楊金梅

摘? 要：拉格朗日中值定理是高等數(shù)學(xué)微分學(xué)部分非常突出、重要的研究成果，在微積分發(fā)展過(guò)程中占據(jù)著極其重要的地位，是高等數(shù)學(xué)微分學(xué)部分的基礎(chǔ)，也是中值定理的核心內(nèi)容，能夠?qū)⒑瘮?shù)和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)，為其他微分學(xué)中值定理的推廣奠定基礎(chǔ)，在理論研究與實(shí)踐中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。拉格朗日中值定理的證明是考研高等數(shù)學(xué)科目中常出現(xiàn)的問(wèn)題，具有一定的難度。證明該定理的關(guān)鍵在于采用逆向思維的方式，構(gòu)建輔助函數(shù)，主要方法包括羅爾定理證明、旋轉(zhuǎn)法證明、常數(shù)k值證明等。對(duì)拉格朗日中值定理進(jìn)行推廣，拓寬其使用范圍，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)研究的價(jià)值，可用于求解極限、不等式、函數(shù)、證明類問(wèn)題，能夠?qū)?wèn)題化繁為簡(jiǎn)，為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供便利。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);拉格朗日中值定理;推廣

中圖分類號(hào)：O172.1? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1672-4437（2022）02-0058-07

高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域主要研究定義于實(shí)數(shù)集的函數(shù)的性質(zhì)，微分中值定理是探究函數(shù)性質(zhì)最重要、最有效的研究工具之一。深入理解和掌握微分中值定理相關(guān)知識(shí)，明確其證明方法和應(yīng)用條件是學(xué)習(xí)微分學(xué)的首要法則[1]。微分中值定理主要討論利用什么方法能夠根據(jù)導(dǎo)數(shù)已知性質(zhì)判斷和推導(dǎo)相應(yīng)函數(shù)的全部性質(zhì)，將函數(shù)性質(zhì)研究和導(dǎo)數(shù)知識(shí)運(yùn)用密切聯(lián)系在一起，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有重要作用。高等數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的微分中值定理包括羅爾（Rolle）中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理和泰勒（Taylor）中值定理。這些定理存在遞進(jìn)關(guān)系，后者可以由前者推導(dǎo)得出，其中拉格朗日中值定理屬于核心內(nèi)容，是學(xué)習(xí)函數(shù)極值、單調(diào)性、最值，以及曲線凹凸性等內(nèi)容的基礎(chǔ)[2]。高等數(shù)學(xué)教材通常對(duì)于拉格朗日中值定理的介紹較為簡(jiǎn)單，教師可以對(duì)其證明方法進(jìn)行簡(jiǎn)單講述，但應(yīng)詳細(xì)講解相關(guān)推廣定理及其具體應(yīng)用，以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

1 拉格朗日中值定理概述

拉格朗日中值定理，又稱“拉氏定理”或“有限增量定理”（以下將其稱為“拉氏定理”）。在古希臘時(shí)期就存在與中值定理相關(guān)的結(jié)論，1797年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日提出拉式定理并對(duì)其進(jìn)行證明。隨著數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究的不斷深入，拉式定理逐漸成為中值定理的核心內(nèi)容，成為連接函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的橋梁，作為研究函數(shù)的工具在微積分相關(guān)問(wèn)題中得到廣泛應(yīng)用。

1.1拉氏定理內(nèi)容

倘若函數(shù)f（x）滿足以下兩個(gè)條件：其一，函數(shù)在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo);其二，函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上為連續(xù)函數(shù)，則開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得下列等式成立[3]：

上述等式還可變型為：

對(duì)羅爾定理進(jìn)行推廣可以得到拉式定理，對(duì)拉式定理進(jìn)行合理的推理可以得到柯西中值定理，而拉氏公式與特殊階0階的泰勒公式相同。拉氏定理不僅可以證明等式或不等式，而且可以探究函數(shù)單調(diào)性、連續(xù)性和凹凸性等性質(zhì)，應(yīng)用范圍廣泛。

1.2定理的證明方法

作為微分學(xué)部分的基礎(chǔ)內(nèi)容，學(xué)習(xí)拉氏定理的證明方法，可以幫助學(xué)生更加深入地理解定理的精髓，掌握定理的使用方法。定理的證明思路主要是輔助函數(shù)的構(gòu)造，根據(jù)選擇的輔助函數(shù)的差異，可以選擇多種證明方法。

1.2.1 利用羅爾中值定理證明拉氏定理。

羅爾定理具體描述如下。

倘若函數(shù)f（x）在R上滿足以下三個(gè)條件：其一，閉區(qū)間[a，b]上函數(shù)f（x）連續(xù);其二，開區(qū)間（a，b）內(nèi)函數(shù)f（x）可導(dǎo);其三，f（a）=f（b），則區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使得 。與拉氏定理相比，羅爾定理多了第三個(gè)條件，換言之，當(dāng)函數(shù)滿足第三個(gè)條件時(shí)，拉氏定理就是羅爾定理，而羅爾定理只是拉氏定理的特殊形式，因此，可以用羅爾定理對(duì)拉氏定理進(jìn)行證明[4]。

證明：根據(jù)拉氏定理公式構(gòu)造輔助函數(shù)：

如果輔助函數(shù)F（x）滿足羅爾定理三個(gè)條件，那么區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，下列等式成立：

所以，? ? ? ? ? ?，拉氏定理成立。

上述證明過(guò)程較為簡(jiǎn)單，但具有較強(qiáng)的抽象性，學(xué)生需要具備良好的逆向思維能力，才能構(gòu)建出相應(yīng)的輔助函數(shù)。

1.2.2 旋轉(zhuǎn)法證明拉氏定理

使用這一證明方法，必須掌握拉氏定理的幾何意義，即x=a和x=b處為光滑曲線的兩個(gè)短端點(diǎn)，曲線內(nèi)必然存在一點(diǎn)，該點(diǎn)處的切線與曲線上的端點(diǎn)連線平行。在原坐標(biāo)系中，曲線的兩個(gè)端點(diǎn)高度不同，倘若將坐標(biāo)系進(jìn)行恰當(dāng)旋轉(zhuǎn)，則可以使曲線的兩個(gè)端點(diǎn)在新的坐標(biāo)系中具有相同高度，且旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)系中的曲線滿足羅爾中值定理。

證明：假設(shè)曲線上的P、Q兩個(gè)端點(diǎn)連成的直線l與x軸正半軸的夾角記為β，且0<β<π。坐標(biāo)軸的原點(diǎn)O，將原坐標(biāo)系進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為α，則α=π-β。假設(shè)平面內(nèi)任取一點(diǎn)N，其在原坐標(biāo)系中坐標(biāo)（x，y），變換后坐標(biāo)（x’，y’），那么下列等式成立：

原坐標(biāo)系中曲線表示為（x，f（x）），則曲線在新坐標(biāo)系中表示為：

旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)后曲線端點(diǎn)P、Q連成的直線l與X’平行，因此P、Q在新坐標(biāo)系中高度是相同的，可表示為 。根據(jù)上述內(nèi)容，在原坐標(biāo)系基礎(chǔ)上，構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù) ，在閉區(qū)間[a，b]上函數(shù)F（x）連續(xù)，且在開區(qū)間（a，b）內(nèi)F（a）=F（b），根據(jù)羅爾定理可知，區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使得 ，則 ，那么下列等式成立。

1.2.3 作差法證明拉氏定理

作差法也需要利用羅爾定理，才能夠證明拉氏定理。

證明：構(gòu)造作差輔助函數(shù)：

由輔助函數(shù)可知，在閉區(qū)間[a，b]上F（x）連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)F（x）可導(dǎo)，且F（a）=F（b）=0，滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，因此，開區(qū)間（a，b）內(nèi)必然存在一點(diǎn)ξ，能夠使得下列等式成立：

則：

1.2.4 常數(shù)k值法證明拉氏定理

常數(shù)k值法證明拉氏定理的具體過(guò)程為將預(yù)證明的等式不含ξ的常數(shù)項(xiàng)設(shè)為k，根據(jù)等式構(gòu)造與常數(shù)k相關(guān)的輔助函數(shù)，且構(gòu)造的函數(shù)符合羅爾定理使用條件，進(jìn)而可以推導(dǎo)證明拉氏定理。

證明：根據(jù)拉氏定理公式，將其進(jìn)行變形，變形后的公式如下：

必然存在一個(gè)常數(shù)k，使得下列等式成立：

根據(jù)上述等式，可以構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）：

由輔助函數(shù)F（x）可知，其在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)F（x）可導(dǎo)，且F（a）=F（b），滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，因此，開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，能夠使得下列等式成立：

可知，

那么公式得證：

1.2.5 積分法證明拉氏定理

積分法證明拉氏定理主要方法是將公式中ξ變?yōu)閤，就可以得到函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用不定積分求解方法，可以解得原函數(shù)f（x），利用移項(xiàng)變號(hào)將函數(shù)中任意常數(shù)移至等式同側(cè)，另一側(cè)即是證明拉氏定理需要構(gòu)造的輔助函數(shù)。

證明：根據(jù)上述方法，構(gòu)造證明拉氏定理的輔助函數(shù)：

輔助函數(shù)中x屬于定區(qū)間[a，b]，根據(jù)積分的性質(zhì)能夠得到下列等式：

根據(jù)上述等式，顯然函數(shù)F（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)F（x）可導(dǎo)，且F（a）=F（b）=0，滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，因此開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，能夠使得 ，則下列等式成立：

可以得到：

1.2.6 行列式法證明拉氏定理

行列式法證明拉氏定理的主要思路為構(gòu)造輔助函數(shù)F（x），使其包含法f（x），且滿足羅爾中值定理，特別是F（a）=F（b），根據(jù)行列式性質(zhì)，可以想到下列行列式在x=a和x=b時(shí)，計(jì)算結(jié)果為0，

根據(jù)上述聯(lián)想到的行列式，可以構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù)F（x），具體證明過(guò)程如下。

證明：構(gòu)造輔助函數(shù)：

將輔助函數(shù)中行列式展開，得到下列等式：

根據(jù)展開后的函數(shù)可知，由于f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，因此輔助函數(shù)F（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且代入函數(shù)可知F（a）=F（b）=0。根據(jù)羅爾定理可知，開區(qū)間（a，b）內(nèi)存在點(diǎn)ξ，使得 ，則：

等式成立，拉氏定理得證。

上述給出的6種拉氏定理證明方法都需要構(gòu)造輔助函數(shù)，且都需要根據(jù)羅爾定理，才能推導(dǎo)得到拉氏定理公式?？梢?jiàn)，拉氏定理證明的關(guān)鍵在于輔助函數(shù)的正確構(gòu)造，其構(gòu)造方法變化多端，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化處理，不僅是解決拉氏定理證明問(wèn)題的有效方法，而且是高等數(shù)學(xué)其他問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)思想之一。

2 拉氏定理的推廣

拉氏定理是高等數(shù)學(xué)微分學(xué)部分的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有非常重要的地位，以其為數(shù)學(xué)工具可以研究函數(shù)的各類性質(zhì)。在各類考試中，拉氏定理也是重要的考點(diǎn)，常應(yīng)用于證明題或理論分析類題目。在實(shí)函數(shù)中，拉氏定理能夠進(jìn)行推廣，可以有效拓寬拉氏定理的使用范圍[5]。拉氏定理的相關(guān)推廣如下。

定理1 假設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得下列行列式等于0，即：

證明：構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）：

函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且將a，b代入輔助函數(shù)可知，F(xiàn)（a）=F（b）=0，因此，輔助函數(shù)F（x）滿足羅爾中值定理，則開區(qū)間（a，b）內(nèi)必然存在一點(diǎn)ξ，可得 ，上述定理得證。

定理2 假設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且? ? ? ? 、? ? ? ?均存在，那么開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得下列等式成立：

證明：假設(shè)? ? ? ? ? ?、? ? ? ? ? ?，構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）：

函數(shù)φ（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則 。根據(jù)拉氏定理可知，開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得下列等式成立：

將 代入上式，可得：

定理3 假設(shè)函數(shù)f1（x），f2（x），……，fn（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)均為可導(dǎo)函數(shù)，且在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么開區(qū)間（a，b）內(nèi)必然存在一點(diǎn)ξ，能夠使得行列式和式等于0。

證明：構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）：

函數(shù)F（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，根據(jù)羅爾中值定理可知，開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得 ，則上述定理得證。

定理4 函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且? ? ? ? ? ，那么開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得下列等式成立：

證明：構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）：

函數(shù)F（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，根據(jù)拉氏定理可知，開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得下列等式成立：

則? ? ? ? ? ? ? ? ，上述定理得證。

根據(jù)定理4證明過(guò)程，同理可得以下推論。

定理5 假設(shè)函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，? ? ? ? ? ，? ? ? ?，那么開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得下列等式成立：

定理6 假設(shè)函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，且

均存在，那么開區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得下列等式成立：

證明：假設(shè)? ? ? ? ?，構(gòu)造輔助函數(shù)F（t）=f（tant），其在開區(qū)間? ? 可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)如下：

由于? ? ? ? ? ? ?均存在，? ? ? ? ? ? 存在，根據(jù)定理2可知，開區(qū)間? ? 內(nèi)必然存在一點(diǎn)n，使得下列等式成立：

，當(dāng)? ? ? ? 時(shí)，ξ為區(qū)間（-∞，+∞）中一點(diǎn)，根據(jù)：

可知，區(qū)間（-∞，+∞）至少存在一點(diǎn)ξ，使得下列等式成立：

進(jìn)而定理得證。

除上述推論外，拉氏定理還有許多推廣，一般會(huì)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，根據(jù)需求進(jìn)行合理推廣，每個(gè)推廣定理都與拉氏定理或羅爾定理密切相關(guān)，且各自具有不同特點(diǎn)，有效拓寬了拉氏定理的使用范圍。對(duì)于拉氏定理極其推廣定理而言，學(xué)生必須掌握以下兩點(diǎn)內(nèi)容，才能真正理解、掌握和靈活運(yùn)用拉氏定理。其一，根據(jù)拉氏定理可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)中值ξ存在，但其并不具備唯一性，一些特殊情況下，ξ并不能求出具體數(shù)值，但可將其作為數(shù)學(xué)工具證明其他定理。例如，根據(jù)拉氏定理，將公式

看作方程，可用于判斷某個(gè)方程的根是否存在問(wèn)題，用中值ξ的存在即可證明方程根的存在性。同時(shí)，拉氏定理中明確提出了中值是某個(gè)區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，因此，在解決實(shí)際題目時(shí)，可以利用? ? 來(lái)確定? ? 的取值范圍，用于證明不等式相關(guān)問(wèn)題[6]。其二，利用拉氏定理解決其他高等數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題時(shí)，最重要的內(nèi)容就是構(gòu)造合理的輔助函數(shù)，一般可以將拉氏定理公式中

部分作為構(gòu)造輔助函數(shù)的突破口，需要對(duì)其進(jìn)行合理變形，得到輔助函數(shù)，便于進(jìn)一步解決問(wèn)題。

3 拉氏定理的應(yīng)用

拉氏定理在高等數(shù)學(xué)中占據(jù)著十分重要的地位，學(xué)生在學(xué)習(xí)拉氏定理時(shí)不僅要了解定理的證明方法，掌握相關(guān)的推廣定理，而且要學(xué)會(huì)利用定理解決實(shí)際問(wèn)題。例如，利用拉氏定理求解極限、證明不等式或等式、研究函數(shù)的各種性質(zhì)等，能夠提高學(xué)生的解題效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生掌握正確的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)和應(yīng)用方法。

3.1求解極限問(wèn)題

高等數(shù)學(xué)微分學(xué)部分有許多求解函數(shù)極限問(wèn)題的方法，常用的極限求解方法包括重要極限求解方法、有理化極限求解方法、直接帶入求解極限、夾逼定理應(yīng)用等，其中等價(jià)無(wú)窮小替換、泰勒公式和洛必達(dá)法則是求解極限問(wèn)題的典型方法，在多數(shù)極限類問(wèn)題中都會(huì)用到[7]。利用拉氏定理解決函數(shù)極限相關(guān)問(wèn)題也是微分學(xué)中一種較為重要的解題方法，雖然使用頻率較小，但針對(duì)部分特殊極限求解問(wèn)題，其發(fā)揮著非常重要的作用。

例1 計(jì)算

解題步驟：構(gòu)造輔助函數(shù)f（x） ，在閉區(qū)間[sinx，x]或[x，sinx]上，根據(jù)拉氏定理可知，下列等式成立：

且ξ為開區(qū)間（sinx，x）或（x，sinx）內(nèi)的任意一點(diǎn)，當(dāng)? ?時(shí)，根據(jù)介值定理可得 ，則可得出上述極限問(wèn)題的答案，即：

3.2 證明不等式相關(guān)問(wèn)題

根據(jù)給出條件構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù)，以拉氏定理為基礎(chǔ)，可以對(duì)不等式一側(cè)縮放，或者根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)不等式進(jìn)行合理證明[8]。

例2 假設(shè)e < a < b < e2，證明下列不等式

證明：根據(jù)不等式左側(cè)式子，可以構(gòu)造函數(shù)f（x）， ，函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，根據(jù)拉氏定理可知，開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得下列等式成立：

構(gòu)造輔助函數(shù)g（x），? ? ? ? ，e < a < b < e2，? ? ? ? ? ? ，根據(jù)x的定義域可知，? ? ? ? ，因此，定義域內(nèi)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，可知? ? ? ? ? ? ，? ? ? ?，因此? ? ? ? ? ? ? ，上述不等式得證。

3.3 證明等式相關(guān)問(wèn)題

利用拉氏定理內(nèi)容可以直接證明等式相關(guān)問(wèn)題，如果目標(biāo)等式中含有f（a）、f（b）、ξ或f’（ξ），可以考慮使用拉氏定理對(duì)其證明。

例3 假設(shè)函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，試證明? ? ? ? ?，使得下列等式成立：

證明：根據(jù)等式，可以看到與拉氏定理公式的相似性。因此，可以使用拉氏定理對(duì)其進(jìn)行證明。根據(jù)等式特征，構(gòu)造輔助函數(shù)F（x），使F（x）=xf（x），函數(shù)F（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，根據(jù)拉氏定理，可知開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得下列等式成立：

將函數(shù)F（x）帶入拉氏定理公式，可得：

3.4 函數(shù)性質(zhì)證明問(wèn)題

微分學(xué)中的中值定理是判斷或證明函數(shù)性質(zhì)的重要數(shù)學(xué)工具，作為核心微分中值定理，拉氏定理在函數(shù)性質(zhì)判斷中占據(jù)這十分重要的地位，如函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題證明、函數(shù)奇偶性問(wèn)題證明等[9]。

例4 判斷并證明定義域（0，+∞）內(nèi)，函數(shù)

的單調(diào)性

證明：先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，可得：

在閉區(qū)間[x，x+1]上lnx滿足拉氏定理?xiàng)l件，則? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，從而可以得到：

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷方法可知，當(dāng)函數(shù)f（x）大于0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)增加。

3.5證明方程根的存在性問(wèn)題

根據(jù)拉氏定理?xiàng)l件可知，如果f（a）=f（b），則能夠得到拉氏定理特殊形式，即羅爾中值定理，能夠用其證明方程是否存在根。具體證明時(shí)，題目中給出的方程根定義域必須是閉區(qū)間[a，b]，將方程構(gòu)造為輔助函數(shù)，即可進(jìn)行進(jìn)一步證明。

例5 設(shè)f（x）在閉區(qū)間[0，l]內(nèi)可導(dǎo)，且 0<f（x）<1，開區(qū)間（0，1）內(nèi)所有點(diǎn)滿足如下不等式f’（x）≠0，證明開區(qū)間（0，1）內(nèi)方程f（x）+x-1=0存在唯一的實(shí)數(shù)根。

方程實(shí)數(shù)根存在性證明：構(gòu)造輔助函數(shù)F（x），令F（x）=f（x）+x-1，函數(shù)F（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則F（0）=f（0）-1<0，F(xiàn)（1）=f（1）>0，根據(jù)方程根相關(guān)判斷定理，可知開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，而原方程至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)根。

方程實(shí)數(shù)根唯一性證明：設(shè)開區(qū)間（0，1）內(nèi)方程f（x）+x-1=0存在a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)根，假設(shè)0<a<b<1，那么f（a）=1-a，f（b）=1-b，根據(jù)拉氏定理?xiàng)l件可知，開區(qū)間（a，b）內(nèi)必然存在一點(diǎn)ξ，使得下列等式成立：

從給出題目中已知，開區(qū)間（0，1）內(nèi)所有點(diǎn)滿足f’（x）≠0，而結(jié)論與題目給出條件相矛盾，因此，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)方程f（x）+x-1=0僅存在唯一的實(shí)數(shù)根。

拉氏定理在解決高等數(shù)學(xué)問(wèn)題中使用的關(guān)鍵在于從題目給出的結(jié)論出發(fā)，分析題目可構(gòu)造函數(shù)在哪一區(qū)間滿足拉氏定理?xiàng)l件，以此為基礎(chǔ)構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù)，并明確想要區(qū)間，根據(jù)拉氏定理的公式或推論對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步證明。解題過(guò)程中，構(gòu)造輔助函數(shù)過(guò)程存在較強(qiáng)的技巧性，學(xué)生必須認(rèn)真分析題目給出的條件，對(duì)其進(jìn)行變形和推導(dǎo)，才能構(gòu)造出符合題意的輔助函數(shù)。此外，解題過(guò)程中，還需要重視題目直觀性和數(shù)學(xué)分析方法的結(jié)合，必要時(shí)可以結(jié)合函數(shù)幾何意義幫助分析問(wèn)題，以最簡(jiǎn)潔的方法解決問(wèn)題。

4 拉氏定理的教學(xué)方法

拉氏定理與羅爾定理、柯西中值定理等內(nèi)容相互聯(lián)系，明確構(gòu)建了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)值間存在的定量關(guān)系，可以作為探究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)工具，簡(jiǎn)化了函數(shù)性質(zhì)探究的難度。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和理解拉氏定理相關(guān)內(nèi)容，掌握拉氏定理解決高等數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，能夠培養(yǎng)和提升學(xué)生的抽象思維能力、分析能力、概括能力和知識(shí)遷移能力，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中形成嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維方式，提高解決問(wèn)題的綜合能力[10]。根據(jù)拉氏定理學(xué)習(xí)特征，可以利用以下教學(xué)方法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，幫助學(xué)生高效掌握拉氏定理相關(guān)內(nèi)容。

第一，拉氏定理具有較強(qiáng)的抽象性，教師教學(xué)過(guò)程中需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境。證明拉氏定理，需要使用羅爾定理，因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)單回顧羅爾定理?xiàng)l件、公式和幾何意義，根據(jù)其幾何意義對(duì)定理進(jìn)行推廣和拓展，發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)系中曲線端點(diǎn)高度不同時(shí)定理發(fā)生的變化，引入拉氏定理。

第二，拉氏定理的講解必然會(huì)聯(lián)系其幾何意義，教師可以繪制坐標(biāo)系和曲線圖，引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)相關(guān)結(jié)論，發(fā)現(xiàn)曲線端點(diǎn)聯(lián)系和曲線某點(diǎn)切線的平行關(guān)系，并使用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述拉氏定理。

第三，根據(jù)得出的拉氏定理，結(jié)合羅爾定理內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生分析證明拉氏定理的思路，分析證明拉氏定理可用的方法，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和創(chuàng)新能力[11]。根據(jù)定理證明方法對(duì)拉氏定理進(jìn)行合理推廣，使學(xué)生明確常用的推廣定理，并通過(guò)經(jīng)典題目的解答，加深學(xué)生對(duì)拉氏定理的理解，提高學(xué)生對(duì)拉氏定理的運(yùn)用能力。

拉氏定理是高等數(shù)學(xué)微分學(xué)部分的基礎(chǔ)內(nèi)容，在理論學(xué)習(xí)和解題應(yīng)用中具有十分重要的作用，且具有明確的幾何意義。實(shí)際學(xué)習(xí)中，深刻掌握拉氏定理內(nèi)容，特別是特殊點(diǎn)ξ的含義理解難度較大。如果學(xué)生能夠熟練掌握拉氏定理證明方法和推廣定理，可以構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù)，將部分高等數(shù)學(xué)題目化繁為簡(jiǎn)，迅速得出正確結(jié)論。

參考文獻(xiàn)：

[1]冉雨.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)與微分中值定理的綜合應(yīng)用研究[J].財(cái)富時(shí)代，2021（6）：155-156.

[2]Yinshan Jiang. Discussion on the application of Lagrange mean value theorem[J]. Journal of Physics： Conference Series，2020，1682（1）.

[3]孫娜.拉格朗日中值定理的證法研究[J].高等數(shù)學(xué)研究，2020，23（5）：24-28.

[4]李紅，高建，李厚彪.拉格朗日微分中值定理的推廣與探討[J].高等數(shù)學(xué)研究，2020，23（5）：18-19，37.

[5]陳亦佳，張美玲.拉格朗日中值定理的10個(gè)推廣[J].玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2019，35（6）：29-33.

[6]梁曉雯.對(duì)微分中值定理中ξ的漸進(jìn)性的初步分析[J].江西電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2020，33（6）：104-106.

[7]李源，郝小枝.利用拉格朗日中值定理計(jì)算極限的注記[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2019，35（1）：61-64.

[8]董姍姍，齊雪.輔助函數(shù)構(gòu)造法證明微分中值定理及其應(yīng)用[J].通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2019，40（8）：22-25.

[9]李慶娟.拉格朗日中值定理及其應(yīng)用探析[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2019，35（2）：34-37.

[10]張敏，廖畢文，劉俊.發(fā)現(xiàn)式教學(xué)模式在士官《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中的應(yīng)用：《拉格朗日中值定理》設(shè)計(jì)案例[J].教育教學(xué)論壇，2018（37）：158-159.

[11]黃海松.拉格朗日中值定理的證明及應(yīng)用[J].柳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，18（3）：104-109.

Generalization of Lagrange's Mean Value Theorem and Its Application in Higher Mathematics Problem Solving

YANG Jinmei

（College of Preparatory Education， Qinghai University for Nationalities， Xining， Qinghai 810007，China）

Abstract： Lagrange's mean value theorem is a very prominent and important research achievement in the differential calculus of advanced mathematics. It occupies an extremely important position in the development of calculus. The core content can link functions and derivatives， lay the foundation for the promotion of the median value theorem in other differential calculus， and has important application value in theoretical research and practical production. The proof of Lagrange's mean value theorem is a common problem in advanced mathematics subjects for postgraduate entrance examinations， and it has certain difficulties. The key to proving the theorem is to use reverse thinking to construct auxiliary functions. The main methods include Rolle's theorem proof， rotation method Proof， constant k value proof and other methods， and generalize Lagrange's mean value theorem， broaden its practical scope， give full play to the value of mathematical research， can be used to solve limit， inequality， function， proof problems， can be problem-oriented Simplify the complex and facilitate the solution of mathematical problems.

Key words： advanced mathematics; Lagrange's mean value theorem; extension