史美嬌， 徐慧東， 張建文

（1. 太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030024；2. 太原理工大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，太原 030024）

引 言

梁作為工程中最常見的結(jié)構(gòu)單元，廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車、海洋工程、機(jī)械工程等領(lǐng)域.在應(yīng)用設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)常需要考慮這類結(jié)構(gòu)在碰撞沖擊作用下的承載能力，因此碰撞沖擊作用下梁的動(dòng)力學(xué)行為具有重要的研究價(jià)值.

反復(fù)持續(xù)碰撞的梁是一種典型的非光滑動(dòng)力系統(tǒng)，系統(tǒng)中碰撞的非光滑因素會(huì)使系統(tǒng)發(fā)生一種特殊的擦邊現(xiàn)象，即運(yùn)動(dòng)軌線以零速度與約束面接觸.定性研究擦邊動(dòng)力學(xué)的常用工具是不連續(xù)映射方法，基于該方法得到的擦邊規(guī)范形復(fù)合映射在一定程度上可以描述擦邊點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)行為.Nordmark[1]首先引入了不連續(xù)映射的概念，為后續(xù)的許多研究奠定了基礎(chǔ).Chin 等[2]基于不連續(xù)映射方法揭示了三種余維一的擦邊分岔行為.Lamba 和 Budd[3]調(diào)查了擦邊分岔鄰域內(nèi)不連續(xù)映射的Lyapunov 指數(shù)，并揭示了最大Lyapunov 指數(shù)在擦邊鄰域內(nèi)的跳躍現(xiàn)象.Fredriksson 和 Nordmark[4]推導(dǎo)了多自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的局部零時(shí)間不連續(xù)映射的規(guī)范式，并確立了擦邊分岔的穩(wěn)定性準(zhǔn)則.Li 等[5]和Xu 等[6]利用不連續(xù)映射方法研究了一般n自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)單擦邊軌道和雙擦邊軌道附近的動(dòng)力學(xué)行為，并給出了雙擦邊軌道的穩(wěn)定性條件.以上文獻(xiàn)都是基于低階的擦邊復(fù)合映射來調(diào)查擦邊附近的動(dòng)力學(xué)行為，然而低階的規(guī)范形映射在某些特殊參數(shù)范圍內(nèi)無法真實(shí)反應(yīng)原系統(tǒng)的擦邊動(dòng)力學(xué).針對(duì)這個(gè)問題，Weger 等[7]和 Molenaar 等[8]修正了單自由度碰撞系統(tǒng)的低階零時(shí)間不連續(xù)映射范式，并調(diào)查了修正項(xiàng)對(duì)擦邊分岔行為的影響.Zhao[9]對(duì)一類單自由度剛性碰撞振子的Poincaré不連續(xù)映射(PDM)的范式作了修正，并通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了范式的正確性.Yin 等[10]推導(dǎo)獲得了一般碰撞系統(tǒng)的高階零時(shí)間不連續(xù)映射，并基于高階映射調(diào)查了擦邊附近周期一運(yùn)動(dòng)的存在性，通過與低階映射比較，驗(yàn)證了高階不連續(xù)映射的有效性.據(jù)筆者所知，通過推導(dǎo)高階的 PDM 分段映射來研究彈性碰撞系統(tǒng)的雙擦邊軌道附近的動(dòng)力學(xué)行為尚未有報(bào)道.

本文以一類雙側(cè)彈性約束的單自由度懸臂梁為研究對(duì)象，調(diào)查了雙擦邊周期運(yùn)動(dòng)的存在性，推導(dǎo)了雙擦邊周期運(yùn)動(dòng)附近帶參數(shù)的高階 PDM 分段映射，并結(jié)合光滑流映射獲得了新的復(fù)合范式映射，通過數(shù)值仿真對(duì)低階映射和高階映射反應(yīng)的擦邊分岔進(jìn)行比較，驗(yàn)證了高階范式映射的有效性，并揭示了雙邊彈性碰撞懸臂梁 的擦邊動(dòng)力學(xué).

1 系統(tǒng)模型及其動(dòng)力學(xué)方程

圖1 為具有雙側(cè)彈性約束的懸臂梁系統(tǒng)，系統(tǒng)的質(zhì)量主要集中在懸臂梁的自由端，用質(zhì)量為的圓形質(zhì)塊M來表示，懸臂梁的長度為l，取M靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，質(zhì)塊M受到簡諧激振力的作用作豎直方向的運(yùn)動(dòng).上下約束分別由剛度為和的線性彈簧構(gòu)成，上下約束與質(zhì)塊M靜平衡位置存在的間隙都為.

圖1 雙側(cè)彈性碰撞懸臂梁系統(tǒng)模型Fig. 1 The cantilever beam system under bilateral elastic impacts

該系統(tǒng)滿足如下的動(dòng)力學(xué)方程[11-12]:

2 擦邊周期運(yùn)動(dòng)

這一節(jié)將根據(jù)擦邊點(diǎn)的定義來給出雙擦邊周期運(yùn)動(dòng)的存在性條件.為了描述擦邊周期運(yùn)動(dòng)，引入兩個(gè)分界面，首先定義邊界函數(shù)

圖2 彈性碰撞懸臂梁系統(tǒng) (2) 的二維相平面Fig. 2 The 2D phase plane of the cantilever beam system under bilateral elastic impacts (2)

基于上面的區(qū)域，且考慮k1=k2=k，將系統(tǒng)(2)轉(zhuǎn)化成如下的自治系統(tǒng)：

其中

系統(tǒng) (5)在區(qū)間Vc,Vu,Vd內(nèi)的通解分別為

3 Poincaré不連續(xù)映射及復(fù)合映射

本節(jié)選取速度為零的 Poincaré 截面來推導(dǎo)彈性約束懸臂梁系統(tǒng) (2)雙擦邊周期運(yùn)動(dòng)的不連續(xù)映射.定義兩個(gè)零速度的 Poincaré 截面：

這里D1是上方約束截面 Σ1的擦邊點(diǎn)附近的區(qū)域，D2是下方約束截面 Σ2的擦邊點(diǎn)附近的區(qū)域.

圖3 擦邊點(diǎn)附近不連續(xù)映射 PPDM1和 PPDM2的示意圖Fig. 3 The schematic diagram of the discontinuity mappings PPDM1 and PPDM2 near grazing points

3.1 低階復(fù)合范式映射

式中

將不連續(xù)映射 (32)和 (33)代入到式 (38)、(39)、(41)和 (42)中，可得如命題2 所示的低階復(fù)合范式映射.

命題2 雙側(cè)彈性約束懸臂梁系統(tǒng)(2)以零速度為截面的低階的分段復(fù)合范式映射為

其中

3.2 高階復(fù)合范式映射

4 數(shù) 值 仿 真

取系統(tǒng)的一組參數(shù)v=0.1,k1=k2=190,w=0.18，以間隙d為分岔參數(shù)，根據(jù)命題1 得到擦邊分岔點(diǎn)d0=0.033 5.根據(jù)低階映射 (43) 得到擦邊點(diǎn)附近分岔圖，如圖4(a)所示，從圖4(a)可以看到擦邊附近沒有發(fā)生明顯的分岔.根據(jù)高階映射 (49)得到擦邊附近分岔圖，如圖4(b)所示，從圖4(b) 可以看到系統(tǒng)發(fā)生了分岔，這說明低階的范式在一定范圍內(nèi)并不能反映原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.

圖4 系統(tǒng) (2) 擦邊軌道附近的分岔圖：(a) 基于低階映射 (43) 得到的擦邊軌道附近的分岔圖；(b) 基于高階映射 (49) 得到的擦邊軌道附近的分岔圖Fig. 4 The bifurcation diagram of system (2) near the grazing orbit: (a) the bifurcation diagram near the grazing orbit obtained based on low-order mapping(43); (b) the bifurcation diagram near the grazing orbit obtained based on high-order mapping (49)

基于圖4(b)通過相圖進(jìn)一步來調(diào)查擦邊附近的動(dòng)力學(xué)行為，為了方便，這里以符號(hào)p-q-s描述系統(tǒng)的碰撞周期運(yùn)動(dòng)，其中p表示與上約束面的碰撞次數(shù)，q表示與下約束面的碰撞次數(shù)，s表示激振力的周期數(shù).從圖4(b)可以看到，在擦邊分岔點(diǎn)d0的右側(cè)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的非碰撞單周期運(yùn)動(dòng)，如圖5 所示.當(dāng)d=d0時(shí)，系統(tǒng)剛好處于擦邊周期運(yùn)動(dòng)，如圖6 所示.當(dāng)參數(shù)d穿越分岔點(diǎn)d0時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)過擦邊分岔進(jìn)入穩(wěn)定的 1-1-1 周期運(yùn)動(dòng)，如圖7 所示.隨著參數(shù)的進(jìn)一步減小，雙碰周期一運(yùn)動(dòng)發(fā)生倍化分岔，系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定的 2-2-2 周期運(yùn)動(dòng)，如圖8所示.

圖5 在 d=d0+0.002處的非碰撞單周期運(yùn)動(dòng)Fig. 5 The non-impact single periodic motion at d=d0+0.002

圖6 在 d=d0處的雙擦邊周期運(yùn)動(dòng)Fig. 6 The double grazing periodic motion at d=d0

圖7 在 d=d0 ?0.001處的 1-1-1 碰撞周期運(yùn)動(dòng)Fig. 7 The 1-1-1 impact periodic motion at d=d0 ?0.001

圖8 在 d=d0 ?0.002處的 2-2-2 碰撞周期運(yùn)動(dòng)Fig. 8 The 2-2-2 impact periodic motion at d=d0 ?0.002

5 結(jié) 論

本文研究了雙側(cè)彈性約束的懸臂梁系統(tǒng)的非光滑擦邊動(dòng)力學(xué)行為.在建立速度為零的 Poincaré 截面基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了帶參數(shù)的高階范式局部不連續(xù)映射，結(jié)合不連續(xù)映射和光滑映射獲得了雙擦邊運(yùn)動(dòng)的高階復(fù)合分段范式映射，一定程度上解決了低階范式映射在特定參數(shù)域內(nèi)無法反映原系統(tǒng)擦邊分岔特性的問題.基于高階的復(fù)合映射揭示了懸臂梁擦邊附近的局部動(dòng)力學(xué)行為.

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