摘? 要：數(shù)學(xué)教學(xué)中“教思考”是培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑，是實(shí)現(xiàn)課程育人目標(biāo)的重要載體和落腳點(diǎn). 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中必須教學(xué)生“數(shù)學(xué)思考”，即要將數(shù)學(xué)思考置于課的高度加以實(shí)施. 通過“平面向量的概念”的課例分析，提出“數(shù)學(xué)思考”的教學(xué)應(yīng)該教章節(jié)體系建構(gòu)的整體脈絡(luò)、教概念定理生成的來龍去脈、教數(shù)學(xué)思想方法的遷移應(yīng)用. 為了更有效地開展“數(shù)學(xué)思考”的教學(xué)，教師還需要在以下三個(gè)方面做出努力：以教材研究豐富思考素材；以教師示范引領(lǐng)學(xué)生思考方向；以民主師生關(guān)系營(yíng)造思考環(huán)境.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思考；核心素養(yǎng)；大觀念；數(shù)學(xué)思想方法

一、引言

在我國(guó)全面深化課程改革的今天，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展是亟待開展的重要議題. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì). 可見，數(shù)學(xué)教學(xué)的起點(diǎn)是有效的問題情境，目標(biāo)則是把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)和內(nèi)涵，而數(shù)學(xué)思考在其中起著媒介的作用.《標(biāo)準(zhǔn)》進(jìn)一步指出，數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界（以下統(tǒng)稱“三會(huì)”）.“三會(huì)”目標(biāo)中的數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語(yǔ)言與數(shù)學(xué)思考都有著緊密的聯(lián)系. 可以說，數(shù)學(xué)思考是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育、實(shí)現(xiàn)課程育人目標(biāo)的重要載體和落腳點(diǎn). 文獻(xiàn)［2］提出了在數(shù)學(xué)教學(xué)中教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)（以下統(tǒng)稱“三教”）的教育理念. 其中，“教思考”放在“三教”的首位，足以看出它的價(jià)值與地位. 基于以上認(rèn)識(shí)，為了充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思考的教學(xué)與育人價(jià)值和功能，必須將數(shù)學(xué)思考置于課的高度加以實(shí)施，即在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)該教學(xué)生“數(shù)學(xué)思考”. 近年來，筆者通過自身的教育教學(xué)，對(duì)“數(shù)學(xué)思考”的教學(xué)進(jìn)行了不斷實(shí)踐. 現(xiàn)結(jié)合筆者開設(shè)的“平面向量的概念”一課來展示長(zhǎng)期以來的實(shí)踐與思考.

二、教學(xué)課例

“平面向量的概念”是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第六章的章節(jié)起始課. 向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和豐富的物理背景. 向量既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁. 平面向量是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)分支問題的基礎(chǔ)，在解決實(shí)際問題中發(fā)揮著重要的作用. 因此，本章的學(xué)習(xí)不僅可以幫助學(xué)生理解平面向量的概念、運(yùn)算體系和結(jié)構(gòu)，還可以引導(dǎo)學(xué)生利用平面向量的知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)和物理中的相關(guān)問題，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生“數(shù)學(xué)思考”能力的提升. 限于篇幅，以下課堂實(shí)錄舍去了例題分析部分.

師：看到“平面向量及其應(yīng)用”這個(gè)新課題，你想提出哪些問題？

生1：什么是向量？

生2：為什么要學(xué)習(xí)向量？

生3：研究向量主要研究哪些基本內(nèi)容？

師：很好！同學(xué)們要養(yǎng)成一個(gè)好習(xí)慣，對(duì)于一個(gè)新的章節(jié)標(biāo)題，學(xué)會(huì)提出一些問題. 剛才幾名同學(xué)說得非常好！我再補(bǔ)充兩點(diǎn)：但凡研究一個(gè)新的學(xué)科分支，我們還應(yīng)該思考其與我們先前學(xué)過的內(nèi)容是否有關(guān)聯(lián)；科學(xué)研究都講究方法，我們還應(yīng)該考慮可以利用哪些方法進(jìn)行研究. 這樣就構(gòu)成了五個(gè)基本問題.

師：在學(xué)習(xí)新課之前，大家是否關(guān)注過每?jī)?cè)教材中都設(shè)有“本冊(cè)導(dǎo)引”欄目，每一章前面都有一段話？我們不妨先來看看這兩部分內(nèi)容，能否從中獲得啟發(fā).

【設(shè)計(jì)意圖】平面向量有著極其豐富的實(shí)際背景，是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，它是溝通幾何與代數(shù)的橋梁. 在“平面向量及其應(yīng)用”中，學(xué)生將在了解向量實(shí)際背景的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)關(guān)于平面向量及其運(yùn)算的一些基礎(chǔ)知識(shí)，用向量方法解決一些平面幾何問題和物理問題，探索三角形的邊長(zhǎng)與角度之間的關(guān)系. 在這個(gè)過程中，學(xué)生可以感受到向量這一工具的強(qiáng)大力量.

生4：我注意到了本章將要研究的對(duì)象是平面向量及其應(yīng)用.

生5：本章將要研究的內(nèi)容包括向量的實(shí)際背景、向量的運(yùn)算和向量方法的應(yīng)用三部分.

師：生4和生5說得非常好！從本冊(cè)導(dǎo)引不難明確以下幾個(gè)問題：本章的研究對(duì)象是平面向量；本章的研究?jī)?nèi)容是平面向量的背景與概念、平面向量及其運(yùn)算、平面向量的應(yīng)用（幾何問題、物理問題）. 我們進(jìn)一步來看本章開頭的一段話，看看能否有進(jìn)一步的收獲.

生6：向量和數(shù)量有關(guān)系，數(shù)量只有大小沒有方向，而向量是既有大小又有方向的量. 物理中的很多量都是向量，如力、位移、速度和加速度等.

師：說得很好！其他同學(xué)還有別的想法嗎？

學(xué)生沉默，教師繼續(xù)引導(dǎo).

師：同學(xué)們是否注意到了本章所采用的數(shù)學(xué)思想方法？

生7：有類比. 類比數(shù)的運(yùn)算來研究向量的運(yùn)算及其性質(zhì)，建立向量的運(yùn)算體系.

師：實(shí)際上，大家有沒有注意到教材中有兩處提及了類比. 本冊(cè)導(dǎo)引第一段中，類比數(shù)量得出向量這個(gè)全新的概念，還有生7剛才所說的類比數(shù)量的運(yùn)算來研究向量的運(yùn)算性質(zhì)與體系. 除此以外，第二段中提到“向量既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁”，告訴我們向量是數(shù)形結(jié)合的重要模型，在研究過程中應(yīng)該自覺使用數(shù)形結(jié)合的方法來研究向量. 因此，通過對(duì)本冊(cè)導(dǎo)引和章節(jié)開頭的起始語(yǔ)的學(xué)習(xí)，我們可以達(dá)成如下共識(shí)：本章的研究對(duì)象是平面向量（既有大小又有方向的量就是向量）；本章的研究?jī)?nèi)容是向量的背景與概念、向量的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算體系、向量的應(yīng)用；本章的研究方法是類比和數(shù)形結(jié)合等（不局限于此，但至少包含這些）.

師：希望同學(xué)們?cè)谝院髮W(xué)習(xí)新的章節(jié)時(shí)養(yǎng)成好的習(xí)慣，不斷提升自己理解教材的能力，優(yōu)化自己的學(xué)習(xí)方法，從而提升自己的閱讀素養(yǎng)與學(xué)科素養(yǎng).

師：同學(xué)們，物理中有很多量，如力、位移、速度和加速度等，它們有什么特征？

生8：它們既有大小又有方向.

師：力、位移、速度和加速度等有著各自的特性，而“既有大小，又有方向”是它們的共同屬性. 我們知道，從一支筆、一棵樹、一本書中可以抽象出只有大小的數(shù)量“1”. 類似地，我們能對(duì)力、位移、速度和加速度這樣的量進(jìn)行抽象形成一種新的概念，它就是我們今天將要學(xué)習(xí)的平面向量. 同學(xué)們，數(shù)學(xué)抽象是形成數(shù)學(xué)概念的一種非常重要的方式. 著名數(shù)學(xué)家約瑟夫·傅里葉曾說，數(shù)學(xué)能從事物的個(gè)性之中尋求事物的共性特征.

師：我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，而數(shù)量常常用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，不同的點(diǎn)表示不同的數(shù)量. 作為既有大小又有方向的向量，什么樣的幾何形式既能體現(xiàn)長(zhǎng)度又能體現(xiàn)方向呢？

生9：一條有方向的線段.

師：線段是如何表示的？

生9：可以用線段的端點(diǎn)表示，或者用小寫字母表示. 例如，線段AB，線段a.

師：如何表示有方向的線段呢？

我們規(guī)定一個(gè)順序，假設(shè)點(diǎn)A是起點(diǎn)，點(diǎn)B是終點(diǎn)，并將它記作[AB]，或者記為a. 線段AB的長(zhǎng)度叫做有向線段[AB]的長(zhǎng)度，記作[AB.]

師：結(jié)合學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)和已有的向量知識(shí)，利用類比的方法思考：哪些數(shù)比較特殊？哪些向量比較特殊？這些向量的特征是什么？

生10：比較特殊的數(shù)是0和1.

將長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量，將長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量.

師：很好，我們一般用0表示零向量，用e表示單位向量. 在實(shí)數(shù)中有相等和相反數(shù)兩個(gè)基本概念，同學(xué)們能否給出向量的類似概念？

生11：將兩個(gè)大小相等、方向相同的向量叫做相等向量.

生12：將兩個(gè)大小相等但方向相反的向量叫做相反向量.

師：用類比的方法可以得到很多向量中的基本概念. 請(qǐng)大家思考：根據(jù)相等向量的概念，兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合嗎？

生13：不對(duì)，只要兩個(gè)向量的方向相同、大小相等就可以，不一定需要起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合.

師：由此可以看出，平面向量可以自由移動(dòng). 只要兩個(gè)向量的方向相同、大小相等，它們就表示同一個(gè)向量. 繼續(xù)思考：平面幾何中有平行的概念，能否給出向量的類似概念？

生14：方向相同或相反的兩個(gè)向量平行.

師：說得很好！在描述平行向量時(shí)還需要注意兩個(gè)基本問題. 第一，向量是可以自由移動(dòng)的，只要兩個(gè)向量方向相同或相反，就可以將這兩個(gè)向量平移到同一條直線上，因此平行向量也稱為共線向量，這與平面幾何中兩條直線平行有區(qū)別；第二，在眾多向量中，零向量比較特殊，根據(jù)研究的需要，我們約定零向量的方向是任意的，并且它與任意向量平行或共線.

教師展示例題，與學(xué)生一起交流，合作完成求解，限于篇幅，具體師生對(duì)話略.

例1? 判斷下列說法是否正確.

（1）若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合；

（2）模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量；

（3）長(zhǎng)度相等的向量是相等向量；

（4）若[a∥b，b∥c，] 則[a∥c;]

（5）若[a>b]，則[a>b.]

例2? 已知點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，在圖1中所標(biāo)出的向量中：

（1）試找出與[FE]共線的向量；

（2）確定與[FE]相等的向量；

（3）[OA]與[BC]相等嗎？

例3? 如圖2，以1 × 3方格紙中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有非零向量中，有多少種大小不同的模？有多少種不同的方向？

師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合本節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，思考并總結(jié)本節(jié)課的研究對(duì)象和研究?jī)?nèi)容，以及用到的研究方法.

生15：我們學(xué)習(xí)了平面向量的基本概念、向量的表示方法，以及特殊的向量關(guān)系.

生16：我們學(xué)會(huì)了用類比思想研究向量問題.

師：同學(xué)們說得都很好. 最后給出本節(jié)課的三點(diǎn)總結(jié). 第一，學(xué)會(huì)利用本冊(cè)導(dǎo)引和章節(jié)起始語(yǔ)建立每一章的學(xué)習(xí)框架；第二，培養(yǎng)自己利用數(shù)學(xué)思想方法研究數(shù)學(xué)問題的意識(shí)；第三，多總結(jié)、多思考，將數(shù)學(xué)的“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”.

三、“數(shù)學(xué)思考”應(yīng)該教什么

1. 教章節(jié)體系建構(gòu)的整體脈絡(luò)

在本節(jié)課的教學(xué)中，筆者并沒有開門見山地開展新授課的教學(xué)，而是帶領(lǐng)學(xué)生一起閱讀了教材中的本冊(cè)導(dǎo)言和本章前面的章節(jié)起始語(yǔ). 章節(jié)起始內(nèi)容往往會(huì)揭示本章要研究的數(shù)學(xué)知識(shí)和知識(shí)的背景，會(huì)直截了當(dāng)?shù)馗嬖V學(xué)生本章將要研究的主題和探討的數(shù)學(xué)知識(shí)，告訴我們“將要到哪里去”. 與此同時(shí)，章節(jié)起始內(nèi)容還能滲透學(xué)生在學(xué)習(xí)該章節(jié)知識(shí)的過程中所需要的數(shù)學(xué)思想方法，這有助于學(xué)生學(xué)習(xí)全章知識(shí)，提高學(xué)習(xí)效率. 因此，章節(jié)起始內(nèi)容是研究?jī)?nèi)容和研究方法的融合，是可以為學(xué)生提供數(shù)學(xué)思考的絕佳素材. 同時(shí)，教師要將研究數(shù)學(xué)對(duì)象的一般套路教給學(xué)生. 例如，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如何開展其圖象與性質(zhì)的研究？如何研究向量的運(yùn)算？章節(jié)體系建構(gòu)的整體脈絡(luò)是數(shù)學(xué)思考教學(xué)的重要組成部分. 這些內(nèi)容有利于幫助學(xué)生形成學(xué)科的大概念，對(duì)于學(xué)生開展學(xué)習(xí)有著重要的價(jià)值與意義.

2. 教概念定理生成的來龍去脈

在接下來的教學(xué)中，筆者試圖通過教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生形成學(xué)科大觀念：從特殊情境中提取事物的共性特征得到數(shù)學(xué)概念. 這種大觀念會(huì)伴隨學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的全過程，也勢(shì)必會(huì)對(duì)學(xué)生開展數(shù)學(xué)研究乃至科學(xué)研究提供重要的啟示與經(jīng)驗(yàn). 數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)定理是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心環(huán)節(jié)，整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系建立在概念和定理的基礎(chǔ)之上. 因篇幅問題，這些概念或定理在教材中用非常簡(jiǎn)單的形式呈現(xiàn). 教師要引領(lǐng)學(xué)生參與概念產(chǎn)生和定理生成的完整歷程，體驗(yàn)概念和定理引入、發(fā)展、歸納和提煉的過程. 在概念教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生明晰概念的生成路徑，明確概念中的關(guān)鍵及適用條件、厘清概念的內(nèi)涵與外延；在定理教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)定理、厘清定理的使用條件與結(jié)論、研究定理的證明方法和途徑、明確定理的運(yùn)用范圍.

3. 教數(shù)學(xué)思想方法的遷移應(yīng)用

數(shù)學(xué)思想方法是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和基本策略，是數(shù)學(xué)的靈魂. 數(shù)學(xué)離不開數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)的教學(xué)更離不開數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué). 本節(jié)課中，通過與學(xué)生一起研讀章節(jié)起始內(nèi)容，筆者帶領(lǐng)學(xué)生挖掘了本章的重要數(shù)學(xué)思想方法——類比和數(shù)形結(jié)合，隨后不斷強(qiáng)化類比的數(shù)學(xué)思想方法，即類比數(shù)量中的兩個(gè)特殊數(shù)得到向量中的兩個(gè)特殊向量、類比實(shí)數(shù)中相等與相反數(shù)兩個(gè)基本概念得到特殊的向量關(guān)系. 在得出平行向量這個(gè)概念后，筆者提醒學(xué)生在類比過程中可能產(chǎn)生異化，需要我們理性甄別與辨析. 通過解釋并示范各種數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的實(shí)例，進(jìn)一步幫助學(xué)生獲得利用數(shù)學(xué)思想方法研究問題的理性認(rèn)識(shí)，有利于數(shù)學(xué)思想方法在其他情境中的遷移，并且可以研究和解決其他一系列新的問題.

四、“數(shù)學(xué)思考”應(yīng)該怎樣教

“平面向量的概念”的教學(xué)取得了較好的效果. 已有實(shí)踐與研究深化了筆者對(duì)數(shù)學(xué)思考教學(xué)的認(rèn)識(shí)，為進(jìn)一步開展數(shù)學(xué)思考的教學(xué)指明了方向. 為了更好地開展數(shù)學(xué)思考的教學(xué)，教師還需要在以下幾個(gè)方面做出努力.

1. 以教材研究豐富思考素材

數(shù)學(xué)有兩種不同的形態(tài). 張奠宙教授曾指出，數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一是要把數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài). 教師的一桶水要成為學(xué)生的一杯水，不能只是簡(jiǎn)單地“倒”出來，而是要有一個(gè)轉(zhuǎn)化的過程. 教師是課程的實(shí)施者，在知識(shí)形態(tài)轉(zhuǎn)化的過程中起著重要作用. 教師對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》和教材的理解與研究在很大程度上會(huì)對(duì)他們的教學(xué)實(shí)踐產(chǎn)生影響. 因此，教師必須在理解《標(biāo)準(zhǔn)》和教材的基礎(chǔ)上充分挖掘可供學(xué)生開展數(shù)學(xué)思考的素材，將其納入教學(xué)設(shè)計(jì)之中并在課堂教學(xué)中加以實(shí)踐. 例如，章節(jié)起始內(nèi)容是筆者在認(rèn)真研讀《標(biāo)準(zhǔn)》和教材后挖掘的可供學(xué)生開展數(shù)學(xué)思考的素材. 只要做一個(gè)有心人，從《標(biāo)準(zhǔn)》和教材的每一處（如《標(biāo)準(zhǔn)》提供的實(shí)施案例、教材的旁白和例題的研究范式等）都可以挖掘出對(duì)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思考有益的素材.

2. 以教師示范引領(lǐng)學(xué)生思考方向

讓學(xué)生在課堂上像數(shù)學(xué)家那樣發(fā)現(xiàn)定理，這當(dāng)然是好的學(xué)習(xí)方式. 但是這種課不能上太多. 因?yàn)橘M(fèi)時(shí)間，而學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間是有限的. 從實(shí)際出發(fā)，方法上的“模仿”仍將是數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的一種主要方式. 著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾在《數(shù)學(xué)教育再探》中提出“行動(dòng)的范例”的概念. 他指出，一種行動(dòng)以另一種行動(dòng)作為范例，可能會(huì)引起類似的行動(dòng). 因此，在開展數(shù)學(xué)思考的教學(xué)時(shí)，教師要適時(shí)給予學(xué)生積極的引導(dǎo)和示范，給學(xué)生提供正確的數(shù)學(xué)思考的方向與機(jī)會(huì). 而學(xué)生則可以通過引導(dǎo)和示范逐步自主積累數(shù)學(xué)思考的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這些都能促成數(shù)學(xué)思考教學(xué)的有效實(shí)施. 同時(shí)，這些經(jīng)驗(yàn)也將為學(xué)生日后自主開展數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)研究奠定基礎(chǔ).

3. 以民主師生關(guān)系營(yíng)造思考環(huán)境

開放性是實(shí)施數(shù)學(xué)思考教學(xué)的一個(gè)重要特征. 數(shù)學(xué)思考是誰(shuí)的思考？很顯然，是學(xué)生的思考. 因此，教師必須營(yíng)造一個(gè)開放的課堂教學(xué)體系，給學(xué)生創(chuàng)造寬松、和諧和民主的心理氛圍，尊重學(xué)生的自主權(quán)和主動(dòng)權(quán)，以有利于學(xué)生開展數(shù)學(xué)思考. 教師要給予學(xué)生冷靜思考和充分表達(dá)的機(jī)會(huì). 一方面，體現(xiàn)在教師不能控制課堂教學(xué)過程和限制學(xué)生思考的方向與角度，而應(yīng)該調(diào)控課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，只有開放的目標(biāo)和開放的內(nèi)容才能讓學(xué)生產(chǎn)生開放的思維和開放的心態(tài)，從而保證數(shù)學(xué)思考活動(dòng)的有效開展；另一方面，體現(xiàn)在要讓學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，真正給予學(xué)生“用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的機(jī)會(huì). 教師要把精力放在鼓勵(lì)學(xué)生積極參與和主動(dòng)交流上，民主的師生關(guān)系、開放的思考環(huán)境會(huì)促進(jìn)學(xué)生思維的多角度發(fā)散，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)思考教學(xué)活動(dòng)的有效性.

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收稿日期：2022-09-26

作者簡(jiǎn)介：何睦（1988— ），男，博士研究生，中小學(xué)一級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.