張炳彩， 丁生虎， 張來萍

（1. 寧夏大學(xué)新華學(xué)院，銀川 750021；2. 寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)統(tǒng)計學(xué)院，銀川 750021）

引 言

準(zhǔn)晶自1982 年被Shechtman 等[1]發(fā)現(xiàn)以來，引起了眾多科研人員的關(guān)注.準(zhǔn)晶材料具有高硬度、不粘性、耐腐蝕等諸多優(yōu)良特性，在很多方面具有重要的應(yīng)用價值.由于準(zhǔn)晶材料的脆性特性[2]，在生產(chǎn)過程中難免會產(chǎn)生一些缺陷(裂紋、夾雜和位錯等)，在外應(yīng)力的作用下，很容易發(fā)生斷裂.尤其對于含有孔洞的準(zhǔn)晶材料，孔洞周圍形成的應(yīng)力集中區(qū)易產(chǎn)生裂紋，而裂紋的擴(kuò)展又導(dǎo)致材料結(jié)構(gòu)的損傷，從而導(dǎo)致材料的斷裂破壞.因此，研究準(zhǔn)晶材料的斷裂問題具有重要的理論和實際意義.

目前，已有眾多學(xué)者對準(zhǔn)晶材料的斷裂問題進(jìn)行了研究[3-6].在工程實際中，開孔結(jié)構(gòu)是一種較為常見的結(jié)構(gòu).郭俊宏和劉官廳[7]研究了一維六方準(zhǔn)晶圓形孔邊裂紋問題.之后，郭俊宏等[8-10]又研究了一維六方準(zhǔn)晶橢圓孔邊裂紋問題，運(yùn)用復(fù)變函數(shù)方法給出了問題的解析解.Li 和Liu[11]研究了二十面體準(zhǔn)晶中位錯與橢圓孔的相互作用問題，利用擴(kuò)展的Stroh 公式、保角變換方法和攝動技術(shù)得到了該問題的封閉解.利用復(fù)變函數(shù)方法和保角映射方法，Yang 等[12]研究了一維六方壓電準(zhǔn)晶材料中帶不對稱三裂紋的圓形孔口的斷裂問題.白巧梅和丁生虎[13]研究了一維六方壓電準(zhǔn)晶中正六邊形孔邊裂紋的反平面問題，利用復(fù)變函數(shù)方法，得到了孔邊裂紋尖端的應(yīng)力分布以及場強(qiáng)度因子的解析解.利用推廣的連續(xù)位錯層法，Tupholme[14-15]研究了一維六方準(zhǔn)晶中運(yùn)動的反平面剪切裂紋.

以上文獻(xiàn)主要針對準(zhǔn)晶單一材料的斷裂問題開展研究，而在實際工程中常見由兩種不同（或相同）材料拼接而成的組合材料，在外部應(yīng)力作用下界面處很容易產(chǎn)生缺陷.El-Borgi 等[16]用奇異積分方程和有限元方法分析研究了在熱載荷和機(jī)械載荷作用下功能梯度涂層與均勻基體之間的界面裂紋.Kuang 和Wang[17]用邊界配置法研究了雙材料板中孔產(chǎn)生的界面裂紋問題.Loboda 等[18]分析了由兩個半無限大一維壓電準(zhǔn)晶材料結(jié)合在一起的雙材料中的電滲透裂紋的平面問題，提出了電滲透界面裂紋的一種精確解析解.基于復(fù)變函數(shù)和保角映射方法，Song 和Hassan[19]計算了含徑向?qū)ΨQ裂紋的橫觀各向同性壓電雙材料在非圓形空腔邊緣附近的動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子.An 等[20]利用Green 函數(shù)法和坐標(biāo)變換法求解了偏心圓孔附近具有可滲透界面裂紋的壓電雙材料動態(tài)反平面剪切問題.An 和Song[21]研究了功能梯度壓電雙材料中圓孔附近可滲透界面裂紋尖端的應(yīng)力集中問題.

對于準(zhǔn)晶雙材料裂紋問題，Zhang 等[22]利用Stroh 公式研究了由兩個不同準(zhǔn)晶半平面組成的無限平面問題，得到了一維準(zhǔn)晶雙材料內(nèi)部和界面Green 函數(shù)的解.Hu 等[23-24]利用積分方程和復(fù)變函數(shù)方法，研究了具有壓電效應(yīng)的，不同一維六方準(zhǔn)晶材料受反平面剪切應(yīng)力和面內(nèi)電應(yīng)力作用下的界面裂紋問題.Fan 等[25]利用Stroh 公式得到了一維六方準(zhǔn)晶雙材料界面上聲子場和相位子場位錯和開口位移的Green 函數(shù).Zhao 等[26]提出用位移不連續(xù)法分析一維六方準(zhǔn)晶涂層在面內(nèi)應(yīng)力作用下的界面裂紋問題.然而，關(guān)于準(zhǔn)晶雙材料孔邊界面裂紋問題的研究尚未見有文獻(xiàn)報道.

事實上，隨著復(fù)合材料和新型材料的發(fā)展，工程中經(jīng)常出現(xiàn)帶裂紋的孔口問題，而復(fù)變函數(shù)解法是求解復(fù)雜孔口問題最優(yōu)越的方法.由于準(zhǔn)晶材料聲子場和相位子場的耦合性，及孔洞形狀的復(fù)雜性，研究準(zhǔn)晶材料雙材料孔邊裂紋問題具有一定的挑戰(zhàn).因此，本文應(yīng)用復(fù)變函數(shù)方法，分析研究了一維六方準(zhǔn)晶雙材料圓孔邊不對稱共線界面裂紋的反平面問題，所得的結(jié)果對工程結(jié)構(gòu)裂紋止裂具有理論意義和實用價值.

1 基 本 公 式

本文研究了一維六方準(zhǔn)晶反平面問題.取x3軸為一維六方準(zhǔn)晶體的準(zhǔn)周期方向，x1Ox2坐標(biāo)面為其周期平面.根據(jù)準(zhǔn)晶彈性理論[27]，當(dāng)一維六方準(zhǔn)晶體中含有的圓孔洞及孔邊裂紋沿準(zhǔn)周期方向穿透時，變形不隨變量x3變化，只與變量x1和x2有關(guān).此時，平衡方程(不考慮體力)為

幾何方程為

廣義Hooke 定律為

確定所有場變量，其中上標(biāo)T 表示矩陣的轉(zhuǎn)置.

2 問題描述及求解

2.1 問題描述

如圖1 所示，考慮兩種不同的一維六方準(zhǔn)晶雙材料拼接在一起，x3軸正方向為一維六方準(zhǔn)晶體的準(zhǔn)周期方向，x1Ox2坐標(biāo)面為其周期平面，x1Ox3平面為拼接界面.在拼接界面處存在一圓孔洞，且圓孔兩邊在x1軸上分別有一直線裂紋.假設(shè)準(zhǔn)晶雙材料在無窮遠(yuǎn)場受沿聲子場和相位子場邊界的反平面剪切應(yīng)力作用σ32=τ0,H32=H0，圓孔及裂紋面為自由面.

圖1 含圓孔孔邊界面裂紋的一維六方準(zhǔn)晶雙材料Fig. 1 One dimensional hexagonal quasicrystal bi-materials with interface cracks emanating from a circular hole

根據(jù)準(zhǔn)晶線彈性理論[27]，僅對應(yīng)力集中而言，可將該問題轉(zhuǎn)化為圓孔及裂紋表面受剪切應(yīng)力作用的問題.此時邊界條件可表示為

該變換將圓孔保角變換到直線裂紋.

利用該保角變換，將z平面內(nèi)的x1軸變換為?平面內(nèi)的ξ軸，圓孔及孔邊裂紋都變換為直線裂紋，且將點(diǎn)z=±Ri變換為?=0，z=±R變換為?=±1，左右裂尖z=?R?L2，z=R+L1分別變換為點(diǎn)：

對應(yīng)關(guān)系如圖2 所示.

圖2 保角變換示意圖Fig. 2 The diagram of conformal mapping

?平面內(nèi)直線裂紋長2L=?2??1，由于坐標(biāo)原點(diǎn)?=0不一定是直線裂紋中心，可通過平移將直線裂紋中心移到原點(diǎn).因此通過式(9)將z平面內(nèi)圓孔孔邊裂紋問題轉(zhuǎn)化為?平面內(nèi)的直線裂紋問題.

考慮保角變換的性質(zhì)， ?平面內(nèi)邊界條件可表示為

式(4)兩邊關(guān)于x1求導(dǎo)，可得

2.2 應(yīng)力強(qiáng)度因子及能量釋放率

3 數(shù) 值 算 例

下面通過數(shù)值算例分析幾何尺寸對等效應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響和耦合系數(shù)、聲子場應(yīng)力和相位子場應(yīng)力對能量釋放率的影響.

3.1 幾何尺寸對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響

為了討論圓孔半徑和裂紋長度對聲子場、相位子場等效應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，本文取不同的圓孔半徑和裂紋長度，繪出式(29)的圖形，觀察等效應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化情形.

圖3 給出在不同圓孔半徑下，等效應(yīng)力強(qiáng)度因子K隨右裂紋長度L1/R的變化關(guān)系(L2/R=0.02).可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)半徑給定時，等效應(yīng)力強(qiáng)度因子K隨右裂紋長度的變化呈快速增長趨勢.但在裂紋長度一定的情況下，隨著圓孔半徑的增大，K有減小的趨勢.

圖4 給出不同左裂紋長度情況下，等效應(yīng)力強(qiáng)度因子K隨右裂紋長度L1/R的變化關(guān)系(R=0.1 m).在圓孔半徑和左裂紋長度一定的情況下，等效應(yīng)力強(qiáng)度因子K隨右裂紋長度增加先減小后增加，最后趨向穩(wěn)定值.而當(dāng)圓孔半徑一定時，等效應(yīng)力強(qiáng)度因子K隨左裂紋的長度增大而緩慢增加，該結(jié)果和文獻(xiàn)[29]不考慮電場時圓孔邊不對稱裂紋所得結(jié)果一致.圖3 和圖4 的結(jié)果說明圓孔半徑和裂紋長度的變化都對裂紋尖端應(yīng)力場有一定的影響.

圖4 不同L2/R, K 隨L1/R的變化情形Fig. 4 For different L2/R values, the change of K with L1/R

3.2 耦合系數(shù)、聲子場應(yīng)力和相位子場應(yīng)力對能量釋放率的影響

本小節(jié)算例考慮兩種情形： ① 在上下兩種準(zhǔn)晶材料其他參數(shù)不變的情況下，討論聲子場和相位子場耦合系數(shù)對能量釋放率的影響(圖5、6); ② 上下準(zhǔn)晶材料參數(shù)不同時，討論聲子場應(yīng)力和相位子場應(yīng)力對能量釋放率的影響(圖7).兩種不同一維六方準(zhǔn)晶材料的材料參數(shù)如表1 所示.

表1 兩種不同一維六方準(zhǔn)晶材料的參數(shù)取值[25,30]Table 1 Parameter values of 2 different 1D hexagonal quasicrystals[25,30]

圖5、6 分別給出了在不同耦合系數(shù)下，能量釋放率G隨相位子場應(yīng)力H0(τ0=6 MPa,R=0.3 m,L1/R=0.3,L2/R=0.2)和右裂紋長度L1/R的變化關(guān)系(τ0=6 MPa,H0=4 MPa,R=0.3 m,L2/R=0.2).由圖5、6 可知，當(dāng)材料耦合系數(shù)增大時, 能量釋放率G也在增大；當(dāng)耦合系數(shù)不變時，能量釋放率G隨著相位子場應(yīng)力H0和右裂紋長度L1/R的增大而增大；當(dāng)上下材料參數(shù)相同(單材料)時，固定耦合系數(shù)，能量釋放率隨相位子場應(yīng)力H0或右裂紋長度L1/R的增大也在增大，該結(jié)果和文獻(xiàn)[29]不考慮電場時圓孔邊不對稱裂紋所得結(jié)果一致.從以上結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，準(zhǔn)晶雙材料耦合系數(shù)的變化比單材料耦合系數(shù)的變化對能量釋放率的影響更大，更容易促進(jìn)裂紋的擴(kuò)展.

圖5 不同的R3, G 隨H0 的變化情形Fig. 5 For different R3 values, the change of G with H0

圖6 不同的R3, G 隨L1/R 的變化情形Fig. 6 For different R3 values, the change of G with L1/R

圖7 給出了聲子場應(yīng)力和相位子場應(yīng)力對能量釋放率的影響(R=0.1 m,L1=0.01 m,L2=0.03 m).由圖7可知，能量釋放率隨著聲子場應(yīng)力的增大而增大，隨相位子場應(yīng)力從負(fù)值變到正值時，先減小再增大，當(dāng)相位子場應(yīng)力取某個特定值時，又可使能量釋放率達(dá)到最小.這說明一維六方準(zhǔn)晶材料聲子場應(yīng)力和相位子場應(yīng)力對能量釋放率都有一定的影響，能促使裂紋的擴(kuò)展.但當(dāng)相位子場應(yīng)力取一定值時，又可以抑制裂紋的擴(kuò)展.

4 結(jié) 論

本文研究了一維六方準(zhǔn)晶雙材料中圓孔邊不對稱共線界面裂紋的反平面問題.首先根據(jù)保角變換將圓孔邊不對稱共線裂紋問題轉(zhuǎn)化為直線裂紋問題；其次在準(zhǔn)晶體受遠(yuǎn)場聲子場應(yīng)力和相位子場應(yīng)力作用，圓孔和裂紋面自由的邊界條件下，利用Stroh 公式和復(fù)變函數(shù)方法推導(dǎo)出新平面內(nèi)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子和能量釋放率的解析表達(dá)式.通過數(shù)值算例分析了幾何尺寸對等效應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，以及耦合系數(shù)、聲子場應(yīng)力和相位子場應(yīng)力對能量釋放率的影響，得到了以下結(jié)論：

1) 應(yīng)力強(qiáng)度因子隨圓孔半徑的增大而減??；

2) 圓孔半徑和左裂紋長度一定時，等效應(yīng)力強(qiáng)度因子K隨右裂紋長度增加先減小后增加，最后趨向穩(wěn)定值；

3) 能量釋放率隨耦合系數(shù)的增大而增大，當(dāng)耦合系數(shù)不變時，能量釋放率也隨著相位子場應(yīng)力和右裂紋長度的增大而增大；

4) 遠(yuǎn)場聲子場應(yīng)力和相位子場應(yīng)力對能量釋放率都有一定的影響，但當(dāng)相位子場應(yīng)力取一定值時，能量釋放率達(dá)到最小，可以抑制裂紋的擴(kuò)展.

參考文獻(xiàn)（ References ） ：

［1］S HECHTMAN D, BLECH I, GRATIAS D, et al. Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry[J].Physical Review Letters, 1984, 53（20）: 1951-1954.

［2］孟 祥敏, 佟百運(yùn), 吳玉琨. Al65Cu20Co15準(zhǔn)晶體的力學(xué)性能[J]. 金屬學(xué)報, 1994, 30（2）: 61-64. （MENG Xiangmin,TONG Baiyun, WU Yukun. Mechanical properties of Al65Cu20Co15quasicrystal[J].Acta Metallurgica Sinica,1994, 30（2）: 61-64.（in Chinese））

［3］F AN T Y, LI X F, SUN Y F. A moving screw dislocation in a one-dimensional hexagonal quasicrystal[J].Acta Physica Sinica(Overseas Edition), 1999, 8（4）: 288-295.

［4］L I L F, FAN T Y. Exact solutions of two semi-infinite collinear cracks in a strip of one dimensional hexagonal quasicrystal[J].Applied Mathematics and Computation, 2008, 196（1）: 1-5.

［5］W ANG X, PAN E. Analytical solutions for some defect problems in 1D hexagonal and 2D octagonal quasicrystals[J].Pramana, 2008, 70（5）: 911-933.

［6］Z HOU J M, LI L H, Wang G X. Dynamic problems in a decagonal quasicrystal with a mode Ⅱ Griffith crack[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics, 2021, 38（1）: 136-150.

［7］郭 俊宏, 劉官廳. 一維六方準(zhǔn)晶中具有不對稱裂紋的圓形孔口問題的解析解[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報, 2007, 30（6）: 1066-1075. （GUO Junhong, LIU Guanting. Analytic solutions of the one-dimensional hexagonal quasicrystals about problem of a circular hole with asymmetry cracks[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 2007, 30（6）: 1066-1075.（in Chinese））

［8］郭 俊宏, 劉官廳. 一維六方準(zhǔn)晶中帶雙裂紋的橢圓孔口問題的解析解[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2008, 29（4）: 439-446.（GUO Junhong, LIUGuanting. Analytic solutions of problem about an elliptic hole with two straight cracks in one-dimensional hexagonal quasicrystals[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2008, 29（4）: 439-446.（in Chinese））

［9］G UO J H, LIU G T. Exact analytic solutions for an elliptic hole with asymmetric collinear cracks in a one-dimensional hexagonal quasi-crystal[J].Chinese Physics B, 2008, 17（7）: 2610-2620.

［10］G UO J H, LU Z X. Exact solution of four cracks originating from an elliptical hole in one-dimensional hexagonal quasicrystals[J].Applied Mathematics and Computation, 2011, 217（22）: 9397-9403.

［11］L I L H, LIU G T. Interaction of a dislocation with an elliptical hole in icosahedral quasicrystals[J].Philosophical Magazine Letters, 2013, 93（3）: 142-151.

［12］Y ANG J, LI X, DING S H. Anti-plane analysis of a circular hole with three unequal cracks in one-dimensional hexagonal piezoelectric quasicrystals[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics, 2016, 33（2）: 184-198.

［13］白 巧梅, 丁生虎. 一維六方壓電準(zhǔn)晶中正六邊形孔邊裂紋的反平面問題[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2019, 40（10）: 1071-1080. （BAI Qiaomei, DING Shenghu. An anti-plane problem of cracks at edges of regular hexagonal holes in 1D hexagonal piezoelectric quasicrystals[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2019, 40（10） : 1071-1080.（ in Chinese））

［14］T UPHOLME G E. An antiplane shear crack moving in one-dimensional hexagonal quasicrystals[J].International Journal of Solids and Structures, 2015, 71: 255-261.

［15］T UPHOLME G E. Row of shear cracks moving in one-dimensional hexagonal quasicrystal line materials[J].Engineering Fracture Mechanics, 2015, 134: 451-458.

［16］E L-BORGI S, ERDOGAN F, HATIRA F B. An interface crack between a functionally graded coating and a homogeneous substrate under thermo-mechanical loading[J].Materials Science Forum, 2003, 423/425: 601-606.

［17］K UANG J S, WANG Y H. Analysis of interfacial cracks emanating from a hole in a bi-material plate[J].European Journal of Mechanics A:Solids, 1999, 18（3）: 465-479.

［18］L OBODA V, KOMAROV O, BILYI D, et al. An analytical approach to the analysis of an electrically permeable interface crack in a 1D piezoelectric quasicrystal[J].Acta Mechanica, 2020, 231（8）: 3419-3433.

［19］S ONG T S, HASSAN A. Dynamic anti-plane analysis for symmetrically radial cracks near a non-circular cavity in piezoelectric bi-materials[J].Acta Mechanica, 2015, 226（7）: 2089-2101.

［20］A N N, SONG T S, HOU G L. Interfacial cracks near an eccentric circular hole in piezoelectric bi-materials subjected to dynamic incident anti-plane shearing[J].AIP Advances, 2020, 10（5）: 1-11.

［21］A N N, SONG T S. Dynamic fracture behavior for functionally graded piezoelectric bi-materials with interfacial cracks near a circular hole[J].Waves in Random and Complex Media, 2021: 1-19. DOI: 10.1080/17455030.2021.1936284.

［22］Z HANG L L, WU D, XU W S, et al. Green’s functions of one-dimensional quasicrystal bi-material with piezoelectric effect[J].Physics Letters A, 2016, 380（39）: 3222-3228.

［23］H U K Q, GAO C F, ZHENG Z, et al. Interaction of collinear interface cracks between dissimilar one-dimensional hexagonal piezoelectric quasicrystals[J].ZAMM:Zeitschrift fur Angewandte Mathematic und Mechanik, 2021,101（11）: 1-26.

［24］H U K Q, JIN H, YANG Z J, et al. Interface crack between dissimilar one-dimensional hexagonal quasicrystals with piezoelectric effect[J].Acta Mechanica, 2019, 230（7）: 2455-2474.

［25］F AN C Y, CHEN S, ZHANG Q Y, et al. Fundamental solutions and analysis of an interfacial crack in a one-dimensional hexagonal quasicrystal bi-material[J].Mathematics and Mechanics of Solids, 2020, 25（5）: 1124-1139.

［26］Z HAO M H, FAN C Y, LU C S, et al. Analysis of interface cracks in one-dimensional hexagonal quasi-crystal coating under in-plane loads[J].Engineering Fracture Mechanics, 2021, 243: 107534.

［27］F AN T Y.Mathematical Theory of Elasticity of Quasicrystals and Its Application[M]. Beijing: Science Press,2010.

［28］M USKHELISHVILI N I.Some Basic Problems of the Mathematical Theory of Elasticity[M]. Groningen, Holland:Noordhoff, 1953.

［29］楊 娟. 壓電效應(yīng)下一維六方準(zhǔn)晶中孔邊多裂紋反平面斷裂問題研究[D]. 博士學(xué)位論文. 銀川: 寧夏大學(xué), 2015.（YANG Juan. Study on anti-plane fracture problems of Multiple cracks emanating from a hole in one-dimensional hexagonal quasicrystals with piezoelectric effects[D]. PhD Thesis. Yinchuan: Ningxia University, 2015. （in Chinese））

［30］Z HOU Y B, LI X F. Exact solution of two collinear cracks normal to the boundaries of a 1D layered hexagonal piezoelectric quasicrystal[J].Philosophical Magazine, 2018, 98（19）: 1780-1798.