李玉華，孫依人，劉佳音，周長紅，王光遠，陳靜云

（1. 大連理工大學交通運輸學院，遼寧大連116023；2. 大連海洋大學海洋與土木工程學院，遼寧大連116023；3. 遼寧省交通高等?？茖W校道路橋梁工程系，遼寧沈陽110122）

導線法與曲線法是路線平面線形設計的兩種主要方法［1］，均涉及起終點坐標、偏轉(zhuǎn)角、半徑等重要參數(shù)。自上世紀90年代開始，我國高等級公路建設突飛猛進，路線線形設計方法得以深入研究和發(fā)展。

在固定線形起、終點坐標及相關參數(shù)條件下構(gòu)造方程組、求解多個線形單元未知參數(shù)的附合導線法［2］，提升了導線法的高效性；因采用多個線形單元組合設計，故存在局部線形難以有效控制等問題。

曲線設計法經(jīng)過多年研究積累，形成了曲直法、線元法、綜合法等類型［3］。曲直法是導線法與曲線法的結(jié)合［4］，五單元導線法［5］及其拓展改進方法［6］、模式法［7］等亦屬此類。線元法含控制線元法［8］、線元積木法［9-10］、交互式設計法［11］等，其中線元積木法以線元為核心，已知前一個線元的終點坐標、切向方位角、曲率半徑，在進行新線元設計時，先確定線元類型并設定一個已知參數(shù)，再進行其余參數(shù)計算，然后與前一個線元銜接，新線元終點將成為下一個設計線元的起點，如此重復直至完成全部線形設計，如同搭設積木一樣；該方法方便靈活，廣泛應用于高等級公路尤其是立交匝道的線形設計。存在的問題是終點坐標需通過計算確定［10］，故難以保證理想的線形。根據(jù)路線位置坐標采用三次樣條曲線插值［12］或最小二乘擬合法［13］獲得曲率半徑等參數(shù)，再采用線元法進行線形布設，由此可控制路線形狀及終點位置，此為綜合法［14］（或擬合法［3，13］）基本思想；顯然，相比于前述各種方法，綜合法稍顯繁瑣。

平面線形設計“BE3”方法［15］將線形組合歸結(jié)為含3個線形單元的“圓─緩─圓”或“緩─圓─緩”形式，在已知線形起、終點及總偏轉(zhuǎn)角3 個條件下，建立3 個方程聯(lián)合求解3 個線形單元的長度參數(shù)。該法集合了附合導線法［2］與模式法［7］的優(yōu)點，但在兩個端點已知的條件下仍設定總偏轉(zhuǎn)角，影響了線形布設的靈活性。

伴隨計算機與人工智能技術的發(fā)展，智能交通系統(tǒng)的應用日益普及，出現(xiàn)了交通安全與線形［16］、自動導航以及既有道路線形自動重構(gòu)［17］等新問題。坐標定位及位置控制是導航、自動駕駛的關鍵技術，依據(jù)GPS 定位自動獲取既有道路的線形參數(shù)是建立導航信息大數(shù)據(jù)的基礎［18］，具有端點位置坐標、單元離散、化整為零、拼接重組等特性的線元積木法，在道路線形重構(gòu)中具有明顯優(yōu)勢并將得以新的應用發(fā)展。

本文基于傳統(tǒng)線元積木法，提出當且僅當給定線形的起點、終點即可唯一確定多種線形單元的兩點線元法［19-20］，旨在使線元位置、形狀及走向得以有效控制，并在既有道路線形重構(gòu)中發(fā)揮作用。

1 傳統(tǒng)線元積木法設計方法

1.1 設計過程

以動態(tài)交互式線元積木法為例，其設計過程如圖1 所示。路線直線段AB 已完成設計，B 點坐標、切向角、曲率半徑均已知。以B點為起點，增設新線元BE 的方法是：先指定線元類型為回旋線（或圓曲線、直線），再輸入線元的回旋線長度LS（或終點曲率半徑、偏轉(zhuǎn)角等）參數(shù)；當鼠標移動時，動態(tài)捕捉設計終點的參考位置E′并實時計算線元其余參數(shù)，同時動態(tài)繪制相應線元曲線［21］。

1.2 存在的問題

（1）傳統(tǒng)線元積木法在設計緩和曲線線元時，不僅要擬定參考終點E′，還需采用一個附加參數(shù)（線元長度、偏轉(zhuǎn)角或終點曲率半徑等）為控制條件，再計算確定線元其余參數(shù)；而擬定的終點E′與線元實際終點E不一定重合，即點E′并非線元的實質(zhì)控制點，故線元的終點位置、形狀及走向難以精準控制。

（2）預先指定一種線元類型（直線、圓曲線或緩和曲線），在動態(tài)設計過程中僅顯示一種既定線元曲線，缺乏多樣性，不易比選、優(yōu)選。

2 兩點線元法線元參數(shù)及線元類型

2.1 線元基本參數(shù)

兩點線元法基于傳統(tǒng)的線元積木法，仍以線元為路線基本設計單元，但強調(diào)坐標位置對線元的控制作用，故將線元起、終點兩個端點均作為基本參數(shù)；除此之外，還包括起/終點切向角、起/終點半徑、線元長度、線元偏轉(zhuǎn)角等，總共8 個基本參數(shù)，見圖2。線元參數(shù)名稱、符號及參數(shù)取值范圍見表1。

2.2 線元基本類型

兩點線元法中，線元曲線仍分為直線、圓曲線、緩和曲線三大類型，其中緩和曲線類型可采用回旋線［1］、樣條曲線［12］、橢圓線［22］、螺線［23］、高次多項式［24］或其他類型曲線［25-26］。緩和曲線敷設與參數(shù)計算是線形設計的難點，不同緩和曲線類型將對應不同的參數(shù)計算方法。本文所述緩和曲線采用回旋線，根據(jù)起、終點曲率半徑的大小關系區(qū)分為正/反向完整型回旋線、正/反向非完整型回旋線4 種類型；故兩點線元法線元共分為6 種基本類型，各類型線元名稱、簡稱及參數(shù)特點如表2 所示。為適應平面線形設計時的一些特殊要求，可增設多種擴展類型，將另文介紹。

圖2 兩點線元法線形及參數(shù)Fig.2 Alignment and parameters of two-point segmentary element method

表1 兩點線元法線元參數(shù)及定義Tab.1 Parameters and definitions of two-point segmentary element method

2.3 獨立參數(shù)數(shù)量及典型獨立參數(shù)

顯然，切直線、圓曲線線元分別只需2個、3個獨立參數(shù)即可唯一確定。對于4 種回旋線線元，基于大量的程序計算及結(jié)果分析表明，僅需4 個獨立參數(shù)便可唯一確定；嚴格的數(shù)學證明具有一定難度，尤其是2種非完整型回旋線。本文僅通過后續(xù)偏轉(zhuǎn)角迭代計算、偏轉(zhuǎn)角范圍及計算示例結(jié)果等進行簡要說明。表3 列出了6 種基本型線元的獨立參數(shù)個數(shù)及典型獨立參數(shù)，其中起/終點兩個端點坐標、起點切向角為共同的3 個典型獨立參數(shù)，而起點或終點曲率半徑為第4個典型獨立參數(shù)。

表2 兩點線元法線元基本類型Tab.2 Basic types of two-point segmentary element method

表3 兩點線元法線元的典型獨立參數(shù)Tab.3 Typical independent parameters of two-pointsegmentary element method

3 兩點線元法參數(shù)計算方法原理

采用積木法進行路線線形逐段、連續(xù)敷設時，正常情況下6種基本型線元的起點坐標、終點坐標、起點方向角和起點半徑4 個典型參數(shù)是已知的；求解其余基本參數(shù)時，切直線、圓曲線線元采用解析法即可，而4種回旋線線元的計算方法略顯復雜，其關鍵是確定線元的偏轉(zhuǎn)角β，可采用迭代方法完成。限于篇幅，本文僅給出正緩完線元參數(shù)的計算原理；不失一般性，采用笛卡爾坐標系。

3.1 正緩完線元參數(shù)計算

圖3 為正緩完線元參數(shù)計算的示意圖，線元偏轉(zhuǎn)角β及其他參數(shù)計算步驟如下：

（1） 已知參數(shù)計算

計算割線BE的方向角α1及起點切線方向旋轉(zhuǎn)至割線BE方向的角度α0=α1?αB，限定α0∈(?π，+π)，且有α0≠0；當α0＞0時線元左轉(zhuǎn)，記δ=1；當α0＜0時線元右轉(zhuǎn)，記δ=-1。

（2） 建立相對坐標系O'X'Y'，計算線元終點E的相對坐標(x'E，y'E)

以完整型回旋線原點O'（起點B）為相對坐標系原點，以起點切線（方向角αB）為相對坐標系+X'軸，以+X′軸逆時針旋轉(zhuǎn)90°方向為相對坐標系+Y′軸，建立相對坐標系O'X'Y'。由式（1）計算線元終點E的相對坐標(x'E，y'E)。

圖3 正緩完線元參數(shù)計算Fig.5 Parameters’calculation of the forward com?plete transition curves

（3） 采用迭代方法計算線元偏轉(zhuǎn)角β

圖3 中，點E 為回旋線O′E 的終點，β為回旋線線元偏轉(zhuǎn)角，RE為點E 處的曲率半徑。根據(jù)回旋線特性，在相對坐標系O'X'Y'下可導出點E 相對坐標(x'E，y'E)［1，7，10］

式中：k'為割線BE在相對坐標系O'X'Y'中的斜率。當點B、點E 坐標及切向角αB已知時，由式（1）可計算點E的相對坐標(x'E，y'E)，再由式（6）或式（7）可得到常數(shù)k'，從而得到偏轉(zhuǎn)角β的典型顯示迭代計算式（5）。

（4） 偏轉(zhuǎn)角迭代計算控制

迭代算法的收斂穩(wěn)定性、初始值設定及計算精度控制等至關重要，后文進行的專門分析結(jié)果表明：當k'≤k'max=1.765、相 應β≤βmax=1.34π （ 約4.2rad）時，迭代式（5）迭代過程收斂、有唯一解；偏轉(zhuǎn)角β迭代計算的初始值β0取值范圍寬廣，在［0，4］范圍內(nèi)均收斂，一般迭代3～20步即可滿足相鄰差值絕對值|Δβ|＜10?5rad的精度要求。

（5） 其他線元參數(shù)計算

線元終點E的切向角αE、曲線半徑RE以及線元長度L可分別由式（8）～式（10）得到，即

（6） 線元曲線坐標(x，y)計算

為計算線元曲線上相對于起點B、曲線長度為s的任意點整體坐標(x，y)，需先按式（11）計算相對坐標(x'，y')，再根據(jù)起點B坐標、切向角αB由式（12）獲得，即

3.2 偏轉(zhuǎn)角迭代計算的收斂條件及估算

（1） 偏轉(zhuǎn)角唯一、迭代收斂的條件

由迭代計算公式（4）可知，相對斜率k'僅為偏轉(zhuǎn)角β的函數(shù)，圖4 給出了β在［0，2π］區(qū)間內(nèi)的β?k'變化曲線。由圖4 可知，在［0，2π］區(qū)間內(nèi)，k'并非β的單調(diào)函數(shù)，但在β∈[0，1.34π]區(qū)間內(nèi)，k'隨β增加而單調(diào)遞增；在β=1.34π（約4.2rad）時k'達到最大值k'max=1.765， 此 時α0max=1.055rad； 在β∈[1.34π，2π]區(qū)間，k'隨β增加而單調(diào)遞減。

實際工程設計中平面線形的回旋線偏轉(zhuǎn)角β＜π，由前述及圖4 可知在β∈[0，π]區(qū)間內(nèi)k'是β的單調(diào)遞增函數(shù)，故由相對斜率k'可獲得唯一的偏轉(zhuǎn)角β，再由式（8）～式（12）即可確定唯一的回旋線曲線參數(shù)。由此可推定：一般工程設計條件下，當已知4類回旋線線元的典型獨立參數(shù)時，如果線元存在，則是唯一的。

在設計過程中，可先計算相對斜率k'，如果k'＞k'max=1.765時，由圖4及前述可知，無滿足條件的偏轉(zhuǎn)角β，則4 類回旋線線元均不存在；若限定偏轉(zhuǎn)角β＜π，則前述判定條件中的k'max=1.349。

圖4 相對斜率k′與偏轉(zhuǎn)角β關系圖Fig.4 Relationship between the relative gradient k′and the deflection angle β

（2） 偏轉(zhuǎn)角估算及迭代初始值設定

考慮實際工程條件，在β∈(0，π)范圍內(nèi)可得到k'與β的二次多項式擬合結(jié)果，其擬合判定系數(shù)R2達到0.999以上，即

當相對斜率k'計算確定后，求解式（13）可得偏轉(zhuǎn)角β的估計值?；以?作為偏轉(zhuǎn)角迭代計算的初始值β0，將減少迭代計算步數(shù)，即

4 兩點線元法設計過程

4.1 設計過程

兩點線元法設計過程與傳統(tǒng)動態(tài)線元積木法類似，一般從設計路段的起點開始，逐條確定設計線元，見圖5，直至完成全部路段線形設計。設計流程如圖6所示，主要步驟如下：

（1） 確定線元起點B相關參數(shù)

需確定線元的起點B、起點切向角αB及起點半徑RB。對于首條線元，路線起點A 為線元起點，需單獨確定起點切向角和起點半徑；對于其余線元，依據(jù)線形連續(xù)原則，只需將前一條線元的終點參數(shù)作為當前設計線元的起點參數(shù)。對于正緩非、反緩非2種線元類型，可根據(jù)需要設定多個不同的起點半徑，將相應獲得多條不同的線元曲線。

圖5 兩點線元法設計過程Fig.5 Designing process for two-point segmentary element method

（2） 確定線元終點E坐標位置

根據(jù)路線走向，擬定坐標點E(xE，yE)作為當前設計線元的終點B。除非旨意設計切直線線元，點E不應在起點B的切向直線上。

（3） 計算線元參數(shù)，繪制線元曲線

根據(jù)設計線元的起點B、起點切向角αB、起點半徑RB及終點E，可唯一計算確定6 種基本型線元的其余參數(shù)（方法見后），繪制相應的線元曲線及終點切向方向直線。（4） 選擇適合的線元類型，保存設計參數(shù)

結(jié)合繪制的6 種線元曲線形狀，考慮路線走向及線形主要參數(shù)（半徑、長度、偏轉(zhuǎn)角等）的連續(xù)性、均衡性、協(xié)調(diào)性、一致性等設計要求，選擇確定適合的線元類型及線元；必要時可重復步驟（1）～（3），通過普選、比選或優(yōu)選獲得與地形相適宜的滿意線形。保存所選線元的基本參數(shù)，并繪制路線樁號、顯示線元參數(shù)等信息。

（5） 其余線元設計

重復步驟（1）～（4）直至完成全部路段線形設計。

圖6 兩點線元法設計流程圖Fig.6 Design flow chart of two-point segmentary el?ement method

4.2 線形設計原則的保證措施

（1） 線形曲線的光滑性

為符合車輛行駛軌跡的基本要求，平面線形曲線應是光滑的，即曲線的斜率應保持連續(xù)；對于高等級公路，線形曲線的曲率也應保持連續(xù)。在兩點線元法設計過程中，通過對線元起點相關參數(shù)（坐標位置、切向角、半徑等）的繼承設置及線形曲線本身特性得以保證。

（2） 線形參數(shù)的協(xié)調(diào)一致性

為保證車輛運行的順暢性、舒適性和安全性，線形設計參數(shù)應保持前后協(xié)調(diào)一致［27］，這需要為設計者提供足夠的選擇空間。兩點線元法同時提供與6種基本類型線元相應的多條線形曲線，采用動態(tài)拖動顯示和點取選擇，可滿足線形參數(shù)的協(xié)調(diào)性、一致性。

5 兩點線元法參數(shù)計算示例及分析

5.1 基本資料

如圖7所示，在笛卡爾坐標系下，已知線元起點B（100，100）、起點切線方向角αB=-25°，擬定線元終點E（500，150）。計算可得α0=+32.125°、相對斜率k'=tan(α0)=0.627 910。

5.2 線元參數(shù)計算及結(jié)果分析

（1） 參數(shù)計算

表4 列出了6 種基本型線元未知參數(shù)的計算結(jié)果，圖7給出6種基本型線元的10條曲線，其中正緩非、反緩非分別設定了3 種起點半徑，分別對應3 條曲線。正緩完線元偏轉(zhuǎn)角迭代計算時，分別取初始值β0=0 和β0=4（約1.273 2π）的前9 次迭代過程如表5 及表6 所示。由式（14）可獲得偏轉(zhuǎn)角的估計值β?=1.715 3，與準確值β=1.732 876 8的相對誤差為?1.0%。

（2） 結(jié)果分析

由表4可知，在已知線元起點、起點切向角以及給定終點的條件下，可唯一確定切直線、圓曲線、正緩完與反緩完4 種基本型線元；在另給定起點半徑時，可唯一確定正緩非、反緩非2種基本型線元。

按正緩完、正緩非、圓曲線、反緩非、反緩完的順序，線元參數(shù)大小的變化趨勢呈現(xiàn)明顯規(guī)律性，即αE、RB、β、L均逐漸減少，僅RE逐漸增大。

由圖7 可知，6 種基本型線元曲線互不相交、位置相對固定、形狀漸變，如：正緩完、正緩非位于圓曲線同側(cè)，且靠近切直線；反緩非、反緩完也位于圓曲線同側(cè)，但遠離切直線；線元曲線間隔在終點E附近較在起點B附近稍大，在中間部位的曲線間隔最大。

圖7 基本型線元參數(shù)計算Fig.7 Parameters calculation of basic segmentary element

表4 基本型線元參數(shù)計算結(jié)果Tab.4 Results of basic segmentary element parameter calculation

表5 線元偏轉(zhuǎn)角迭代計算（β0=0）Tab.5 Iterative calculation of segmentary element deflection angle(β0=0)

由表5、表6 可知，線元偏轉(zhuǎn)角初始值β0取值范圍較寬，迭代計算收斂速度較快、結(jié)果穩(wěn)定；采用二次多項式預估公式（14），可獲得較好的偏轉(zhuǎn)角估計值β?，誤差僅1%左右。

表6 線元偏轉(zhuǎn)角迭代計算（β0=4）Tab.6 Iterative calculation of segmentary element deflection angle(β0=4)

5.3 兩點線元法與傳統(tǒng)線元法對比分析

通過上述計算示例并對比圖1、圖5及圖7可知，兩點線元法基于傳統(tǒng)線元法進行改進，在線元類型、曲線形狀、設計參數(shù)等方面基本相同，設計成果亦基本相似，均只需逐段顯示各線元參數(shù)、繪制各線元線形圖形即可。兩者的主要區(qū)別在于：兩點線元法通過兩個端點可唯一確定6 種基本型線元，均猶如兩點唯一確定一條直線一樣，同時提供多條可供比選的線元曲線，可靈活控制線形形狀與走向；與傳統(tǒng)線元法相比，終點對線元的整體控制作用、效果尤為明顯。

6 兩點線元法工程設計實例

圖8 所示為“G219 線和布克賽爾至塔城至阿拉山口公路建設項目”初步設計中采用“道路路線平面線形兩點法設計軟件”完成的一段回頭曲線平面線形圖（K117+754.016～K118+304.884）。圖中共6 個線元、7 個端點，每個端點對應一個數(shù)據(jù)表格（P1～P7參數(shù)表）；圖中保留了設計過程中每兩個端點間自動給出的多個可選線元曲線，選定后的線元（設計線）用粗線示出并列出線元詳細信息，同時隱藏其余線元及相關的線元名稱。由圖可知，兩點線元法可完全應用于路線平面線形設計。

圖8 工程設計應用實例Fig.8 Application example of engineering design

7 結(jié)論

相比于傳統(tǒng)曲線設計法，兩點線元法的主要特點如下：

（1）線元分為切向直線、圓曲線、正/反向完整型回旋線、正/反向非完整型回旋線6種基本類型。

（2）線元含起點坐標、終點坐標、起點切向角、終點切向角、起點曲率半徑、終點曲率半徑及線元偏轉(zhuǎn)角、線元長度等至少8個基本參數(shù)。

（3）切向直線、圓曲線及4種回旋線線元的獨立參數(shù)數(shù)量分別為2 個、3 個、4 個，典型的獨立參數(shù)為起點坐標、起點切向角、起點半徑和終點坐標。

（4）順次設計新線元時，與起點相關的3個典型獨立參數(shù)是已知的，故只需再擬定1個終點坐標，即可唯一確定6 種基本型線元及其余參數(shù)；亦即在路線線形設計時，對于6 種基本型線元，均可通過起點、終點這“兩點”唯一確定。

（5）偏轉(zhuǎn)角計算是確定線元其余參數(shù)的關鍵，圓曲線采用解析法，4種回旋線可采用迭代法。

（6）對于4 種回旋線線元，由起、終兩點確定的割線相對斜率最大值為1.765，相應偏轉(zhuǎn)角的最大值為1.34π；在［0，1.34π］區(qū)間范圍內(nèi)，割線相對斜率為偏轉(zhuǎn)角的單調(diào)遞增函數(shù)；常規(guī)平面線形的偏轉(zhuǎn)角采用迭代法計算收斂、結(jié)果穩(wěn)定；可通過二次多項式擬合公式預估偏轉(zhuǎn)角，其誤差不超過1.0%。

（7）路線動態(tài)交互式設計時，可實時繪制各類型線元相應的多條曲線，利于線形比選、走向控制和參數(shù)協(xié)調(diào)。

（8）強調(diào)坐標位置對線元的控制作用，符合路線設計、線形敷設的坐標定位習慣，適于立交匝道、山嶺重丘復雜線形設計及改建道路線形設計、既有道路線形重構(gòu)等。