王浩　陳次光

摘? 要：椅子在凹凸不平的地面上始終能放穩(wěn)，這一常見的生活現(xiàn)象可以作為數(shù)學建模的良好素材. 在數(shù)學建模過程中，學生嘗試用數(shù)學語言描述這一現(xiàn)象，用數(shù)學知識解釋現(xiàn)象背后的數(shù)學邏輯，從而積累豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)，提升自主學習能力.

關鍵詞：數(shù)學建模;實際應用;函數(shù)零點

數(shù)學建?；顒硬⒎仟毩⒂诔Ｒ?guī)教學，而是與常規(guī)教學相輔相成. 在數(shù)學常規(guī)教學中適當穿插數(shù)學建?；顒?，將數(shù)學知識應用于真實的生活情境，能讓學生對教材知識的感知更加生動、立體. 為了促進學生數(shù)學建模素養(yǎng)的提升，筆者在學生學習函數(shù)零點存在性定理后，借助日常生活現(xiàn)象（把四只腳的椅子放在不平的地面上，通常只會有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需要稍微轉動幾次，就可以使椅子的四只腳同時著地）帶領學生展開數(shù)學建模活動，感知函數(shù)零點存在性定理的魅力！

數(shù)學建模的過程分為表述、求解、解釋、驗證幾個階段，并需要完成從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型，再從數(shù)學模型到現(xiàn)實對象的循環(huán)，如圖1所示.

在實際建模活動中，筆者將這些步驟有機融合到課堂各環(huán)節(jié)中，且根據(jù)學生的認知規(guī)律進行了適當調整. 現(xiàn)將本次數(shù)學建模活動過程呈現(xiàn)如下.

一、先行組織，明確對象

為了讓學生更加直觀地感受這一生活現(xiàn)象，筆者把學生帶到教室外，將一把椅子隨意放置在凹凸不平的地面上，學生很直觀地看到椅子有三只腳著地，一只腳懸空.

師：在不平的地面上隨意放置椅子，都至少有三只腳著地嗎？為什么？

生₁：是的，因為不在同一條直線上的三點確定一個平面.

師：現(xiàn)在椅子只有三只腳著地，不穩(wěn)定. 大家有辦法把椅子放穩(wěn)嗎？

學生根據(jù)生活經(jīng)驗轉動椅子，調整位置，椅子就放穩(wěn)了. 隨后，學生多次隨意把椅子放置在其他位置，最開始椅子往往都只有三只腳著地，但都能通過轉動的方式放穩(wěn)椅子.

師：經(jīng)過多次試驗，我們可以猜想一個怎樣的事實？

生₂：將椅子放在不平的地面上，能通過轉動椅子使其四只腳著地.

師：很好！這個生活現(xiàn)象能否用數(shù)學語言來描述并證明？

提出問題后，學生感到新鮮、有趣，但卻無從下手.

在數(shù)學建模的準備階段，要將實際問題中的元素轉化為數(shù)學符號或數(shù)學語言，教師引導學生完成這一過程. 顯然，椅子的四只腳可以抽象為A，B，C，D四點，而地面則可以抽象為曲面. 所以，椅子腳著地，可以用數(shù)學語言描述為點到曲面的距離為0，而椅子腳懸空則指點到曲面的距離大于0. 再結合“不在同一條直線上的三點確定一個平面”，學生容易得出結論：任意位置都能保證椅子至少有三只腳著地，即A，B，C，D四點中至少有三點到曲面的距離為0. 另外，為了便于模型的建立，可以進行一些適當且合理的假設，如假設椅子四只腳等長，則A，B，C，D四點的連線呈矩形.

【設計意圖】學生動手操作，親歷椅子擺放和調整的過程，強調讓學生經(jīng)歷動手操作、提煉研究對象和運用工具的全過程，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

二、問題引導，建立模型

三、動手操作，求解模型

四、課后反思，積累經(jīng)驗

本次數(shù)學建模活動的設計和實施建立在“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的教育理念上，力求讓學生感受運用函數(shù)知識建立模型并求解模型的過程與方法. 本次數(shù)學建?；顒訌纳磉叺膶嶋H現(xiàn)象出發(fā)，學生更感興趣，更有探究欲望. 從逐步建立并完善模型，到運用函數(shù)零點定理求解模型，學生在這個過程中體會到了將數(shù)學知識應用于實際生活的魅力. 在與學生共同完成本次數(shù)學建模活動后，筆者有以下兩點思考.

1. 數(shù)學建?；顒討撌艿礁嗟年P注

在本次數(shù)學建模活動中，學生所表現(xiàn)出的積極性和參與度遠超傳統(tǒng)課堂，從最開始轉動椅子的動手實踐，到回到教室建立并求解數(shù)學模型，學生積極思考、主動探索，學習狀態(tài)與傳統(tǒng)課堂中的被動接受知識形成鮮明對比. 雖然應用函數(shù)零點存在性定理的習題比比皆是，但如此應用還是令學生耳目一新. 由此可見，數(shù)學建?；顒討撛诟咧须A段受到師生的更多關注.

2. 教師在數(shù)學建模活動過程中的指導要適度

雖然數(shù)學建?；顒蛹ぐl(fā)了學生較大的研究熱情，但從教學實踐中看到，高一的學生對數(shù)學建模的過程和方法仍然較為陌生，還需要教師加以指導，但教師的指導要適度. 數(shù)學建模活動難在建模，教師切勿在建模初期急于求成，直接幫學生抽象出數(shù)學模型，然后將抽象出的數(shù)學問題拋給學生解答，若此，便丟掉了數(shù)學建模的靈魂. 好的做法應該是通過多個小問題引導學生對實際現(xiàn)象進行抽絲剝繭，從而將數(shù)學模型逐步從實際問題中抽象出來. 學生在這個過程中能夠體會并掌握建立數(shù)學模型的一般方法，從而真正發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng).

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊. 數(shù)學模型（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社，2018.