【摘要】小學(xué)數(shù)學(xué)起點型核心知識（以下簡稱“起點型核心知識”）是小學(xué)數(shù)學(xué)課程中處于某個知識領(lǐng)域、知識序列、知識段落或知識單元起點位置的核心知識。它們通常具有豐富、獨特的育人價值?；跀?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，整體把握數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和學(xué)情，利用起點型核心知識在核心素養(yǎng)上的連續(xù)性、知識本質(zhì)上的同一性、認(rèn)知圖式上的遷移性實施長程教學(xué)，有助于促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育在課堂教學(xué)中有效落地。

【關(guān)鍵詞】起點型核心知識；長程教學(xué)；知識本質(zhì)；認(rèn)知圖式；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；學(xué)科育人

【中圖分類號】G623.5【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A【文章編號】1005-6009（2022）33-0007-04

【作者簡介】魏光明，南京市金陵中學(xué)實驗小學(xué)（南京，210019）黨支部書記，高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”中青年學(xué)術(shù)技術(shù)帶頭人，江蘇第二師范學(xué)院、南京曉莊學(xué)院客座教授。

*本文系全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度教育部重點課題“小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識建構(gòu)的教學(xué)研究”（DHA200370）階段性研究成果。

站在立德樹人的高度來看小學(xué)數(shù)學(xué)教育，我們應(yīng)該堅持兒童立場，深度挖掘并充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科知識的育人價值，讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)獲得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升，實現(xiàn)智力水平、學(xué)習(xí)情感和價值觀念等協(xié)同發(fā)展。在全面落實“雙減”政策的大背景下，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要實現(xiàn)減負(fù)提質(zhì)，促進(jìn)每一個學(xué)生可持續(xù)、高質(zhì)量地發(fā)展，科學(xué)遴選并長程教學(xué)數(shù)學(xué)核心知識，特別是起點型核心知識，就具有重要的現(xiàn)實意義，有利于促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中有效落地，真正實現(xiàn)學(xué)科育人的長遠(yuǎn)目標(biāo)。

數(shù)學(xué)教學(xué)要有全局觀、整體觀，提倡瞻前顧后，實施長程教學(xué)。要對起點型核心知識實施長程教學(xué)，首先需弄清楚以下三個基本問題。

其一，什么是起點型核心知識？我們知道，數(shù)學(xué)知識之間普遍存在著邏輯聯(lián)系，借助這種邏輯聯(lián)系，可以實現(xiàn)從知識點到知識鏈再到知識體系的不斷生長和擴(kuò)展。在縱橫聯(lián)結(jié)的知識體系中，有一些適用范圍廣、自我生長和遷移能力強(qiáng)、不可或缺、處于基礎(chǔ)和中心地位、具有關(guān)鍵性、結(jié)構(gòu)性、統(tǒng)攝性和生發(fā)性的知識，這些知識就是數(shù)學(xué)核心知識。由于知識不斷生長，知識體系不斷進(jìn)階，必然會存在一些相對意義上的起點型知識。其中，處于某個知識領(lǐng)域、知識序列、知識段落或知識單元起點位置、具有“種子”作用的核心知識，就可以稱為起點型核心知識。起點型核心知識具有根基性、原點性和生長性，是眾多知識中的干細(xì)胞，是知識生長的起點，是搭建知識框架的承重柱，是支撐知識體系的根基。起點型核心知識一般指向數(shù)學(xué)基本思想、基本方法、基本概念、基本原理、基本關(guān)系等內(nèi)容初次集中教學(xué)的節(jié)點。起點型核心知識既可以按照其具有的特點進(jìn)行判斷，也可以采用抽象度分析法進(jìn)行遴選。

其二，什么是長程教學(xué)？眾所周知，教學(xué)是教師把知識、技能、方法等傳授給學(xué)生的過程，這一過程是緩慢的、不斷進(jìn)階的，反映在學(xué)生身上，就是持續(xù)建構(gòu)的過程。教學(xué)時，我們不能孤立地看問題，將眼光局限于某一課時范圍內(nèi)的特定知識，人為割裂所教知識與現(xiàn)實生活、其他知識或問題解決之間的聯(lián)系，而應(yīng)立足知識整體，聯(lián)系現(xiàn)實生活，設(shè)計并實施長程教學(xué)。本文所指的長程教學(xué)，是根據(jù)知識之間的邏輯聯(lián)系以及不同階段學(xué)生的年齡特點、認(rèn)知規(guī)律和思維水平，著眼一個長線的教學(xué)過程，可以是一個單元或幾個單元，可以是一個領(lǐng)域或幾個領(lǐng)域，也可以是一個學(xué)段或幾個學(xué)段，對特定教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行進(jìn)階性的系統(tǒng)設(shè)計，再根據(jù)階段教學(xué)要求來分步實施。

其三，什么是起點型核心知識的長程教學(xué)？從一定意義上說，就是要求教師能夠依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，在整體把握數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和學(xué)情的基礎(chǔ)上，梳理所要教學(xué)的起點型核心知識的來龍去脈，在縱向上弄清這一知識在不同單元、不同年級、不同學(xué)段的呈現(xiàn)形態(tài)，理順過去、現(xiàn)在與將來的關(guān)系；在橫向上弄清這一知識與其他知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，打通不同知識之間的“隔離墻”，引導(dǎo)學(xué)生整體感知、整體建構(gòu)、遷移應(yīng)用，逐步從單點走向結(jié)構(gòu)，提高知識的活力。

每一門學(xué)科都具有獨特的育人價值，整合所有學(xué)科的育人功能，就能有效落實立德樹人的根本任務(wù)。就小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科而言，實現(xiàn)學(xué)科育人目標(biāo)應(yīng)該堅持以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)該以數(shù)學(xué)核心知識為載體，教學(xué)數(shù)學(xué)核心知識應(yīng)該先從起點型核心知識著手。簡言之，我們應(yīng)該以培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，從起點型核心知識開始實施長程教學(xué)。

一方面，起點型核心知識的內(nèi)涵豐富，在它的表層數(shù)學(xué)符號概念背后，大多蘊(yùn)含著漫長的誕生歷史、復(fù)雜的產(chǎn)生背景、多樣的數(shù)學(xué)模型、基本的認(rèn)知圖式、常規(guī)的思維方式、一般的學(xué)習(xí)路徑和重要的思想方法。這些在教材中沒有用圖片或文字明確呈現(xiàn)出來的隱性成分，往往比顯性的概念符號具有更為重要的育人價值，有利于學(xué)生產(chǎn)生濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，感受廣泛的應(yīng)用價值，培養(yǎng)積極的數(shù)學(xué)情感，確立正確的數(shù)學(xué)觀念，發(fā)展理性的數(shù)學(xué)思維。

另一方面，起點型核心知識自身具有的根基意義、生發(fā)價值和遷移功能，以及與其他相關(guān)知識在內(nèi)容形式上的相似性、數(shù)學(xué)本質(zhì)上的同一性、內(nèi)在邏輯上的連貫性、認(rèn)知圖式上的遷移性、學(xué)習(xí)路徑上的進(jìn)階性、思想方法上的一致性、核心素養(yǎng)上的連續(xù)性，決定了它們在學(xué)生進(jìn)行知識學(xué)習(xí)和知識體系建構(gòu)過程中發(fā)揮著極其重要的作用。

從上述意義上說，我們應(yīng)該將起點型核心知識置于整體知識體系之中，按照知識發(fā)生、發(fā)展的脈絡(luò)進(jìn)行整體審視、解讀和分析，在此基礎(chǔ)上，匹配學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平，遵循數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)規(guī)律，科學(xué)擬訂細(xì)化的學(xué)習(xí)目標(biāo)，確定進(jìn)階的學(xué)習(xí)路徑，設(shè)計長線的學(xué)習(xí)活動，切實解決當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)存在的各說各理、前后割裂等問題。具體教學(xué)時，我們應(yīng)該重視引導(dǎo)學(xué)生積極參與、深度卷入長線的學(xué)習(xí)活動，經(jīng)歷創(chuàng)生學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)和遷移學(xué)習(xí)的過程，不斷積累發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)、理解和應(yīng)用起點型核心知識的經(jīng)驗，學(xué)會長時間思考和結(jié)構(gòu)化思考，學(xué)會獨立解決問題和提出新問題，逐步發(fā)展和完善數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，落實數(shù)學(xué)學(xué)科育人目標(biāo)。

對起點型核心知識實施長程教學(xué)，還需明晰起點型核心知識在整個知識體系至少是單元知識體系中處于什么位置，它從哪里來，又將往哪里去，它與相關(guān)聯(lián)的知識在數(shù)學(xué)本質(zhì)、認(rèn)知圖式、思維方式、思想方法、核心素養(yǎng)等方面存在怎樣的一致性，學(xué)生在學(xué)習(xí)時一般沿著怎樣的學(xué)習(xí)路徑，教師應(yīng)該選擇怎樣的教學(xué)策略來支持學(xué)生建構(gòu)新知、遷移學(xué)習(xí)和有聯(lián)系地思考。限于文章篇幅，這里僅從以下三個方面談?wù)勂瘘c型核心知識長程教學(xué)的常規(guī)路徑。

1.著眼育人，體現(xiàn)核心素養(yǎng)的連續(xù)性

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是數(shù)學(xué)學(xué)科育人目標(biāo)的具體化。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中逐漸形成的，是一種相對穩(wěn)定的心智結(jié)構(gòu)和思維方式，主要包括會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界等三個方面。起點型核心知識的長程教學(xué)，應(yīng)將與所教具體知識相關(guān)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)貫穿始終，并且不斷進(jìn)階。

比如，“5以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”是一個起點型核心知識?，F(xiàn)在幾乎所有幼兒園的小朋友都能流利地唱數(shù)10以內(nèi)的數(shù)，那么，進(jìn)入一年級以后，學(xué)生再次學(xué)習(xí)“5以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”的價值究竟在哪里呢？這就需要我們跳出知識本位，堅持素養(yǎng)導(dǎo)向，為培育一年級學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)開個好頭，定個方向。以“1”的認(rèn)識為例進(jìn)行說明，首先，呈現(xiàn)1個蘋果、1個梨、1個桃，讓學(xué)生依次說一說這是什么，再引導(dǎo)學(xué)生比較它們的個數(shù)，并鼓勵學(xué)生用“○”“□”“△”等圖形來表示；接著，引導(dǎo)學(xué)生比較幾種圖形的數(shù)量，引出自然數(shù)“1”。這里從實物或?qū)嵨飯D到圖形再到數(shù)“1”，目的在于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)兩級數(shù)學(xué)抽象，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界：第一級抽象是去除所有實物的物理背景，只保留實物的數(shù)量屬性，即都是“1個”，實現(xiàn)從感性具體到感性一般；第二級抽象是去除具體的量，只保留抽象的數(shù)的形式，揭示第一個數(shù)概念“1”，實現(xiàn)從感性一般到理性具體。

這樣大費周折地教學(xué)，旨在引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)抽象的過程，學(xué)習(xí)、感悟和了解數(shù)學(xué)抽象的一般方法，以便于在后續(xù)學(xué)習(xí)中發(fā)揮積極的作用。從5以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識開始，到10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識……再到分?jǐn)?shù)的認(rèn)識、小數(shù)的認(rèn)識，然后到用字母表示數(shù)，在這樣一個長線的過程中，學(xué)生就會慢慢形成并逐漸增強(qiáng)符號意識。沿著這樣的路徑，到初中再學(xué)習(xí)式的認(rèn)識等知識時，學(xué)生就會逐步形成并發(fā)展抽象意識。到了高中階段，結(jié)合相關(guān)知識的學(xué)習(xí)，學(xué)生就會逐步形成數(shù)學(xué)抽象能力。從符號意識到抽象意識再到抽象能力，反映了長程教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)不斷進(jìn)階的層級。當(dāng)然，不同類型的知識對應(yīng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有所側(cè)重，教學(xué)時需要科學(xué)地分析，有針對性地培育。

2.整體把握，凸顯知識本質(zhì)的同一性

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)是對現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系、空間形式、變化規(guī)律、結(jié)構(gòu)模式等的抽象描述，可以用于解釋現(xiàn)實世界的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界的問題。起點型核心知識的長程教學(xué)應(yīng)該深度挖掘、完整理解其本質(zhì)，利用和保持其與相關(guān)知識在知識本質(zhì)上的一致性，用同一個“理”貫穿一個知識單元、一個知識序列、一個知識領(lǐng)域，甚至更大的范圍。

比如，“可能性”是一個起點型核心知識。教材中的摸球游戲，帶給學(xué)生的更多是覺得好玩，并印證他們對簡單事件發(fā)生的可能性的直覺判斷。但是，如果從知識體系和集合理論的角度來看，“可能性”背后隱藏著一個數(shù)學(xué)大概念——“概率”，其本質(zhì)是對簡單隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量。就小學(xué)階段學(xué)習(xí)“可能性”首先遇到的古典概型而言，簡單隨機(jī)事件的可能結(jié)果是有限的，且每個結(jié)果發(fā)生的可能性是相等的。弄清楚這些，與“可能性”相關(guān)的內(nèi)容教學(xué)就會更加連貫。我們可以這樣教學(xué)“可能性”：首先給2個紅球編號，引導(dǎo)學(xué)生說出并記錄所有可能摸出的結(jié)果，即1號紅球、2號紅球；接著將2個紅球放入袋中，讓學(xué)生隨機(jī)摸球，摸后放回打亂，記錄多次摸球結(jié)果；再引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較，得出“摸出的要么是1號紅球，要么是2號紅球”的結(jié)論，從而認(rèn)識“摸出的一定是紅球”“摸出的不可能是黃球”這兩種確定性事件；然后，將2個紅球替換為1個紅球和1個黃球，重復(fù)上述操作，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“摸出的可能是紅球”這一不確定性事件。

這樣教學(xué)，旨在引導(dǎo)學(xué)生感悟和理解運用確定性的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)不確定性的隨機(jī)現(xiàn)象，學(xué)會有根有據(jù)地討論隨機(jī)事件，為后續(xù)包括中學(xué)階段學(xué)習(xí)概率知識預(yù)留寬敞的通道。就拿列出所有可能的結(jié)果這一點來說，將來就可以據(jù)此進(jìn)行比較，討論簡單隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的大??；對接集合理論下樣本點和樣本空間等概念；運用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率來估計概率和推斷樣本點；計算簡單隨機(jī)事件發(fā)生的概率（包括最簡單的用分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)來表示）；理解必然事件發(fā)生的概率為1，也就是100%，不可能事件發(fā)生的概率為0，隨機(jī)事件發(fā)生的概率在0～1或0～100%之間。事實上，所有的起點型核心知識教學(xué)都應(yīng)該立足長程視野，借助知識本質(zhì)的同一性打通知識教學(xué)的“堵點”，讓教師教得順暢，學(xué)生學(xué)得通透，體會到許多知識講的是一回事，用的是一個理。

3.發(fā)展思維，利用認(rèn)知圖式的遷移性

皮亞杰認(rèn)為：發(fā)展是個體在與環(huán)境不斷地相互作用中的一種建構(gòu)過程，圖式是被構(gòu)造出來的，是人們?yōu)榱藨?yīng)付某一特定情境而產(chǎn)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是人們表征、組織和解釋經(jīng)驗的一些思維和動作模式或心理結(jié)構(gòu)。認(rèn)知圖式具有很強(qiáng)的吸附、解釋和遷移功能。起點型核心知識的長程教學(xué)，應(yīng)該借助學(xué)生在起點型核心知識學(xué)習(xí)時形成的基本認(rèn)知圖式，通過同化和順應(yīng)，經(jīng)由自身調(diào)整或自身調(diào)節(jié)，持續(xù)建構(gòu)和理解新知識，擴(kuò)充和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，識別和解決相似或相近的實際問題。

比如，“認(rèn)識厘米”是一個起點型核心知識。學(xué)生在學(xué)習(xí)“認(rèn)識厘米”時，一般會經(jīng)歷這樣的過程：一是觀察兩條長短明顯不一的線段，知道線段是有長有短的；二是采用重疊等方法直接比較兩條線段的長短，并提出“兩條線段的長度究竟相差多少”的問題；三是分別用非標(biāo)準(zhǔn)單位去測量線段的長度，發(fā)現(xiàn)測量得出的結(jié)果不同，產(chǎn)生統(tǒng)一測量單位的需求，感受統(tǒng)一測量單位的必要性；四是由數(shù)學(xué)史引出統(tǒng)一的長度單位，揭示學(xué)生正式認(rèn)識的第一個通用標(biāo)準(zhǔn)長度單位“厘米”，通過反復(fù)操作和比較，建立“1厘米”的表象；五是用“1厘米”連續(xù)測量線段的長度，初步感悟和認(rèn)識測量的本質(zhì)是單位的重復(fù)和累加；六是將多個標(biāo)準(zhǔn)單位“1厘米”依次連接，創(chuàng)造出測量工具直尺，知道直尺與單位的關(guān)系，并用直尺正確測量線段的長度；七是從不同刻度出發(fā)，用直尺靈活測量指定線段的長度。在這一過程中，學(xué)生不僅認(rèn)識了第一個長度單位“厘米”，建立了1厘米和幾厘米的表象，理解了長度測量的本質(zhì)，更重要的是，伴隨著這一過程，學(xué)生同步建構(gòu)了關(guān)于測量的一般認(rèn)知圖式。

這樣教學(xué)，旨在引導(dǎo)學(xué)生著重學(xué)習(xí)“認(rèn)識厘米”的方法、程序和結(jié)構(gòu)，并能夠?qū)@得的學(xué)習(xí)經(jīng)驗遷移到其他測量知識的學(xué)習(xí)中去，逐漸形成相對穩(wěn)定、前后關(guān)聯(lián)、具有生長活力的認(rèn)知圖式。整體審視“測量”板塊，無論是長度還是面積、體積，或者是角的測量，本質(zhì)上都是對與其相對應(yīng)的某種測量單位的重復(fù)與累加，不同的只是研究對象從一維空間變成二維空間再變成三維空間。清晰地建構(gòu)“認(rèn)識厘米”獲得的認(rèn)知圖式之后，借助認(rèn)知遷移，可以更加有效、快速地學(xué)習(xí)其他有關(guān)測量的知識。

綜上所述，教師要以起點型核心知識的發(fā)生、發(fā)展為生長線索，匹配學(xué)生的認(rèn)知能力和思維水平，科學(xué)設(shè)計學(xué)習(xí)路徑，實施長程教學(xué)，從而引導(dǎo)和支持學(xué)生深度卷入學(xué)習(xí)，學(xué)會數(shù)學(xué)思考，提高數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，最終實現(xiàn)人的心智、情感、信念等的完整發(fā)展。

[1]魏光明，王俊亮，劉正松，等.小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識教學(xué)的理論與實踐[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020.

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