張永剛 王曉光

摘? 要：從教材中的阿波羅尼斯圓問題出發(fā)，引出調(diào)和點列，通過完全四邊形建立調(diào)和點列性質(zhì)與圓錐曲線性質(zhì)的聯(lián)系，從幾何視角展現(xiàn)一類圓錐曲線高考試題的探索思路.

關(guān)鍵詞：阿波羅尼斯圓；調(diào)和點列；極點和極線

調(diào)和點列可以聯(lián)系眾多圖形，具有豐富的性質(zhì)．這種特殊的分割比例與圓錐曲線結(jié)合更為和諧自然，備受命題者的青睞，成為眾多高考試題的熱門命題背景.教師厘清這類問題的本質(zhì)，可以從幾何角度洞穿題目設(shè)計的本質(zhì)，對命制試題和拓展教學(xué)思路都有所裨益.

一、從阿波羅尼斯圓談起

阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一.

人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊第97頁例6提出的軌跡探究就是一個阿波羅尼斯圓.

定義：平面內(nèi)到兩定點距離的比值為定值（不等于1的正數(shù)）的點的軌跡為阿波羅尼斯圓．

如圖1，點[A，B]為兩個定點，動點[P]滿足[PA=λPB，] 當(dāng)[λ=1]時，動點[P]的軌跡為直線；當(dāng)[λ>0且][λ≠1]時，動點[P]的軌跡為圓．

證明：設(shè)[AB=2m m>0， PA=λPB]．

以線段[AB]的中點為原點，直線[AB]為[x]軸，線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，

則有[A-m，0，] [Bm，0].

設(shè)[Px，y]，則由[PA=λPB]，得

[x+m2+y2=λx-m2+y2].

兩邊平方，并化簡、整理，得

[λ2-1x2-2mλ2+1x+λ2-1y2=m21-λ2].

當(dāng)[λ=1]時，[x=0]，動點[P]的軌跡為線段[AB]的垂直平分線.

當(dāng)[λ>0且λ≠1]時，有[x-λ2+1λ2-1m2+y2=4λ2m2λ2-12]，

即動點[P]的軌跡為以點[λ2+1λ2-1m，0]為圓心，以[2λmλ2-1]的長為半徑的圓.

如圖2，圓心D在直線[AB]上，圓D與直線AB相交于點[Mλ-12mλ2-1，0]，[Nλ+12mλ2-1，0]，

則有[AMBM=λ-12mλ2-1+mm-λ-12mλ2-1=λ].

而[PAPB=λ]，如圖3，則由角平分線定理，可知PM是[△ABP]的內(nèi)角平分線.

因為[∠MPN=90°]，

所以[∠CPN+∠APM=90°，∠MPB+∠NPB=90°.]

所以PN是[△ABP]的外角平分線.

所以直線PM，PN分別是[△ABP]的內(nèi)角平分線和外角平分線.

由外角平分線定理，可知[ANBN=PAPB=λ].

由內(nèi)角平分線定理，可知[AMBM=PAPB=λ].

如果把M，N分別稱作線段AB的內(nèi)、外分點，可得定比分點定理（定理1）．

定理1：線段內(nèi)分點距離比與外分點距離比相等，即[AMBM=ANBN].

這是一個非常重要的比例分割，本文后續(xù)還會對其性質(zhì)進一步詳細闡述.

在阿波羅尼斯圓內(nèi)用半徑R代替點M，N的表示方法，[AMBM=ANBN]可以表示為[DA-RR-DB=DA+RDB+R]. 由合比性質(zhì)，得[DA-R+DA+RR-DB+DB+R=DA-R-DA+RR-DB-DB+R，]

即[2DA2R=-2R-2DB.] 所以[DA ? ][DB=R2]. 點A在圓外，我們把[DA]稱作“外心距”；點B在圓內(nèi)，我們把[DB]稱作“內(nèi)心距”. 由此可以得到阿波羅尼斯圓的一條性質(zhì)（定理2）.

定理2：外心距與內(nèi)心距之積為阿波羅尼斯圓半徑的平方，即[DA ? DB=R2].

說明：阿波羅尼斯圓定義可以看作橢圓、雙曲線定義的一種拓展，即動點到兩定點的距離的比為定值. 當(dāng)然，我們還可以探究動點到兩定點的距離的乘積為定值的軌跡問題. 例如，設(shè)兩個定點為[F1，F(xiàn)2]，且[F1F2=2]，動點[P]滿足[PF1 · PF2=a2 a≥0.]

二、阿波羅尼斯圓推廣到調(diào)和點列與調(diào)和線束

接下來，對這種特殊的分割比例進行推廣研究.

調(diào)和點列的定義：若一條直線上有四個點A，M，B，N，滿足[AMBM=ANBN]，則稱M，N調(diào)和分割線段AB，則稱點A，M，N，B是調(diào)和點列.

可見，這種奇特比例分割源于三角形的內(nèi)角平分線和外角平分線與該角對邊所在直線的特定交點形成的定比分點. 這種比例形式可以轉(zhuǎn)化為優(yōu)美的調(diào)和平均數(shù)形式.

[調(diào)和平均數(shù)=ni=1n1xi]. 調(diào)和平均數(shù)的“調(diào)和”來源于音樂世界的和音、和聲，指兩個或兩個以上的音按一定法則同時發(fā)聲而構(gòu)成的音響組合. 古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達哥拉斯指出，當(dāng)兩個弦的長度是一個簡單的整數(shù)比時，它們發(fā)出的聲音最和諧.

定理3（調(diào)和性）：如圖4，有以下兩個結(jié)論.

（1）線段AB的外部端點A（線段[MN]外部）到兩個調(diào)和分割點距離的調(diào)和平均數(shù)恰為這條線段的長，即[AB=][21AM+1AN].

（2）線段AB的內(nèi)部端點B（線段[MN]內(nèi)部）到兩個調(diào)和分割點距離的調(diào)差平均數(shù)恰為這條線段的長，即[AB=][21BM-1BN].

證明：（1）要證[AB=21AM+1AN]，

只需證[ABAM+ABAN=2，]

只需證[AM+BMAM+AN-BNAN=2]，

即證[AMBM=ANBN].

得證.

（2）具體證明過程略.

“共軛”一詞的本義是兩頭牛背上的架子成為“軛”，“軛”使兩頭牛同步行走.“共軛”即為按一定規(guī)律相配的一對，通俗來說就是“孿生”.

定理4（共軛性）：如果點M，N調(diào)和分割線段AB，那么點A，B也調(diào)和分割線段MN. 因此，點A，B與點M，N稱為調(diào)和共軛.

調(diào)和線束的定義：如果點A，B與點M，N調(diào)和共軛，這些點與直線外任意一點P形成的四條直線稱為調(diào)和線束. 如圖5，AP，MP，BP，NP合稱調(diào)和線束.

根據(jù)上文關(guān)于“角平分線”的論述，不難發(fā)現(xiàn)定理5.

定理5：如果任意一條不過點P的直線與調(diào)和線束中的每一條直線都相交，那么這四個交點依然調(diào)和共軛.

如圖6，即點C，D與點Q，H調(diào)和共軛（證明略）.

定理6：如圖7，如果任意一條不過點P的直線與調(diào)和線束中的一條直線平行而與另外三條相交，交點分別為點E，F(xiàn)，G，則點F平分線段EG.

說明：當(dāng)點P不在阿波羅尼斯圓上，角平分線的屬性就不復(fù)存在了，但這一定理仍然成立，可以參考仿射變換.

三、完全四邊形中的調(diào)和點列

如何從紛繁的圖形中尋找調(diào)和點列呢？

完全四邊形的定義：兩兩相交又沒有三線交于同一點的四條線段，及它們的六個交點所構(gòu)成的圖形稱為完全四邊形. 如圖8，ABED是一個完全四邊形.

定理7：如圖9，若在完全四邊形ABED中，分別連接AE，F(xiàn)C，交于點G，連接BG并延長，其延長線交AD于點H，則點D，C，H，A為調(diào)和點列. 其中，點D，H與點C，A調(diào)和共軛.

結(jié)合三角形觀察調(diào)和點列的比例關(guān)系，不難想到梅涅勞斯定理與塞瓦定理.

證明：如圖9，在[△ABC]中，點D，E，F(xiàn)三點共線.

由梅涅勞斯（Menelaus）定理，得

[BFFA ? ADDC ? CEEB=1].

因為AE，F(xiàn)C，BH三線交于點G，

所以由塞瓦（G.Gevo）定理，得

[BFFA ? AHHC ? CEEB=1].

所以[ADDC=AHHC]，

即點D，H與點C，A調(diào)和共軛.

結(jié)合定理5，我們可以發(fā)現(xiàn)眾多調(diào)和點列. 如圖10，虛線段上的四個點都是調(diào)和點列.

特別地，如圖11，當(dāng)EF∥AC時，圖10中的交點D可以看作位于無限遠處，點B，L，G，K為調(diào)和點列. 其中，點B，G與點L，K調(diào)和共軛.

四、完全四邊形與圓錐曲線的聯(lián)系

平面內(nèi)幾個點可以確定圓錐曲線呢？觀察二次曲線的一般形式[Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0]. 圓錐曲線一定是二次曲線，即二次項系數(shù)A，B，C中至少有一個不為0. 不妨設(shè)[A≠0，] 方程[Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+]

[F=0]的兩邊同時除以A，得[x2+BAy2+CAxy+DAx+EAy+]

[FA=0]，即[x2+λ1y2+λ2xy+λ3x+λ4y+λ5=0]. 也就是說只要確定了唯一的有序?qū)崝?shù)組[λ1，λ2，λ3，λ4，λ5]就可以確定唯一的橢圓（雙曲線），即平面內(nèi)五點確定橢圓（雙曲線）. 而拋物線需要有一個平方項系數(shù)為0，故平面內(nèi)四點確定拋物線.

圖12中一定存在圓錐曲線過A，F(xiàn)，E，C四點，那么圓錐曲線的任意內(nèi)接四邊形，延長四邊使其兩兩相交，可以形成完全四邊形（內(nèi)接梯形可以類比圖11），就可以研究相應(yīng)的調(diào)和點列與調(diào)和線束的問題了. 當(dāng)然，如果上述四點共圓也有類似結(jié)論. 這樣我們就把完全四邊形與圓錐曲線聯(lián)系起來了. 事實上，對于具有內(nèi)接四邊形的曲線都可以研究這類問題，但是圓錐曲線所獨具的性質(zhì)使其更具研究價值.

五、極點和極線與調(diào)和分割

極點和極線的定義：二次曲線[Ax2+By2+Cxy+Dx+][Ey+F=0]，設(shè)點[Px0，y0]，若直線[l：Ax0x+By0y+][Cx0y+xy02+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0]，則稱點[P]是直線[l]的極點，直線[l]是點[P]的極線.

極線的性質(zhì)1：當(dāng)點[Px0，y0]在曲線外時，對應(yīng)的極線為過點P的切點弦所在的直線；當(dāng)點[Px0，y0]在曲線上時，對應(yīng)的極線的方程為過點P的切線的方程；當(dāng)點[Px0，y0]在曲線內(nèi)時，對應(yīng)的極線的方程為過點P作曲線的非對稱軸交線，交曲線于A，B兩點，再分別過點A，B作曲線的切線，兩條切線的交點的軌跡方程.

極線的性質(zhì)2（自極性）：極點所在的直線的極點必在原來的極線上；極線上任意一點的極線必過原來的極點.

極線的性質(zhì)3：極點在對稱軸上時，極線必垂直該對稱軸. 反之也成立.

極線的性質(zhì)4：圓錐曲線焦點的極線為對應(yīng)準線，準線的極點為對應(yīng)焦點.

說明：極線的性質(zhì)非常豐富，可以由“同構(gòu)思想”論證. 由于與本文重點論述的極點和極線調(diào)和分割橢圓的性質(zhì)關(guān)聯(lián)不大，故不進行詳細闡述.

定理8：極點與極線調(diào)和分割圓錐曲線.

如圖13，以橢圓[x2a2+y2b2=1? a>b>0]為例證明：過點[Px0，y0]（點[P]不在橢圓上且不為原點）的直線與橢圓交于A，B兩點，若點Q，P，A，B為調(diào)和點列，則點Q為直線AB與直線[x0xa2+y0yb2=1]的交點.

證明：設(shè)[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，[Qm，n].

當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)AB的方程為[y-y0=][kx-x0].

與橢圓的方程聯(lián)立，化簡，得

[a2k2+b2x2+2ka2y0-kx0x+a2y0-kx02-a2b2=0].

當(dāng)[Δ≥0]時，

[x1+x2=-2ka2y0-kx0a2k2+b2]， [x1x2=a2y0-kx02-a2b2a2k2+b2].

若點Q，P，A，B為調(diào)和點列，則滿足[x0-x1x0-x2=][x1-mm-x2]，即[2mx0+2x1x2-x0+mx1+x2=0].

所以[a2y0m-x0k+mx0b2+a2y02-a2b2=0].

將[k=y0-nx0-m]代入化簡，得[x0ma2+y0nb2=1]，

即點Q為直線[x0xa2+y0yb2=1]上的點.

當(dāng)直線AB的斜率不存在且與橢圓有兩個不同的交點時，也可以驗證點Q為直線[x0xa2+y0yb2=1]上的點.

綜上所述，點Q為直線AB與直線[x0xa2+y0yb2=1]的交點.

我們發(fā)現(xiàn)一些特殊情況，當(dāng)點[Pt，0-a

按照橢圓極點和極線對橢圓割線的調(diào)和分割比例，將橢圓內(nèi)接四邊形的四條邊延長并分別相交，構(gòu)成完全四邊形. 如圖14，在橢圓內(nèi)接四邊形DEFG中，延長DE，GF交于點J，延長GD，F(xiàn)E交于點H，連接對角線GE，DF，交于點K，連接JH，HK，JK，形成[△KHJ]. 由于彼此調(diào)和分割，則將[△KHJ]稱作“自極三角形”，即每個頂點都是其對邊的極點，每條邊都是其對頂點的極線.

六、高考試題中的極點和極線問題

在歷年高考試題中，以上述問題為命題背景的試題多次出現(xiàn)．

例1 （2020年全國Ⅰ卷·理20）已知A，B分別為橢圓[E： x2a2+y2=1? a>1]的左、右頂點，G為E的上頂點，[AG ? GB=8]，P為直線[x=6]上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點.

解析：（1）橢圓方程為[x29+y2=1]．

（2）如圖15，設(shè)橢圓E的內(nèi)接四邊形ADBC的對角線的交點為[Fx0，0]，則點F的極線為[x0 · x9+0 ·][y=1，] 可得方程為[x=9x0]，即[9x0=6]，解得[x0=32]，故直線CD恒過定點[32，0].

如果在這個題目的基礎(chǔ)上以調(diào)和點列形成的比例關(guān)系為命題背景，可以考慮進行如下設(shè)計.

已知點[M1，0]，[N-1，0]，若點P是橢圓[E：][x29+y2=1]上的任意一點，連接NP交橢圓E于點Q，連接PM，QM并延長，分別交橢圓E于點R，S，連接RS，設(shè)直線PQ，RS都不與坐標軸垂直.

求證：直線PQ，RS的斜率之比為定值.

如圖16，點[M1，0]對應(yīng)極線[AB： 1 · x9+0 · y=1]，即[x=9]，由完全四邊形可知點Q，K，R，B為調(diào)和點列，AQ，AK，AR，AB為調(diào)和線束. 因為線段AQ，AK，AR，AB分別與x軸交于點N，M，H，I，所以點N，M，H，I為調(diào)和點列.

設(shè)[Hx，0]，且[M1，0]，[N-1，0]，[I9，0].

由調(diào)和比例[NMHM=NIHI]，得[2x-1=109-x].

解得[x=73]，即得[H73，0].

所以[kRSkPQ=AIHIAINI=NIHI=32]．

當(dāng)然，利用調(diào)和點列與調(diào)和線束的性質(zhì)研究一些過定點問題也是非常方便的．

例2 （2022年全國乙卷·理20）已知橢圓[E]的中心為坐標原點，對稱軸為[x]軸、[y]軸，且過[A0，-2，][B32，-1]兩點.

（1）求[E]的方程；

（2）設(shè)過點[P1，-2]的直線交[E]于[M，] [N]兩點，過點[M]且平行于[x]軸的直線與線段[AB]交于點[T]，點[H]滿足[MT=TH]. 證明：直線[HN]過定點.

解析：（1）橢圓[E]的方程為[y24+x23=1].

（2）根據(jù)調(diào)和點列和調(diào)和線束的性質(zhì)，可知[PA]為橢圓[E]的切線.

將直線[PB]的方程[y=2x-4]代入橢圓[E]的方程，有[4x2-12x+9=0].

得到判別式Δ = 0，故直線[PB]也為橢圓[E]的切線.

所以直線AB的方程[1 · x3+-2 · y4=1]為橢圓[E]的切點弦方程.

如圖17，設(shè)[AB]與[MN]交于點[D]，則點[P，M，D，][N]成調(diào)和點列，[AP，AM，AD，AN]成調(diào)和線束.

由題意可知，[MH∥AP.]

因為[MH]與[AM，AD，AN]分別交于點[M，T，H，] 所以[T]為[MH]的中點.

因為[AP∥xO∥MT，] 所以由[HN]恒過點[A].

破解圓錐曲線的壓軸題，需要先合理解析算法，優(yōu)化運算. 而解析幾何問題的核心依然是“幾何”，“解析”只是處理幾何問題的一種手段. 充分了解并應(yīng)用幾何要素間的性質(zhì)，先把結(jié)論“看出來”，是簡化解析運算的重要途徑，有利于學(xué)生提升幾何直觀素養(yǎng). 史寧中教授說過，智慧的教育表現(xiàn)在過程之中，學(xué)生必須通過自身的理解與感悟才能形成智慧. 在教學(xué)中，教師要系統(tǒng)研究調(diào)和點列在圓錐曲線中的性質(zhì)，充分探索調(diào)和點列性質(zhì)形成的“源”與“流”，避免形成“應(yīng)用二級結(jié)論”的解題訓(xùn)練，綜合提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］章建躍，李海東. 高中數(shù)學(xué)教材編寫研究［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］李三平，陳夏. 高等數(shù)學(xué)觀點下的中學(xué)數(shù)學(xué)［M］. 北京：科學(xué)出版社，2019.

收稿日期：2022-08-11

作者簡介：張永剛（1982— ），男，中學(xué)高級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.