丁潔瑩， 薛 峰， 茍曉凡

（河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院，南京 211100）

（我刊編委茍曉凡來稿）

引 言

超導(dǎo)薄膜是一種采用化學(xué)涂層制備而成的多層薄膜結(jié)構(gòu)，因其具有極佳的低溫高場電性能，廣泛應(yīng)用于電力、交通、醫(yī)療等各個領(lǐng)域.對于超導(dǎo)薄膜結(jié)構(gòu)，通常超導(dǎo)層與基底結(jié)合界面較為脆弱[1-2].這種超導(dǎo)薄膜界面強度不僅關(guān)乎超導(dǎo)薄膜結(jié)構(gòu)的破壞與完整性，更為重要的是，與導(dǎo)電能力密切關(guān)聯(lián).為此，針對超導(dǎo)薄膜界面裂紋破壞及其影響規(guī)律的研究非常必要.截至目前，已有不少針對薄膜基底結(jié)構(gòu)的界面裂紋問題的研究[3-4].Hutchinson 等[5-6]通過理論推導(dǎo)，提出了穩(wěn)態(tài)開裂下雙層膜的界面裂紋計算模型，可用于分析裂紋尖端處的應(yīng)力分布.由于解析方法的局限性，以有限單元法和邊界元法為代表的數(shù)值解法紛紛涌現(xiàn)[7-8].Ma 和Su 等[9]使用拓展有限元法（X-FEM），解決了靜態(tài)雙材料界面斷裂問題；Gu 等[10]提出了基于邊界元法的新型裂紋尖端單元，可用于分析復(fù)合材料的界面裂紋.以上方法為分析超導(dǎo)薄膜界面處斷裂性能提供了幫助.

超導(dǎo)薄膜受到的電磁力是導(dǎo)致其界面發(fā)生裂紋破壞的重要因素.Gruss 等[11]觀察到外加磁場變化和溫度變化都會對薄膜內(nèi)電磁場產(chǎn)生影響，進而影響超導(dǎo)薄膜所受的電磁力.Zeldov 等[12]對無限長的Ⅱ型超導(dǎo)薄膜的臨界狀態(tài)進行了理論分析，指出磁通穿透區(qū)域內(nèi)電流密度的幅值等于臨界電流密度jc.Brandt 和Indenbom等[13]給出了在外部磁場垂直作用下，Ⅱ型超導(dǎo)薄膜在臨界狀態(tài)下的電流密度和總磁場分布.然而，上述方法的臨界電流密度都是恒定的，McDonald 等[14]在臨界電流密度Jc(B) 任意給定的前提下，分析了無限長Ⅱ型超導(dǎo)薄膜的電磁場.此外，磁通釘扎效應(yīng)引起磁致伸縮對不同形狀的Ⅱ型超導(dǎo)體的應(yīng)力、應(yīng)變的影響不容忽視[15-16]，Zhao 等[17]考慮了在磁通釘扎效應(yīng)影響下，通量流動速度對超導(dǎo)薄膜的磁化強度和應(yīng)力的影響.結(jié)合以上方法，考慮磁通釘扎效應(yīng)的影響，可以更為合理地描述超導(dǎo)薄膜受到的電磁力.

為此，針對超導(dǎo)薄膜，在外磁場作用下，引入了超導(dǎo)磁通釘扎效應(yīng)所引起的黏性通量流動對于薄膜結(jié)構(gòu)電磁力的影響，并優(yōu)化了電磁力計算方法，深入研究了磁通流動速度對薄膜基底結(jié)構(gòu)界面裂紋的影響.

1 計算模型與公式

1.1 計算模型

如圖1(a)所示，長L、寬2a的超導(dǎo)薄膜(1#)被沉積在基底(2#)上，厚度分別為h1和h2，且滿足h1?h2.超導(dǎo)薄膜和基底之間的界面與y軸重合，在界面上存在初始裂紋.問題滿足以下假設(shè)：超導(dǎo)薄膜和基底都是各向同性和線彈性的；初始裂紋長度為超導(dǎo)膜厚度的數(shù)倍，初始裂紋尺寸不影響裂紋開裂；2a?L，問題滿足平面應(yīng)力條件.

在垂直于超導(dǎo)薄膜、平行于z軸方向施加密度為Ba的外加磁場，圖1(b)為超導(dǎo)薄膜內(nèi)電磁力分布的示意圖，在臨界狀態(tài)下，磁通Bz垂直于xOy平面穿透超導(dǎo)薄膜，使得超導(dǎo)薄膜內(nèi)產(chǎn)生密度為jc的矩形環(huán)狀電流，同一個電流環(huán)上的任意點到外部邊界的距離相等[15].屏蔽區(qū)對應(yīng)薄膜內(nèi)磁場強度為零的區(qū)域，圖中 2b對應(yīng)屏蔽區(qū)的寬度， 2b?為薄膜內(nèi)電磁分布的另一個間斷點，滿足a>b?>b.由于電流回路的特性，可以將薄膜劃分成四個區(qū)域.為了便于描述薄膜內(nèi)的電磁場分布，選取橫截面A，截面A 滿足y=L/2 且平行于xOz平面.

圖1 計算模型示意圖: (a) 超導(dǎo)薄膜/基底結(jié)構(gòu)界面裂紋問題；(b) 電磁力分布Fig. 1 The schematic drawing for calculation: (a) interface crack between superconducting thin film and substrate; (b) electromagnetic force distribution

1.2 電磁場公式

場冷和零場冷是使得Ⅱ型超導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生俘獲磁場的兩種常用方法.場冷指的是超導(dǎo)體在一個固定的外加磁場中冷卻，最后撤去外加磁場的過程；零場冷指的是先冷卻然后再施加外加磁場，最后撤去外加磁場的過程.這兩種方法在超導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生的俘獲磁場分布不同，與路徑有關(guān)[18].本文研究零場冷的磁化過程.

當外加磁場和臨界電流給定時，可由上式解出屏蔽區(qū)域尺寸b.

根據(jù)式(2)，可將式(1)與式(3)結(jié)合，得到考慮通量流動速度的屏蔽區(qū)尺寸的表達式為

超導(dǎo)膜內(nèi)的電流密度分布和磁通密度分布如下[14]：

1） 磁場上升階段

超導(dǎo)膜內(nèi)的電流密度和磁通密度分布明確后，磁化過程的電磁體力可以通過f=j×B得到.由于垂直于yOz平面的力fx對沿y軸的裂紋幾乎沒有影響，因此我們只考慮fy：

1.3 斷裂公式

需要說明的是，如圖2 所示，如果裂紋在界面中間且關(guān)于中軸對稱，則可以將問題簡化為圖1(a)的簡化計算模型[6]，此時斷裂公式(11) ～ (17)依舊可用，注意需要滿足前面部分所作的假設(shè)：h1?h2,2a?L且初始裂紋長度為薄膜厚度的數(shù)倍.

圖2 薄膜與基底結(jié)構(gòu)界面中心處裂紋計算模型示意圖Fig. 2 The calculation model of a crack at the center of the interface between the thin film and the substrate

2 結(jié)果與討論

2.1 磁場上升階段薄膜內(nèi)電磁場分布

當外加磁場Ba/Bp=2時，截面A 的電流密度和磁通密度分布分別如圖3、圖4 所示，為了清楚地反映變化趨勢，選定磁通流動速度v0/a=0 s?1, 0.5 s?1,3 s?1.由圖3 可知，隨著磁通流動速度的增大，膜內(nèi)電流密度的最大值將會增大，并且電流密度分布的變化速率加快，這意味著維持膜內(nèi)最大電流密度的能力變?nèi)?從圖4 可以看出，隨著磁通流動速度的增大，磁通密度的極值隨之增大.此外，注意到圖4 薄膜內(nèi)磁通密度為零對應(yīng)的x軸范圍為屏蔽區(qū)的尺寸，即圖1(b)中所示的2b，較大的磁通流動速度將會導(dǎo)致較大的屏蔽區(qū)尺寸.

圖3 截面A 的電流密度分布 (磁場上升階段)Fig. 3 The current density distribution in cross-section A (the increasing field)

圖4 截面A 的磁通密度分布 (磁場上升階段)Fig. 4 The flux density distribution in cross-section A (the increasing field)

進一步可以得到，當磁通流動速度增大時，非零的電磁力將會向膜邊緣集中，且電磁力最大值將增大.

2.2 磁場上升階段裂尖應(yīng)力場

圖5 和圖6 分別給出了Ⅰ型應(yīng)力強度因子和Ⅱ型應(yīng)力強度因子與外加磁場的關(guān)系.Ⅰ型應(yīng)力強度因子表示裂紋尖端處法向正應(yīng)力的強度，Ⅱ型應(yīng)力強度因子則表示裂紋尖端處切應(yīng)力的強度.圖5 和圖6 表明，隨著外加磁場逐漸增大，裂紋尖端處的正應(yīng)力和切應(yīng)力均增大.在外加磁場不變的情況下，磁通流動速度越大，裂紋尖端處正應(yīng)力和切應(yīng)力越大，且切應(yīng)力的增量相對于正應(yīng)力更大一些.此外，較大的磁通流動速度將會導(dǎo)致裂尖應(yīng)力場的變化速率加快.

圖5 Ⅰ型應(yīng)力強度因子KI/K0 與外加磁場的關(guān)系(磁場上升階段)Fig. 5 The relationship between mode Ⅰ stress intensity factor KI/K0 and the magnetic field (the increasing field)

圖6 Ⅱ型應(yīng)力強度因子KⅡ/K0 與外加磁場的關(guān)系(磁場上升階段)Fig. 6 The relationship between mode Ⅱ stress intensity factor KⅡ/K0 and the magnetic field (the increasing field)

通過以上分析可以得到，磁通流動速度和裂紋尖端處的應(yīng)力是正相關(guān)的，且磁通流速變化對切應(yīng)力的影響更大.

2.3 磁場下降階段薄膜內(nèi)電磁場分布

當Ba/Bp=1.5時，截面A 的電流密度和磁通密度分布分別如圖7、圖8 所示.如圖7 所示，電流密度分布關(guān)于零點反對稱，在x軸正方向，電流密度從零點開始先增大至極大值，后減小至極小值隨后保持恒定，兩個極值對應(yīng)的x軸坐標分別是b和b?.圖7 表明，磁通流動速度的增大將會導(dǎo)致膜內(nèi)電流密度的最大值增大，電流密度分布的變化速率也將提高，同時電流密度的分布將會更加靠近薄膜邊緣.如圖8 所示，磁通密度分布關(guān)于截面A 的中軸對稱，與電流密度分布一致，磁通密度分布也存在兩個分段點.圖8 表明，磁通密度峰值的大小會隨著磁通流動速度的增大而增大.此外，磁通流動速度的增大會導(dǎo)致磁通密度分布更加接近薄膜邊緣.

圖7 截面A 的電流密度分布 (磁場下降階段)Fig. 7 The current density distribution in cross-section A(the decreasing field)

圖8 截面A 的磁通密度分布 (磁場下降階段)Fig. 8 The flux density distribution in cross-section A(the decreasing field)

將上述內(nèi)容與磁場上升階段的相關(guān)內(nèi)容進行對比，可以得出：超導(dǎo)薄膜在外加磁場的作用下，磁通流動速度越大，膜內(nèi)屏蔽區(qū)尺寸就越大，同時薄膜內(nèi)電流密度的極值和變化速率也將增大，磁通密度分布同理.相對于磁場上升階段，上述變化在磁場下降階段更為明顯.

2.4 磁場下降階段裂尖應(yīng)力場

Ⅰ型應(yīng)力強度因子和Ⅱ型應(yīng)力強度因子與外加磁場的關(guān)系分別如圖9、圖10 所示.由于裂紋面正向壓應(yīng)力對裂紋張拉破壞沒有影響，也就是說KI/K0取負值沒有意義，因此將負的KI/K0取為零.由圖9 和圖10 可知，磁通流動速度的增大，會導(dǎo)致裂紋尖端的應(yīng)力(正應(yīng)力和切應(yīng)力)增大，以及應(yīng)力場的變化速率加快.需要注意：大約在外加磁場Ba/Bp<1 的區(qū)域內(nèi)，裂紋尖端正應(yīng)力為零，切應(yīng)力為負，磁通流動速度的增大將會減小出現(xiàn)這一現(xiàn)象的Ba/Bp的范圍.結(jié)合式(10)、(15)可以得到，裂紋尖端應(yīng)力為負值是由于此時作用在裂紋邊緣處的合力 σu為負值造成的，這對應(yīng)了超導(dǎo)薄膜兩端受拉的情況.

圖9 Ⅰ型應(yīng)力強度因子KI/K0 與外加磁場的關(guān)系(磁場下降階段)Fig. 9 The relationship between mode Ⅰ stress intensity factor KI/K0 and the magnetic field (the decreasing field)

圖10 Ⅱ型應(yīng)力強度因子KⅡ/K0 與外加磁場的關(guān)系(磁場下降階段)Fig. 10 The relationship between mode Ⅱ stress intensity factor KⅡ/K0 and the magnetic field (the decreasing field)

將上述內(nèi)容與磁場上升階段的相關(guān)內(nèi)容進行對比，可以得出：隨著磁通流動速度的增大，裂紋尖端場的應(yīng)力(正應(yīng)力和切應(yīng)力)將會增大，且變化速率加快.特別是在磁場下降階段中，當外加磁場的取值為靠近零點的一個小范圍時，會出現(xiàn)裂紋尖端處拉應(yīng)力為零且剪應(yīng)力為負值的現(xiàn)象，磁通流動速度的增大將減小這個范圍.

2.5 能量釋放率

圖11 展示了不同的磁通流動速度下，能量釋放率G與外加磁場強度Ba的關(guān)系，用不帶標記的線和帶標記的線分別表示磁場上升階段和磁場下降階段.從圖11(a)可以看出，磁場上升和下降階段都在Ba=Bm時達到G的最大值.相同外部條件下，磁通流動速度越大會導(dǎo)致能量釋放率越大，這意味著裂紋開裂的風(fēng)險增大.大多數(shù)時候磁場上升階段的能量釋放率都大于磁場下降階段，這意味著最大開裂概率發(fā)生在磁場上升階段.如圖11(b)所示，在Ba接近于零點的一個較小范圍內(nèi)，磁場下降階段中的能量釋放率大于上升階段.需要注意到，在磁場下降階段中，隨著外加磁場的增加，能量釋放率有一個先上升至峰值后減小至0 最后繼續(xù)上升的山形走勢，通過增大磁通流動速度，將會使得出現(xiàn)上述山形曲線對應(yīng)的Ba的范圍減小.

圖11 磁場上升階段和磁場下降階段能量釋放率與外加磁場的關(guān)系：（a） Ba≤2.0Bp；（b） Ba≤1.2Bp, G/G0≤0.04Fig. 11 The relationship between the energy release rate and the external magnetic field in increasing and decreasing fields:（a） Ba≤2.0Bp; （b） Ba≤1.2Bp, G/G0≤0.04

我們得出，在磁場上升階段和磁場下降階段中，能量釋放率均在Ba=Bm處均達到最大值.相同條件下，磁通流動速度越大，裂紋開裂的風(fēng)險就越大，此外，最大開裂概率發(fā)生在磁場上升階段.

3 結(jié) 論

為了分析超導(dǎo)薄膜與厚基底在外部磁場作用下的界面裂紋問題，本文基于磁通量子穿透薄膜理論和線彈性斷裂理論，建立了研究超導(dǎo)層與基底界面裂紋問題的解析模型，對外加磁場作用下磁通流動速度對裂紋尖端應(yīng)力場和能量釋放率的影響進行了分析.所得結(jié)果表明：超導(dǎo)薄膜在外加磁場的作用下，磁通流動速度越大，裂紋尖端處的應(yīng)力越大，能量釋放率也越大，這意味著裂紋開裂的風(fēng)險越大.本解析模型有助于分析磁通流動效應(yīng)對薄膜基底結(jié)構(gòu)界面斷裂行為的影響，但與超導(dǎo)薄膜的實際應(yīng)用情況相比仍有差距，例如做出了線彈性假設(shè)以及忽略了熱應(yīng)力的影響，因此，今后仍需針對更為復(fù)雜的情況進行研究.

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