俞妍

一、前期調(diào)查

（一）學(xué)情分析

小升初階段是學(xué)習(xí)方法轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵期，小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容相對簡單，學(xué)生通過機械記憶便可以認識和運用數(shù)。而初中的內(nèi)容相對抽象，就更需要教師引導(dǎo)學(xué)生用形象的方法理解并運用抽象的知識。

（二）問卷調(diào)查

為了進一步了解學(xué)情，我通過詢問、調(diào)查問卷的方式了解學(xué)生小學(xué)階段對數(shù)的理解，主要針對以下三個問題。

1.你是如何理解正數(shù)、負數(shù)、自然數(shù)的？你知道他們的由來嗎？

學(xué)生給出的答案大致如下：正數(shù)是比0大的數(shù)，負數(shù)是比0小的數(shù)，自然數(shù)是0以上的整數(shù)。教師追問：那0是自然數(shù)嗎？學(xué)生回憶了一下，回答：是的，但當教師再次追問為什么呢？學(xué)生便答不出來了，教師提問：你們知道自然數(shù)的由來嗎？學(xué)生搖搖頭，表示只知道這些數(shù)是什么，不理解他們表示什么意義，也不知道他們的由來。

2.小學(xué)階段，你們?nèi)绾芜M行數(shù)的運算？除了運算法則外，是否有其他理解？

學(xué)生均回答：根據(jù)運算法則。教師追問：那你們記得當時是如何開始學(xué)習(xí)數(shù)的運算的嗎？學(xué)生回答：一開始就是數(shù)數(shù)，后來用了算盤學(xué)習(xí)了加減法。教師追問：那乘法和除法呢？小部分同學(xué)能夠答出乘法是由加法得來，除以一個數(shù)等于乘一個數(shù)的倒數(shù)。

3.你對數(shù)形結(jié)合思想方法有什么認識？小學(xué)階段在哪些地方用到了數(shù)形結(jié)合思想方法？我們?yōu)楹我獙W(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合？

學(xué)生聽到問題后，先是一臉疑惑：什么是數(shù)形結(jié)合？教師提示：就是代數(shù)和圖形相結(jié)合的方法。學(xué)生恍然大悟：小學(xué)很多地方都用到了數(shù)形結(jié)合，比如計算圖形面積，畫線段圖解決問題等等。教師追問：為什么要學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合？學(xué)生回答：為了解題。教師問：那數(shù)形結(jié)合思想方法對你解題的幫助大嗎？學(xué)生表示不是特別大，有時候不用這種方法也可以解出來，有時候不理解這種方法的意義或者不太會使用。

二、課例研究

（一）研究背景

通過八年級上冊第四章第二節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，由不能寫成分數(shù)的形式，以及計算器的使用，得到了是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，而有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，從而得到了實數(shù)的分類。接著通過數(shù)軸的活動得到實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。強調(diào)有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)的意義，有理數(shù)大小比較的方法，有理數(shù)的運算性質(zhì)、運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用。最后通過幾個練習(xí)，鞏固學(xué)生對實數(shù)的理解和運用。一節(jié)課下來，學(xué)生對知識點基本能掌握，但是對數(shù)的理解仍然不夠透徹，對知識的記憶比較趨向于機械記憶，對于數(shù)域沒有一個大局觀的認識。大多數(shù)中學(xué)教師會比較注重新知識的授予，容易忽視對學(xué)生小學(xué)已有知識的鞏固和調(diào)整，以至于學(xué)生對數(shù)與代數(shù)的知識體系不夠理解。

（二）教學(xué)設(shè)計

本人通過反思以及與組內(nèi)成員研討，對本節(jié)課的結(jié)構(gòu)做了些調(diào)整，整個反思和重構(gòu)過程如下：

1.內(nèi)容分析

實數(shù)這一節(jié)處在蘇科版八年級上冊第四章第三節(jié)，處在勾股定理，平方根，立方根之后，近似數(shù)之前。學(xué)生首先學(xué)習(xí)了勾股定理，出現(xiàn)了一些平方根，立方根數(shù)，進而學(xué)習(xí)無理數(shù)和實數(shù)。小學(xué)數(shù)學(xué)負數(shù)的引入，是“算術(shù)數(shù)”向“有理數(shù)”過渡的一大轉(zhuǎn)折。而實數(shù)概念的學(xué)習(xí)是數(shù)系的再一次擴充，改變學(xué)生對數(shù)的概念和分類的理解，對整個數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用。雖然實數(shù)的內(nèi)容不多，篇幅不大，但在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位。它不僅是后面學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程以及解三角形等知識的基礎(chǔ)，也為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中不等式、函數(shù)以及解析幾何等的大部分知識作好準備。

2.學(xué)情分析

學(xué)生是建立在學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)以及他們的比較方法，運算規(guī)律的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)了有理數(shù)，這是數(shù)系的第一次擴充，學(xué)生已經(jīng)打破了第一次對數(shù)的認識。而無理數(shù)和實數(shù)的學(xué)習(xí)是在學(xué)習(xí)了有理數(shù)，勾股定理，平方根，立方根之后，是對數(shù)系的第二次擴充，學(xué)生已經(jīng)有了一定的打破常規(guī)的觀念。但是對抽象的無理數(shù)和實數(shù)的概念理解還有一定的困難，不能夠準確分類各類數(shù)字，經(jīng)常把類似于[36]，[1253]，這樣開的盡方根的數(shù)歸類于無理數(shù)。

解決方法：在前面的探究活動中，學(xué)生已經(jīng)掌握了相關(guān)數(shù)學(xué)知識，并具備了一定的數(shù)學(xué)能力，掌握了類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，也具備了一定的合作學(xué)習(xí)經(jīng)驗，為學(xué)習(xí)本節(jié)知識作出了鋪墊，老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系舊知，運用極限思想和數(shù)形結(jié)合思想來掌握實數(shù)的相關(guān)知識，用學(xué)生熟悉的數(shù)軸來表示實數(shù)的位置，用數(shù)軸上的點與實數(shù)的一一對應(yīng)來幫助學(xué)生理解并掌握實數(shù)的概念。用已經(jīng)學(xué)過的小數(shù)和分數(shù)來確定實數(shù)所處的范圍。

數(shù)學(xué)思想的傳授不是一蹴而就的，需要老師和學(xué)生日積月累地探索學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，提升數(shù)學(xué)知識與技能。

3.教學(xué)過程

（1）引入環(huán)節(jié)

采用問題串的形式開展引入環(huán)節(jié)。同學(xué)們小學(xué)階段都學(xué)習(xí)過哪些數(shù)？我們用負數(shù)來表示怎樣的量？同學(xué)們知道什么是自然數(shù)嗎？學(xué)生能夠說出正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，自然數(shù)是0及以上的正數(shù)，但不知道他們的由來?？膳e例：我們把海拔以上1km記作+1km，但是海拔以下我們無法表述了，所以引入了符號“-”來表示相反意義的量。而自然數(shù)也是在人類生產(chǎn)和生活實踐中產(chǎn)生的。遠古時代，由于計數(shù)的需要，而產(chǎn)生了自然數(shù)。比如一個人一天打了10只兔子，就記作10，那么沒打到兔子是不是就記作0？可能打到3.5只兔子嗎？或者-3只兔子嗎？通過問題串的形式，加深學(xué)生對正負數(shù)、自然數(shù)的理解。

接著用畢達哥拉斯學(xué)派希伯斯發(fā)現(xiàn)“新數(shù)”的故事引出無理數(shù)。

（2）新授課程

教學(xué)活動一：證明[2]不是有理數(shù)

假設(shè)[2]是分數(shù)，那它一定能表示成m/n的形式，而m，n互質(zhì)（不互質(zhì)就可以約分），兩邊平方，簡化后變成2n2=m2，左邊一定是偶數(shù)，奇數(shù)的平方是奇數(shù)，所以m一定是偶數(shù)，假設(shè)m=2s，可以得到2n2=4s2，兩邊約分，n2=2s2，所以n也一定是偶數(shù)，那么n和m就有公因數(shù)2，不能互質(zhì)了，與我們的假設(shè)矛盾，所以[2]不是分數(shù)。并且跟學(xué)生強調(diào)，我們這里用到的，要證明一個結(jié)論，從這個結(jié)論的反面出發(fā)，推出矛盾的方法就叫作反證法，是我們今后經(jīng)常會用到的一種方法。

教學(xué)活動二：估計[2]的大小

[2]到底是多大的數(shù)呢？首先聯(lián)系學(xué)過的數(shù)軸和勾股定理，在數(shù)軸上表示出來。再引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系分數(shù)，小數(shù)和平方根：

以此類推，逐步縮小范圍，最后可以讓學(xué)生用計算器，得到[2]的值1.41421356237309……

教學(xué)活動三：講授無理數(shù)和實數(shù)的概念

給出無理數(shù)的概念：像[2]這樣的無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)。有理數(shù)分成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，其中分數(shù)和小數(shù)都可以化為有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而我們今天學(xué)習(xí)的無限不循環(huán)小數(shù)就叫作無理數(shù)，而對于帶根號的數(shù)，如果開方開不盡，就是無理數(shù)，比如[3]，[5];但是像[25]=[5]，[36]=6，[0.25]=0.5這樣能夠開出來，化為有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)的數(shù)就是有理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，用思維導(dǎo)圖給出實數(shù)的分類。讓學(xué)生課后自己復(fù)習(xí)實數(shù)的內(nèi)容，畫一張不同的思維導(dǎo)圖作為作業(yè)。

教學(xué)活動四：實數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)

提問：有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示，反過來，數(shù)軸上的點是否表示有理數(shù)？學(xué)生易想到[2]在數(shù)軸上，卻不是有理數(shù)。由此告訴學(xué)生每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，反之，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。數(shù)軸上每一個點都可以像我們在這節(jié)課開始一樣，把它用圓規(guī)轉(zhuǎn)化成直角三角形的斜邊，用勾股定理就可以知道它是一個根號下的數(shù)字，無論開不開的盡，它都是實數(shù)。換一種思維：我們確定數(shù)軸上一點0是實數(shù)，數(shù)軸上任一點可以對應(yīng)成到0的距離，或是相反數(shù)，那么距離一定是一個實數(shù)，所以數(shù)軸上的點一定是與實數(shù)一一對應(yīng)的。可用畫圖軟件flash動態(tài)演示數(shù)軸上的點。

（3）課堂鞏固

把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)：

有理數(shù)集合;無理數(shù)集合;正實數(shù)集合;負實數(shù)集合。

（4）課堂小結(jié)

復(fù)習(xí)知識的同時兼顧數(shù)學(xué)思想方法。溫故這節(jié)課的過程，在證明不是分數(shù)的時候，我們用到了反證法，在數(shù)軸上表示的時候，我們用到了數(shù)形結(jié)合的方法，在估計大小的時候我們用到了無限逼近的極限方法。大自然中大多數(shù)其實都是無理數(shù)，學(xué)習(xí)無理數(shù)可以更好地理解數(shù)學(xué)，了解世界。在往后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也會遇到很多無理數(shù)，比如在勾股定理的應(yīng)用中，能更好地理解。

（三）課后反思

通過對教材的深度解析，以及對學(xué)生用談話、問卷的方式進行采訪，本人對《實數(shù)》這一課的教學(xué)重新構(gòu)思、整合，主要從以下幾個方面做了改變。

1.回顧舊知，豐富內(nèi)涵

在對學(xué)情有了充分了解的基礎(chǔ)之上，更加注重學(xué)生對舊知的掌握和理解，回顧正負數(shù)的意義，強調(diào)引入“-”來表示相反意義的量。通過問題串的形式，加深學(xué)生對正負數(shù)、自然數(shù)的理解，感受“數(shù)”對生活、生產(chǎn)帶來的幫助。充分理解“何為數(shù)，數(shù)從何而來，數(shù)到哪去”。

2.故事引入，激發(fā)興趣

用數(shù)學(xué)史的知識引入，引起學(xué)生的注意，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動機。希伯斯探索真理犧牲了，而在這樣學(xué)術(shù)自由的社會中，鼓勵學(xué)生勇于探索真理。另外，這個故事是為了引出無理數(shù)，帶著學(xué)生探索無理數(shù)。

3.數(shù)形結(jié)合，理解實數(shù)

4.小組探究，感受極限

5.知識梳理，構(gòu)建框架

具體講授無理數(shù)的概念，從實數(shù)范圍上做出歸納，幫助學(xué)生理解無理數(shù)和實數(shù)這兩個抽象的概念，讓學(xué)生畫一張不同的思維導(dǎo)圖作為作業(yè)，教師可以根據(jù)學(xué)生畫的思維導(dǎo)圖來分析學(xué)生的思維漏洞，檢驗學(xué)生對實數(shù)這一塊內(nèi)容的掌握程度。

三、研究結(jié)論

通過與學(xué)生的交流，以及通過《實數(shù)》這一課的課例研究，本人對九年一貫制學(xué)?！皵?shù)與代數(shù)”小初銜接教學(xué)有了更深的認識。對于九年一貫制學(xué)校的教師，我們研究小初銜接教學(xué)有更多的優(yōu)勢，首先，我們小初合并，小學(xué)和初中教師之間可以有更多的交流，我們的學(xué)生也大多是從小學(xué)直升初中的，學(xué)生變動比較少，教師對學(xué)生了解更方便。所以，作為九年一貫制學(xué)校的教師，我們更有責任承擔起小初銜接教學(xué)的責任，我認為，我們需要做到以下幾點。

（一）深度解讀，吃透教材

對學(xué)生進行小初銜接教學(xué)，需要教師自己吃透教材。教師需要了解學(xué)生小學(xué)六年學(xué)了什么，已經(jīng)掌握了哪些知識，可以用這些知識解決哪些問題，初中與小學(xué)的知識之間有哪些是關(guān)聯(lián)性比較大的，要讓學(xué)生有親切感，明白知識的學(xué)習(xí)是螺旋式的上升，波浪式的前進，不要讓學(xué)生產(chǎn)生小初知識的割裂感，從而喪失學(xué)習(xí)興趣。

（二）開展教研，積極溝通

對于九年一貫制學(xué)校的教師來說，小初教師的溝通是很方便的，可以讓小學(xué)和初中的教師，尤其是六年級和初一的教師一起教研活動，多溝通，有利于初中教師更加理解學(xué)情，學(xué)生容易在哪些方面出現(xiàn)知識的偏差。同時，教師可以更加了解學(xué)生的心理狀況，以便因材施教，更針對性地面對不同的學(xué)生，對交流方式做出調(diào)整。

（三）理解內(nèi)涵，構(gòu)建框架

小學(xué)階段，學(xué)生對知識的理解偏于機械化，教師需要通過故事等形式讓學(xué)生理解知識，理清知識的內(nèi)涵和外延，構(gòu)建完整的知識體系，這就需要教師靈活運用數(shù)形結(jié)合、極限等多種數(shù)學(xué)思想方法，在潛移默化中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運用這些方法。另外，可通過讓學(xué)生畫思維導(dǎo)圖的形式幫助學(xué)生梳理知識，形成完整的知識脈絡(luò)。

小初銜接教學(xué)是當下熱門話題，具有很大的時代意義。做好小初銜接教學(xué)能夠幫助學(xué)生更好地完成從小學(xué)到初中的過渡，這就需要我們教師深入研究教材，研究學(xué)生，我堅信小初銜接教學(xué)一定能夠越辦越好！