曹曉春， 荊文君， 靳 禎

（1. 山西財經(jīng)大學 應用數(shù)學學院，太原 030006；2. 山西財經(jīng)大學 統(tǒng)計學院，太原 030006；3. 山西大學 復雜系統(tǒng)研究所，太原 030006）

引 言

網(wǎng)絡傳染病學是傳染病學的一個分支，近年來受到越來越多的關注，已取得了豐富的成果[1].其中應用最為廣泛、成果相對集中的一類模型是 Pastor-Satorras 和 Vespignani 提出的無標度網(wǎng)絡傳染病模型[2].該模型把人看作社交網(wǎng)絡的節(jié)點，人與人之間的相互接觸看作有邊相連，一個人在單位時間內(nèi)接觸的人數(shù)是網(wǎng)絡中節(jié)點的度，按照節(jié)點的度將人分為若干組，用Sk和Ik分別表示網(wǎng)絡中度為k的易感者和染病者的密度，且假設網(wǎng)絡中人數(shù)保持不變，即Sk+Ik=1，建立了 SIS(susceptible-infected-susceptible) 傳染病模型，其具體形式為

在實際傳染病流行過程中，流行病系統(tǒng)在其演變時會受到各種形式的隨機干擾.可把隨機干擾大致分成兩類：一類是許多獨立的、細小的隨機干擾的總和，這種干擾在數(shù)學上通常用白噪聲來描述；另一類是數(shù)量雖少但強度較大的隨機干擾，一般可以用連續(xù)時間的 Markov 鏈或半 Markov 鏈來描述，亦稱之為色噪聲.關于色噪聲對傳染病的影響，已經(jīng)取得了豐富的成果[4-8]，結果表明，Markov 鏈的穩(wěn)態(tài)分布對傳染病傳播有非常重要的影響，既可以抑制也可以加速傳染病傳播.關于白噪聲對傳染病的影響，也有許多杰出的工作和成果[9-13].張麗娟等建立了一類潛伏期具備傳染性的傳染病傳播模型，求得了基本再生數(shù)，給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性條件[9].Gray 等分析了具有固定人口的隨機 SIS 傳染病模型，得出了傳染病隨機持久和滅絕的充分條件，并得到了在傳染病持久的情形下染病者數(shù)量的穩(wěn)態(tài)分布[10].Lin 等研究了帶接種的隨機 SIS 傳染病模型的平穩(wěn)分布，證明了模型解的分布密度在適當?shù)臈l件下能收斂到一個不變密度[11].Miao 等研究了一類具有垂直傳播的隨機 SIR模型的閾值動力學[12].Chang 等提出了一種具有兩種不同的非線性發(fā)病率的隨機 SIRS 傳染病模型，并給出了一種獲得隨機傳染病模型閾值的數(shù)學方法[13].前面提到的研究，以及現(xiàn)有文獻中絕大多數(shù)的研究，是基于傳統(tǒng)均勻混合的“倉室”傳染病模型，而對描述傳染病更加精確、合理的復雜網(wǎng)絡傳染病模型，這方面的研究還很鮮見.鑒于此，本文將討論白噪聲對復雜網(wǎng)絡上的傳染病傳播動力學的影響，以豐富和補充網(wǎng)絡傳染病動力學的建模方法和理論分析.

本文結構安排如下：第 1 節(jié)建立了復雜網(wǎng)絡上的隨機 SIS 傳染病模型并分析了模型全局正解的存在性和唯一性；第 2、3 節(jié)分別給出了傳染病隨機滅絕和隨機持久的充分條件，并分析了其動力學性態(tài)；第 4 節(jié)數(shù)值模擬驗證了本文的理論結果；第 5 節(jié)給出了本文的結論.

1 隨機網(wǎng)絡傳染病模型

從而 τ+∞=+∞，a.s..證畢.

2 傳染病隨機滅絕

此處

由條件 (7) 可得

這就意味著

根據(jù)Martingale 的強大數(shù)定律

由上式和命題(12)得證.

在定理 2 中要求噪聲強度 σ2≤λ2/，下面的定理則包含了 σ2>λ2/的情形.

定理3 若

則對任意給定不全為零的初值Ik(0)∈(0,1),k=1,2,···,n，模型 (2) 的解滿足

與定理 2 的證法相同，易知

從而命題得證.

3 傳染病隨機持久

下面將討論在白噪聲影響下網(wǎng)絡傳染病模型 (2) 隨機持久的充分條件.

定理4 若

且

此處

是方程

當 ξ ∈(0,〈k2〉) 時，

于是有

的情形，本文沒有從理論上證明傳染病動力學行為，傳染病在此種情況下既可能隨機持久也可能隨機滅絕.下一節(jié)中將數(shù)值模擬在給定時間內(nèi)傳染病隨機持久這一情形.

4 數(shù) 值 模 擬

本節(jié)進行了一些數(shù)值模擬，以驗證第 2 節(jié)和第 3 節(jié)中的理論結果，假設所有參數(shù)均已適當?shù)貑挝唤o出.我們選取了最大度為 30 的網(wǎng)絡，其度分布服從參數(shù)為 8 的Poisson 分布，度的一階矩 〈k〉=8.002 7，二階矩〈k2〉=72.024 2.用 MATLAB 數(shù)值模擬，時間步長 ?=0.001.

圖1 參數(shù)為 λ=0.1,σ=0.08, 從而RD0=0.9<1,RS0=0.640 8<1, σ2=0.006 4<λ2/RD0=0.011 1. 且 圖1 (a)Ik(0)=0.5,圖1(b)Ik(0)=0.8,k=1,2,···,n. 圖1 表明，在條件 (7) 下，給定任意初值，模型 (2) 的解以指數(shù)速度趨于零，即傳染病以概率 1 指數(shù)滅絕，定理 2 得到驗證.

原料：大米 25 g，黑米 25 g，大豆 25 g，紅豆 25 g，核桃仁 25 g，花生 25 g，紅棗 15 g，桂圓 10 g（2人份）。

圖1 不同初值下，確定性模型(1)滅絕情形與隨機性模型(2)滅絕情形的I(t)路徑模擬：(a) 初值Ik(0)=0.5；(b) 初值Ik(0)=0.8Fig. 1 For different initial values, I(t) path simulations of the extinction case of deterministic model (1) and the extinction case of stochastic model (2):(a) initial value Ik(0)=0.5；(b) initial value Ik(0)=0.8

圖2 (a) 參數(shù)為 λ=0.1,σ=0.15,Ik(0)=0.5,k=1,2,···n，從而RD0=0.9<1,RS0=?0.011 2<1, 又 σ2=0.022 5，λ2/RD0=0.011 1,λ2/2=0.005, 此時 σ2>λ2/RD0成立.圖2 (b) 參數(shù)為 λ=0.23,σ=0.6,Ik(0)=0.5,k=1,2,···,n, 從而RD0=2.07>1,RS0=?12.51<1, 又 σ2=0.36,λ2/R0D=0.025 6,λ2/2=0.026 5, 此時 σ2>λ2/2 成立.圖2 表明，條件 (13) 暗示了RS0<1，給定初值，隨機模型 (2) 的解以指數(shù)速度趨于零，驗證了定理 3 的理論結果.值得注意的是圖2(b)，對確定性模型 (1)，RD0>1, 傳染病持久形成地方病，但在白噪聲影響下，隨機模型 (2) 的RS0<1，傳染病隨機滅絕，大的噪聲可以讓原本持久的傳染病滅絕，說明白噪聲起到抑制傳染病傳播的作用.

圖2 確定性模型(1)滅絕(持久)情形與隨機性模型(2)滅絕情形的I(t)路徑模擬：(a) 確定性模型(1)滅絕情形與隨機性模型(2)滅絕情形；(b) 確定性模型(1)持久情形與隨機性模型(2)滅絕情形Fig. 2 I(t) path simulations of the extinction (persistence) case of deterministic model (1) and the extinction case of stochastic model (2): (a) the extinction case of deterministic model (1) and the extinction case of stochastic model (2); (b) the persistence case of deterministic model (1) and the extinction case of stochastic model (2)

圖3 參數(shù)為 λ=0.4,σ=0.2, 從而RD0=3.6>1,RS0=1.98>1.又圖3(a)中Ik(0)=0.5，圖3(b)中Ik(0)=0.8,k=1,2,···,n.圖3 表明，在條件 (15) 下，給定任意初值，隨機模型 (2) 的解是持久的，即傳染病以概率 1 隨機持久，定理 4 得到驗證.

圖3 不同初值下，確定性模型(1)持久情形與隨機性模型(2)持久情形的I(t)路徑模擬：(a) 初值Ik(0)=0.5；(b) 初值Ik(0)=0.8Fig. 3 For different initial values, I(t) path simulations of the persistence case of deterministic model (1) and the persistence case of stochastic model (2):(a) initial value Ik(0)=0.5；(b) initial value Ik(0)=0.8

圖4 參數(shù)為 λ=0.32,σ=0.225, 從而RD0=2.880 0>1,RS0=0.829 7<1, 且 σ2=0.050 6,λ2/RD0=0.035 6,λ2/2=0.051 2, 滿足 λ2/RD0<σ2<λ2/2，又圖4(a)中Ik(0)=0.01，圖4(b)中Ik(0)=0.1,k=1,2,···,n.圖4 模擬了RS0<1且λ2/R<σ2<λ2/2 的情形，給定任意初值，模型 (2) 的解在給定區(qū)間上是隨機持久的.

圖4 不同初值下，確定性模型(1)與隨機性模型(2)的I(t)路徑模擬圖：(a) 初值Ik(0)=0.01；(b) 初值Ik(0)=0.1Fig. 4 For different initial values, I(t) path simulations of deterministic model (1) and stochastic model (2): (a) initial value Ik(0)=0.01;(b) initial value Ik(0)=0.1

5 結 論

本文在網(wǎng)絡傳染病模型 (1) 中考慮了隨機因素，構建了隨機網(wǎng)絡傳染病模型 (2)，證明了模型 (2)存在全局唯一的正解，利用隨機微分方程理論得到了傳染病隨機滅絕和持久的充分條件.當RS0≤1 時，在適當?shù)臈l件下，傳染病將隨機滅絕(定理 2 和定理 3)；當RS0>1 時，傳染病將隨機持久(定理 4).值得注意的是RS01)的傳染病滅絕.因此，白噪聲在網(wǎng)絡傳染病傳播過程中起著不可忽視的作用，也表明隨機模型 (2) 的建立是非常有意義的.最后，通過數(shù)值模擬驗證了本文的理論結果.

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