèn)識.

【參考文獻(xiàn)】

[1]江澤堅(jiān)，吳志泉，紀(jì)友清.實(shí)變函數(shù)論（第三版）.北京：高等教育出版社，2007.

[2]程其襄，等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ).北京：高等教育出版社，1997.

[3]歐陽光中，朱學(xué)炎，金福臨，等.數(shù)學(xué)分析：上，下冊（第四版）.北京：高等教育出版社，2019.