【摘 要】反思是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中不可缺少的環(huán)節(jié)，要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，就必須培養(yǎng)學(xué)生的反思能力。而直觀想象是學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。因此，文章通過教學(xué)實(shí)踐闡述如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)，以此提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);直觀想象;反思性學(xué)習(xí)

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2022）24-0093-04

著名教育家約翰·杜威在《我們怎樣思維》這本書中系統(tǒng)闡釋了反思性學(xué)習(xí)，并把常規(guī)行為與反思性行為進(jìn)行了比較。常規(guī)行為是在固有的、傳統(tǒng)的模式下形成的，不加批判地繼承已學(xué)知識;而反思性行為則是對知識和方法的深思，不是簡單的苦思冥想，而是涉及直覺、情緒的高級認(rèn)知過程。

什么是數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)？是指通過對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程的反思來進(jìn)行學(xué)習(xí)。反思是對自己的思維過程、思維結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)識的檢驗(yàn)過程，是學(xué)習(xí)中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。建構(gòu)主義理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是在活動中進(jìn)行建構(gòu)，要求學(xué)生不斷地對自己的活動過程進(jìn)行反省、概括和抽象?？梢钥吹剑此夹詫W(xué)習(xí)是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的重要途徑。

什么是數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng)？《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，主要包括借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路[1]。直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。因此，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力極其重要。

為什么要培養(yǎng)學(xué)生的反思性學(xué)習(xí)能力呢？如何提升學(xué)生的直觀想象能力呢？為什么反思性學(xué)習(xí)對提升學(xué)生的直觀想象能力具有關(guān)鍵的作用呢？針對這些問題，首先要從學(xué)情分析入手。

1? ?學(xué)情分析

數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)對于初中生來說是極其重要的。初中生的心理發(fā)展水平與小學(xué)時期相比得到了一定程度的提升，具有一定的自控能力和自我分析能力，但在學(xué)習(xí)和認(rèn)知的過程中依舊比較依賴他人，以被動學(xué)習(xí)為主，缺乏主動思考。在這樣的學(xué)習(xí)模式下，學(xué)生即使學(xué)習(xí)很認(rèn)真，上課認(rèn)真聽講，當(dāng)下對知識和方法有所掌握，但過一段時間后，遺忘程度非常高，甚至在階段考試中考查原題，依然有很多學(xué)生出錯或不會，出現(xiàn)“假懂”的現(xiàn)象。出現(xiàn)這種現(xiàn)象是由于學(xué)生的認(rèn)知只是停留在表面，沒有進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。而反思性學(xué)習(xí)是讓學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的一種有效的方法。本文通過實(shí)際教學(xué)案例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)，總結(jié)模型和方法，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。下面從培養(yǎng)函數(shù)直觀想象能力和引入幾何圖形中的特殊模型兩個角度來闡述如何通過反思性學(xué)習(xí)提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。

2? ?教學(xué)實(shí)踐

2.1? 培養(yǎng)函數(shù)直觀想象能力

針對這道題，許多學(xué)生反映字母特別多，一開始都很畏懼，并且無從下手。但通過筆者精細(xì)的教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生在解決比較簡單的同類型題目的過程中總結(jié)反思出函數(shù)直觀想象的方法后，再來解決這道題時，大部分學(xué)生都會做了。具體的教學(xué)設(shè)計如下。

例1：已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于

（-1，0），（3，0），求其對稱軸。

教師：畫出函數(shù)的大致圖象，你能直觀地看出對稱軸嗎？

學(xué)生：容易得到對稱軸為。

教師：這兩個點(diǎn)坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？

學(xué)生：這兩個點(diǎn)都在x軸上，也可說它們的縱坐標(biāo)相同。

教師：這體現(xiàn)了二次函數(shù)的什么性質(zhì)？

學(xué)生：二次函數(shù)的對稱性。

例2：已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于（0，5），（4，5），求其對稱軸。

教師：現(xiàn)在兩個點(diǎn)不在x軸上了，當(dāng)畫出函數(shù)的大致圖象，你還能直觀地看出對稱軸嗎？

學(xué)生：容易得到對稱軸為。

教師：這兩個點(diǎn)坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？

學(xué)生：這兩個點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。

教師：從上面兩題來看，你可以總結(jié)出什么方法嗎？

【學(xué)生反思總結(jié)方法】在二次函數(shù)上的兩個點(diǎn)，如果縱坐標(biāo)相同，那么這兩個點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱。此時拋物線的對稱軸公式是直線。

【設(shè)計說明】例1選自教材，這對學(xué)生來說較為熟悉，易于入手。例2在例1的基礎(chǔ)上，調(diào)整為不那么特殊的兩個點(diǎn)（0，5），（4，5），讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)這兩道題目的共同特點(diǎn)是兩個點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，讓學(xué)生在簡單、熟悉的情境中慢慢地感受到其中蘊(yùn)藏的函數(shù)直觀想象的方法。

例3：若拋物線y=ax2+bx+c的開口向上，對稱軸是直線，點(diǎn)A（-2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）都在該拋物線上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是

（? ?）。

A.y1C.y3

教師：同學(xué)們，你還能通過這道題得到什么重要的發(fā)現(xiàn)嗎？如這些點(diǎn)離對稱軸的距離等。

【學(xué)生反思總結(jié)方法】開口向上的拋物線上的點(diǎn)，離對稱軸越近，點(diǎn)的高度越低，即縱坐標(biāo)越小，這體現(xiàn)了二次函數(shù)的對稱性。

【設(shè)計說明】例3是一道含參數(shù)的二次函數(shù)題，難度適中。設(shè)計目的是引導(dǎo)學(xué)生反思體會，只要能夠畫出拋物線的大致圖象，那么問題就會迎刃而解。另外，還可以讓學(xué)生了解到二次函數(shù)上的點(diǎn)與頂點(diǎn)和對稱軸的位置特點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，發(fā)現(xiàn)開口向上的拋物線上的點(diǎn)離對稱軸越近，點(diǎn)的高度越低，縱坐標(biāo)越小。這為學(xué)生解決真題1提供了方法，讓學(xué)生通過反思，總結(jié)出二次函數(shù)直觀想象的方法，并在解題過程中應(yīng)用，獲得成就感。

學(xué)生運(yùn)用自己總結(jié)的方法進(jìn)行自主分析：

①觀察條件發(fā)現(xiàn)A、C的縱坐標(biāo)相同，可得對稱軸為x=;②畫出坐標(biāo)A（m，n）、C（3-m，n）的大概位置;③大概畫出二次函數(shù)的圖象，如圖2;④標(biāo)出點(diǎn)B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）的位置;⑤觀察點(diǎn)的位置即可得出結(jié)論。

可以發(fā)現(xiàn)，由于離對稱軸x=最近，因此點(diǎn)D最低。而0離對稱軸最遠(yuǎn)，因此點(diǎn)B最高。不難發(fā)現(xiàn)，這題的解題思路和之前總結(jié)的結(jié)論相同。因此，同一個方法可以運(yùn)用到不同的題目中，通過反思真正掌握這個方法，就可達(dá)到舉一反三的效果。

2.2? 引入幾何圖形中的特殊模型

幾何直觀是直觀想象素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，而幾何圖形中的特殊模型是幾何直觀的一個非常重要的部分，它可以讓學(xué)生在復(fù)雜的圖形結(jié)構(gòu)中迅速地發(fā)現(xiàn)自己熟悉的特殊模型，找到解決幾何問題的思維方向或者得到更多的已知條件，進(jìn)而提高解決幾何問題的能力。引導(dǎo)學(xué)生通過幾何直觀抽取圖形中的特殊模型，并反思總結(jié)其特征，學(xué)生的幾何直觀能力才能有所提高。

真題2：（2018年福建中考）如圖3，D是ΔABC外接圓上的動點(diǎn)，且B，D位于AC的兩側(cè)，DE⊥AB，垂足為E，DE的延長線交此圓于點(diǎn)F。BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點(diǎn)H，DC，F(xiàn)B的延長線交于點(diǎn)P，且PC=PB。

（1）求證：BG∥CD;

（2）設(shè)ΔABC外接圓的圓心為O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小。

此題是2018年福建省中考的壓軸題，由于圖形結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，大部分學(xué)生都不會做。但通過引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀，抽取圖形中的特殊模型，反思總結(jié)，學(xué)生也可以舉一反三。教學(xué)設(shè)計如下。

例5：（圓中垂直弦模型——“弧”）如圖4，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD于點(diǎn)P。求證：。

教師：圓中的特殊性質(zhì)指的是哪些方面？

學(xué)生：弧，弦，圓心角，圓周角。

教師：那我們首先研究弧的特點(diǎn)。兩條弦可以把圓周分成幾段??？

學(xué)生：4段。

教師：這4段弧有什么特點(diǎn)，會相等嗎？

學(xué)生：應(yīng)該不會。

教師：可以從特殊情況入手，如過圓心的直徑等。

學(xué)生：兩段對弧加起來相等。

教師：若對角線AC⊥BD于點(diǎn)P。怎么求證呢？

思路分析：如圖5，過O作直徑CE，連接AE，DE，容易證明AE平行BD，因?yàn)槠叫芯€間所夾的弧相等，所以;又因?yàn)闉榘雸A，所以為半圓，所以。

【學(xué)生反思總結(jié)模型】垂直弦所夾的兩段弧和是半圓。解題策略為連直徑、得直角、構(gòu)平行、轉(zhuǎn)化弧。

【設(shè)計說明】將幾何壓軸題中的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)單獨(dú)呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和總結(jié)這個幾何結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含的性質(zhì)，再讓學(xué)生進(jìn)行證明，并在探索的過程中感受如何在復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)這樣一個特殊的幾何結(jié)構(gòu)模型，總結(jié)解題的策略和步驟，以后再遇到這個模型時就可以迅速識別。

例6：如圖6，已知A，B，C，D是⊙O上的四個點(diǎn)。若AC⊥BD，垂足為E，AB=2，DC=4，求⊙O的半徑。

思路分析：如圖7，過O作直徑DF，連接CF、BF，容易證明AC平行BF，因?yàn)槠叫芯€間所夾的弧相等，所以，即AB=FC。在RtΔDFC中，DF2=DC2+FC2=42+22=20，所以DF=2。所以⊙O的半徑是。

【設(shè)計說明】設(shè)計本題的目的是讓學(xué)生在比較陌生但又不是太復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)垂直弦模型，并學(xué)會如何應(yīng)用。其實(shí)這道題的實(shí)際步驟和垂直弦的步驟基本一樣，讓學(xué)生體會整理幾何模型的重要性，提升學(xué)生的幾何直觀能力。

例7：（圓中垂直弦模型——“弦”）如圖8，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD于點(diǎn)P，求證：AB2+CD2=4r2或AP2+BP2+CP2+DP2=4r2。

教師：垂直弦所分的弧有特殊性質(zhì)，那么所形成的弦有特殊性質(zhì)嗎？

學(xué)生：可能也有。

教師：那和圓中的什么量有關(guān)呢？

學(xué)生：半徑。

教師：可以從特殊情況入手，如過圓心的兩條直徑等。

學(xué)生：與4倍的半徑平方有關(guān)。

教師：很好！其實(shí)解決這道題的策略依然是連直徑、得直角、構(gòu)平行、轉(zhuǎn)化弧，運(yùn)用勾股定理可得結(jié)論。

【學(xué)生反思總結(jié)模型】垂直弦所分的四條線段與半徑有關(guān)，即AP2+BP2+CP2+DP2=4r2或AB2+CD2=4r2。

以上從“弧”與“弦”的角度，引導(dǎo)學(xué)生整理圓中的垂直弦模型，學(xué)生從中掌握了很多潛在的有價值的信息，再來解答真題2就比較容易了。

3? ?教學(xué)反思

本文從培養(yǎng)函數(shù)直觀想象能力、引入幾何圖形的特殊模型兩個角度分析了如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)，進(jìn)而提升學(xué)生的直觀想象能力。

引導(dǎo)學(xué)生對解題過程進(jìn)行反思，是提高學(xué)生解題元認(rèn)知水平的需要，是加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解的有效途徑[2]。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，熟練掌握基本技能需要經(jīng)過三個階段，分別是認(rèn)知階段、聯(lián)系階段、自動化階段。如何讓學(xué)生的解題技能達(dá)到自動化階段呢？反思性學(xué)習(xí)是必由之路。同時，直觀想象能力可以讓學(xué)生透過問題的表面迅速找到思考的方向。學(xué)生通過反思性學(xué)習(xí)抽取模型和方法，提升直觀想象素養(yǎng)，同時又利用直觀想象素養(yǎng)發(fā)現(xiàn)、總結(jié)更多模型和方法，長此以往，學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力才能得以提升，數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能得以發(fā)展。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.

【作者簡介】

楊振興（1985～），男，漢族，福建泉州人，本科，中學(xué)一級教師。研究方向：數(shù)學(xué)教育。

*基金項(xiàng)目：本文系廈門市直屬中小學(xué)2019年度課題“基于核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)策略研究”（課題編號：zsx2019003）階段性研究成果。