陳敬琪

【摘要】三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，是高考的必考知識(shí)點(diǎn)，它可以和很多知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的基礎(chǔ)。采取科學(xué)有效的教學(xué)策略，可以提高教學(xué)效率和學(xué)生學(xué)習(xí)效率。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);基礎(chǔ)知識(shí);一題多解;數(shù)學(xué)思想

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，同時(shí)也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一。高中數(shù)學(xué)人教2019版教材設(shè)計(jì)指出：通過三角函數(shù)的概念，性質(zhì)和應(yīng)用等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。學(xué)生通過三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，可以提高他們的思維能力、解決問題的能力和運(yùn)算能力，對后面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有積極的促進(jìn)作用。三角函數(shù)的概念相對抽象，難度較大，公式繁多且公式之間有存在一些關(guān)聯(lián)性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中會(huì)遇到很多困難，如：對誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、倍角公式的公式的記憶時(shí)常記混，不能明確應(yīng)用哪些公式去解題的情況司空見慣。因此，探究科學(xué)有效的三角函數(shù)教學(xué)策略是一個(gè)重要的課題。筆者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對提高三角函數(shù)的教學(xué)效率和學(xué)生學(xué)習(xí)效率提出自己的見解。

一、注重基礎(chǔ)知識(shí)的培養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)生的信心和興趣

基礎(chǔ)知識(shí)是最基本的知識(shí)技能，扎實(shí)的基礎(chǔ)是學(xué)習(xí)前進(jìn)的根源。三角函數(shù)的概念、公式和性質(zhì)是繁雜的，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中比較容易出現(xiàn)理解不清晰，公式混記等困難，而這些繁雜的概念、公式和性質(zhì)恰恰是三角函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是之后學(xué)習(xí)、應(yīng)用的前提基礎(chǔ)，只有掌握其中的實(shí)質(zhì)，領(lǐng)悟各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，才能在具體的應(yīng)用解題過程中，靈活恰當(dāng)?shù)剡x取對應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題。因此，教師要注重對學(xué)生基礎(chǔ)概念、公式、性質(zhì)理解的培養(yǎng)，只要學(xué)生覺得，公式雖多，但有規(guī)律易記，知識(shí)似曾相識(shí)，就有興趣繼續(xù)探討研究，才越學(xué)越有信心，越有興趣。所以，對基礎(chǔ)知識(shí)的培養(yǎng)，不僅僅是通過牢記公式，多做練習(xí)來鞏固，也要在學(xué)習(xí)過程中給予適當(dāng)?shù)姆椒ㄖ笇?dǎo)，同時(shí)還要關(guān)注高考，有的放矢進(jìn)行教學(xué)，避免出現(xiàn)難題偏題等，幫助學(xué)生總結(jié)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，把書讀薄。

例如，在探究學(xué)習(xí)三角函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號(hào)問題時(shí)，我們有這樣的結(jié)論：在第一象限的角，三角函數(shù)值都是正的;在第二象限的角，只有正弦的值是正的，余弦和正切的值是負(fù)的;在第三象限的角，只有正切的值是正的，正弦和余弦的值是負(fù)的;在第四象限上的角，只有余弦的值是正的，正弦和正切的值是負(fù)的。這時(shí)我們可以把結(jié)果總結(jié)為“一全正，二正弦，三正切，四余弦”12個(gè)字，這樣，相信學(xué)生更易記住這個(gè)結(jié)論，也記得牢固。

又如，在探究三角函數(shù)的性質(zhì)的時(shí)候，可以引導(dǎo)學(xué)生類比之前學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)的方法來進(jìn)行發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。這樣一來，學(xué)生馬上就會(huì)想到可以用函數(shù)的圖像來研究三角函數(shù)的性質(zhì)。有了之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，性質(zhì)總結(jié)起來熟門熟路，得心應(yīng)手。

二、適當(dāng)應(yīng)用“一題多解”的方法， 鞏固新舊知識(shí)，鍛煉學(xué)生思維

雖然三角函數(shù)的題型眾多且靈活多變，但萬變不離其宗，基本是圍繞著三角函數(shù)的基本公式，性質(zhì)來變化的，所以也不是一味地多做題就能達(dá)到鞏固知識(shí)的目的，應(yīng)當(dāng)采取有針對性的練習(xí)來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，跳出題海戰(zhàn)術(shù)。筆者認(rèn)為，在三角函數(shù)的習(xí)題教學(xué)中，可適當(dāng)采取“一題多解”來訓(xùn)練提高。所謂“一題多解”是指就同一個(gè)題目而言，從不同的角度、不同的方位去思考分析問題的關(guān)系，用不同的方法求得結(jié)果的思維過程。通過“一題多解”可以引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、多方探索解決問題，既鞏固了新舊知識(shí)，又鍛煉了學(xué)生思維的靈活性和廣闊性。

例如，已知且，則的值為______.

解法一：? ?由及sin2α+cos2α=1，可得，.

于是有.

解法二：? 由，可得sin α-cos α=.

將上述等式的兩邊平方，可得.

于是有.

因?yàn)?，所以?/p>

所以.

對于解法一，由及sin2α+cos2α=1聯(lián)立方程，求出sin α，cos α的值，進(jìn)而代入化簡求值，是最易想到的，也是最常規(guī)的方程思想解法。（下轉(zhuǎn)第23版）? ? ? ? ? ? ?（上接第22版）對于解法二，通過所求結(jié)果化簡及已知條件變形得sin α-cos α=，通過觀察發(fā)現(xiàn)：sin α+cos α，sin α-cos α，sin α cos α三者之間的互相轉(zhuǎn)化關(guān)系演變而來的解法，除了熟練公式的變形，還回顧了舊知識(shí)。

又如，已知R，，則tan2 α=____.

解法一：∵， ∴ .

∴或

∴或3 ，∴? .

解法二：由兩邊平方得.

即

所以有

左邊式子分子分母同時(shí)除以cos2α，化簡可得.

所以 或3，所以.

解法三：因?yàn)椋?/p>

所以猜想取特殊值：，

所以3，所以.

解法一是最常規(guī)的方程思想解法;解法二是通過變形，構(gòu)造分母為“1”與sin2α+cos2α=1聯(lián)系起來，進(jìn)而進(jìn)行弦切互化求值的過程，兩種解法各自從不同的方向考慮解題，但是都是圍繞著同角三角函數(shù)兩個(gè)關(guān)系式進(jìn)行變形應(yīng)用。另外，這是一道填空題，還可以根據(jù)條件，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想猜想特殊值，進(jìn)行求解，進(jìn)而有了第三種解法：特殊值法。

這樣，通過“一題多解”的訓(xùn)練，不僅促使學(xué)生理解各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，從不同角度思考發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，從中也學(xué)到解決問題的常見思想方法，鞏固了所學(xué)知識(shí)，也鍛煉了學(xué)生思維的靈活性和廣闊性，提高了思維的品質(zhì)。

三、注重?cái)?shù)學(xué)思想和一般方法的滲透和引導(dǎo)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力

三角函數(shù)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和一般方法。例如在新人教2019版高中數(shù)學(xué)第一冊課本第183頁例題6中，利用已知條件，和同角三角函數(shù)的兩條基本關(guān)系式，求出cos α和tan α的值，利用關(guān)系式知一求二，這就蘊(yùn)含了函數(shù)方程的思想，又因?yàn)閟in α=<0，所以α是第三或第四象限角，因此要分兩種情況求出cos α和tan α的值，在解題過程中又體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用。又如，課本第225例題8，在解答過程中，課本提到：“證明用到了還愿的方法。如把α+β看作θ，α-β看作φ，從而把包含α，β的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為θ，φ的三角函數(shù)式?；蛘撸裺in α cos β看作x，cos α sin β看作y，把等式看作x，y的方程，則原問題轉(zhuǎn)化為解方程（組）求x。它們都體現(xiàn)了化歸思想?！庇秩纾趯W(xué)習(xí)三角函數(shù)的性質(zhì)中，課本類比一般函數(shù)性質(zhì)的探究方法引出三角函數(shù)性質(zhì)的探究思路，學(xué)習(xí)過程中，始終引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法，數(shù)形結(jié)合的思想來總結(jié)三角函數(shù)的性質(zhì)。

這些類比，特殊化，化歸等方法都是研究數(shù)學(xué)的一般方法，在教學(xué)時(shí)，要注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這些方法，形成良好的思維品質(zhì)，為之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。要引導(dǎo)學(xué)生分析問題和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的能力，在數(shù)學(xué)問題的探索過程中，發(fā)現(xiàn)并領(lǐng)悟蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)問題中的一般規(guī)律，形成數(shù)學(xué)思想方法，并且熟練地掌握它們。從而逐步實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生從懂得“會(huì)模仿做”到懂得“會(huì)怎么想”的轉(zhuǎn)變，學(xué)會(huì)獨(dú)立、主動(dòng)地去獲取知識(shí)，探索新知識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

總之，三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，是高考的必考知識(shí)點(diǎn)，它可以和很多知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的基礎(chǔ)。在教學(xué)時(shí)，要注重基礎(chǔ)知識(shí)的訓(xùn)練，避免引入難題、偏題、怪題，既增加了不必要的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，又打擊了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心和興趣;要適當(dāng)一題多解，幫助學(xué)生總結(jié)方法規(guī)律，避免題海戰(zhàn)術(shù)，浪費(fèi)大量時(shí)間精力;注重?cái)?shù)學(xué)思想和一般方法的滲透和引導(dǎo)，著重培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題、獨(dú)立思考和創(chuàng)新的能力，加強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡小雄.更高更妙的高中數(shù)學(xué)一題多解與一題多變（第二版）[M].浙江大學(xué)出版社，2018.

責(zé)任編輯? 胡春華