丁宣浩， 黃雨浩， 桑元琦， 李永寧

1.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067；2.經(jīng)濟(jì)社會應(yīng)用統(tǒng)計(jì)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400067；3.西南財(cái)經(jīng)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 611130

記H2表示開單位圓盤D={z∈C：|z|<1}上的Hardy空間，L2=L2(T)是單位圓周T={z∈C：|z|=1}上的平方可積函數(shù)構(gòu)成的空間，L∞表示由T上全體本性有界函數(shù)構(gòu)成的空間，H∞是D上有界解析函數(shù)構(gòu)成的全體．

對于每一個(gè)非常值的內(nèi)函數(shù)u，我們稱

Tfx=P(fx)x∈H2

模型空間正交補(bǔ)上的對偶截?cái)郥oeplitz算子Df定義為

文獻(xiàn)[1-2]發(fā)現(xiàn)對偶截?cái)郥oeplitz算子與Hardy空間上的Toeplitz算子[3]有許多相同的性質(zhì)．例如：對偶截?cái)郥oeplitz算子是有界的當(dāng)且僅當(dāng)其符號是有界的；緊的對偶截?cái)郥oeplitz算子只能是零算子；對偶截?cái)郥oeplitz算子為零算子當(dāng)且僅當(dāng)其符號為零；符號為連續(xù)函數(shù)的對偶截?cái)郥oeplitz算子生成的C*-代數(shù)模去緊算子后構(gòu)成的理想*-等距同構(gòu)于T上的連續(xù)函數(shù)全體[2]．

因此，我們特別考慮是否Df是次正規(guī)算子當(dāng)且僅當(dāng)Tf是次正規(guī)算子?

為了說明我們的研究動機(jī)，首先來回顧次正規(guī)算子的定義以及Halmos第五問題的歷史．

對于Hilbert空間H上的算子S，如果S存在一個(gè)包含H的Hilbert空間K，且其上的正規(guī)算子N滿足S=N|H，則稱S為次正規(guī)算子．次正規(guī)算子理論在許多問題中都有廣泛應(yīng)用[4]．文獻(xiàn)[5]對Toeplitz算子提出了著名的Halmos第五問題“是否次正規(guī)Toepltiz算子不是解析的就是正規(guī)的?” 文獻(xiàn)[6]給出了Halmos第五問題成立的充分條件．文獻(xiàn)[7]認(rèn)為這個(gè)猜測幾乎是正確的．然而，Halmos第五問題首先被我國著名算子理論學(xué)家孫順華先生解決[8-9]．此外，文獻(xiàn)[10]也對這個(gè)問題進(jìn)行了研究．但是至今數(shù)學(xué)家無法給出次正規(guī)Toeplitz算子的符號刻畫．

對偶截?cái)郥oeplitz算子與Toeplitz算子有許多差異．文獻(xiàn)[11]的定理9證明了兩個(gè)解析Toeplitz算子的乘積還是Toeplitz算子．然而，我們很容易構(gòu)造出兩個(gè)解析對偶截?cái)郥oeplitz算子，其乘積不是對偶截?cái)郥oeplitz算子[1]．更多關(guān)于Toeplitz算子和Hankel算子的相關(guān)研究可參見文獻(xiàn)[12-13]．

本文的第一部分，我們考慮了對偶截?cái)郥oeplitz算子版本的Halmos第五問題，證明了不存在解析的次正規(guī)對偶截?cái)郥oeplitz算子．本文的第二部分，我們完全刻畫了亞正規(guī)的對偶截?cái)郥oeplitz算子．

1 解析對偶截?cái)郥oeplitz算子

令Mf為L2上的乘法算子，定義為

Mfφ=fφ

Mf正是解析Toeplitz 算子Tf的正規(guī)延拓．因此，Hardy空間H2上每一個(gè)解析的Toeplitz算子Tf都是次正規(guī)的．Df(f是解析函數(shù))在uH2上的限制Df|uH2是次正規(guī)的，但是我們不知道解析對偶截?cái)郥oeplitz算子是否是次正規(guī)的．因此我們考慮如下的問題：

問題1是否每個(gè)解析對偶截?cái)郥oeplitz算子都是次正規(guī)的?

下面的定理1將給出問題1的否定回答．

定理1如果f是一個(gè)非常數(shù)的解析函數(shù)，則Df不是次正規(guī)的．

證假設(shè)Df是次正規(guī)的，則存在正規(guī)延拓N，使得

此外，N+λI也是正規(guī)算子，并且滿足

其中λ是常數(shù)．因此，Df+λI是次正規(guī)的．不失一般性，假設(shè)f(0)=0．令f=zf1，其中f1∈H2．因?yàn)榇握?guī)算子必是亞正規(guī)的，所以Df是亞正規(guī)的．Hilbert空間H上的算子T為亞正規(guī)算子當(dāng)且當(dāng)

T*T≥TT*

當(dāng)且當(dāng)

‖Tx‖≥‖T*x‖ ?x∈H

因?yàn)?/p>

和

因此

進(jìn)一步，

矛盾，則

2 亞正規(guī)對偶截?cái)郥oeplitz算子

因?yàn)槊總€(gè)解析對偶截?cái)郥oeplitz算子不是次正規(guī)的，我們將對偶截?cái)郥oeplitz算子的Halmos第五問題改寫為如下形式：

問題2是否每個(gè)次正規(guī)的對偶截?cái)郥oeplitz算子都是正規(guī)的?

首先，我們用復(fù)對稱算子的方法給出問題2的肯定回答．然后，運(yùn)用經(jīng)典的Toeplitz算子理論，完全刻畫正規(guī)對偶截?cái)郥oeplitz算子的符號．

對于Hilbert 空間上的算子T，存在一個(gè)等距且共軛線性的對合映射C，使得

3.因果式(前因后果或前果后因)。如竺可楨的《沙漠里的奇怪現(xiàn)象》，文章從沙漠中的奇怪現(xiàn)象入手，揭示了光線、聲音作怪的奧秘。

CTC=T*

在L2上有一個(gè)經(jīng)典的對合映射C，其定義為

定理2如果f∈L∞，則下面的3條陳述是等價(jià)的：

證?由上面的討論，我們知道亞正規(guī)的對偶截?cái)郥oeplitz算子都是正規(guī)的．反過來，根據(jù)定義，每個(gè)正規(guī)算子一定是亞正規(guī)的．

(1)

展開(1)式可得

(2)

取y=ux，x∈H2，則(2)式變?yōu)?/p>

(3)

因此

根據(jù)文獻(xiàn)[3]的命題7.5，可得

則

進(jìn)一步有

(4)

計(jì)算下式

由(4)式可得

類似地，有

因此

注1Hardy空間上的Toeplitz算子反酉等價(jià)于(H2)⊥上的對偶Toeplitz算子(H2)⊥[18-19]．

但是對于模型空間的情況就完全不同了，對偶截?cái)郥oeplitz算子Df是正規(guī)的當(dāng)且當(dāng)Tf是正規(guī)的(定理2)，當(dāng)且當(dāng)存在常數(shù)c和d以及一個(gè)實(shí)值函數(shù)φ∈L∞，滿足f=cφ+d．正規(guī)截?cái)郥oeplitz算子與正規(guī)對偶截?cái)郥oeplitz算子的符號有巨大區(qū)別，并且是復(fù)雜的[20-21]．