【摘 要】 文章首先分析了含60°角的菱形的圖形結(jié)構(gòu)及試題特征;再以含60°角的菱形為載體，通過多角度挖掘圖形內(nèi)涵，融入模型變式深化，打破思維定勢拓展創(chuàng)新等途徑，編制出一系列問題;最后針對不同層次的班級，選擇問題構(gòu)建一題一課專題教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生探究和解決數(shù)學(xué)問題的思維能力和創(chuàng)新意識.

【關(guān)鍵詞】 挖掘內(nèi)涵;變式創(chuàng)新;菱形;編制試題;一題一課;專題教學(xué)

1 提出問題

在人教版八年級下冊“平行四邊形”章節(jié)的教學(xué)中，常常會(huì)遇到與含60°角的菱形有關(guān)的問題.究其原因，是含60°角的菱形中包含著兩個(gè)等邊三角形，兩個(gè)含120°角的等腰三角形，以及四個(gè)含30°角的直角三角形，具備多種特殊的邊和角的關(guān)系，為試題的編制提供了良好素材.

當(dāng)在此基本圖形中添加含特殊角度60°的圖形元素（特別的，如等邊三角形）后，在線段的夾角、角度的和差、圖形的全等中會(huì)形成更為多樣的組合形式，也就產(chǎn)生了以此為背景的融入手拉手模型、夾半角模型、一線三等角模型而編制的問題.例如圖1是菱形中典型的夾半角模型問題，其中∠ABC=60°，∠PAE=60°，題目蘊(yùn)含豐富結(jié)論，解題的關(guān)鍵是利用圖形中特殊的邊角關(guān)系構(gòu)造全等三角形.

本文嘗試以含60°角的菱形為載體，從多個(gè)角度挖掘圖形內(nèi)涵，編制一系列變式題，問題由淺入深，體現(xiàn)考點(diǎn)交匯，隱藏顯性要素，淡化模型記憶.進(jìn)而針對不同層次的班級，選擇相應(yīng)問題構(gòu)建一題一課專題教學(xué).

2 試題編制2.1 挖掘內(nèi)涵，體現(xiàn)技能

從最初的含60°角的菱形開始，在左側(cè)嵌入等邊三角形中的常見考題，形成如下問題.

問題1 如圖2，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，連接AC，點(diǎn)H，F(xiàn)分別在線段AC，BC上，CH=BF，AF與BH相交于點(diǎn)P，則線段AF與BH有何數(shù)量關(guān)系，∠APH為多少度.

分析 根據(jù)圖形中的已有條件直接證明△ABF≌△BCH，應(yīng)用全等的性質(zhì)及角度的轉(zhuǎn)換即可解決問題.事實(shí)上，只要保持CH=BF，就有∠APH的度數(shù)為60°，適當(dāng)添加線段可構(gòu)成一個(gè)與菱形共A點(diǎn)的等邊△APE.

將全等圖形從一個(gè)等邊三角形移至兩個(gè)等邊三角形中，形成如下問題.

問題2 如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，連接AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BC，AC上，BE=AF，DF的延長線交AE于點(diǎn)P，求∠APD的度數(shù).

分析 本題全等的證明與問題1類似，但所求結(jié)論更具隱蔽性，需要對角度進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)換.由△DAF≌△ABE可得∠ADP=∠BAE，所以∠APD=180°-（∠PAD+∠ADP）=180°-∠BAD=60°.適當(dāng)添加線段亦可構(gòu)成一個(gè)與菱形共D點(diǎn)的等邊△DPG.

在菱形右側(cè)的等邊三角形中融入旋轉(zhuǎn)模型，隱藏AC，增加對線段數(shù)量關(guān)系的考查，得到如下問題.

問題3 如圖4，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，△DPG是等邊三角形，C，P，G三點(diǎn)共線，連接AG，則∠AGP為多少度，線段GA，GC，GD之間有何數(shù)量關(guān)系.

分析 本題實(shí)質(zhì)上是共D點(diǎn)的手拉手模型，但設(shè)計(jì)圖形時(shí)未連接AC，旨在淡化固有的模型記憶.由∠ADC=∠GDP=60°，得∠ADG=∠CDP，所以△ADG≌△CDP，∠AGD=∠CPD=120°，所以∠AGP=120°-∠PGD=60°.因?yàn)镚A=PC，GD=GP，所以GA+GD=PC+GP=GC.2.2 變式深化，凸顯本質(zhì)

將旋轉(zhuǎn)模型移至菱形頂點(diǎn)A處，即以A為頂點(diǎn)構(gòu)造等邊△APE，同時(shí)隱藏AC，隨著△APE旋轉(zhuǎn)到不同位置，其與菱形可形成不同的組合方式.下面以點(diǎn)P在射線BD上運(yùn)動(dòng)的三種位置為例，依次設(shè)計(jì)出如下三個(gè)問題.

問題4 如圖5，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)P是線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，連接CE.當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部時(shí)，線段BP與CE有何數(shù)量關(guān)系，BP與CE的夾角為多少度.

分析 連接AC，△ABC和△APE構(gòu)成手拉手模型，同問題3，有△ABP≌△ACE，所以BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°.延長CE交BD于點(diǎn)H，因?yàn)锳C⊥BD，所以BP與CE的夾角∠BHC為60°.事實(shí)上，還可證明出△ABP≌△DCE.

問題5 如圖6，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)P是線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，連接CE.當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，求證：PD+CE=3AD.

分析 類比問題4，連接AC交BD于點(diǎn)O，由∠BAC=∠PAE=60°，得∠BAP=∠CAE，所以△ABP≌△ACE，BP=CE，所以PD+CE=BD.所求結(jié)論中設(shè)置系數(shù)3，目的是引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到菱形中的含30°角的Rt△ADO，或含120°角的等腰△ABD，從而得出BD=3AD，所以PD+CE=3AD.

此外，由∠BAD=120°，∠ABD=30°可聯(lián)想到過點(diǎn)D作AD的垂線交BA的延長線于點(diǎn)H，如圖7，構(gòu)造出含120°角的等腰△BDH和含30°角的Rt△ADH，也能得出BD=DH=3AD.

問題6 如圖8，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)P是BD延長線上的一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊作等邊△APE（A，P，E逆時(shí)針排列），連接CE.則線段AD，PD，CE之間有何數(shù)量關(guān)系.

分析 類比問題5，連接AC，證明△ABP≌△ACE，BP=CE，所以有CE-PD=3AD.

問題4，5，6逐層遞進(jìn)，隱蔽全等要素，打破模型化的幾何圖形設(shè)計(jì)方式，從兩線段的相等關(guān)系到多線段的和差倍分關(guān)系，強(qiáng)調(diào)分析問題、解決問題的探究能力和思維品質(zhì).

在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，兩個(gè)三角形始終保持全等關(guān)系，故圖形中的另一動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑存在規(guī)律，可設(shè)計(jì)如下問題.

問題7 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)P是射線BD上的一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊作等邊△APE（A，P，E逆時(shí)針排列），連接CE.當(dāng)點(diǎn)P在射線BD上運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是什么？

分析 本題融入了對線型伴隨軌跡問題的考查，延續(xù)了問題4，5，6的思路，達(dá)到無縫銜接.如圖9，因?yàn)椤鰽BP≌△ACE，∠ACE=∠ABD=30°，CE=BP，所以點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑為∠ACD的角平分線CE，運(yùn)動(dòng)路徑長與點(diǎn)P相同.

將點(diǎn)P脫離BD，等邊△APE旋轉(zhuǎn)到菱形外側(cè)時(shí)，可形成更具一般性的旋轉(zhuǎn)問題.

問題8 如圖10，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)P是菱形外的一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊在菱形外側(cè)作等邊△APE（A，P，E逆時(shí)針排列），連接BP，CE交于點(diǎn)O.求BP與CE的夾角度數(shù).

分析 類比問題6，連接AC，有△ABP≌△ACE，∠AEC=∠APB，所以∠EOP=∠EAP=60°，BP與CE的夾角度數(shù)為60°.

2.3 拓展提升，創(chuàng)新思維

為打破思維定勢，變換圖形位置，尋找新的圖形構(gòu)造方式設(shè)計(jì)問題.如圖11，嘗試改為連接BE，DP，得到兩個(gè)全新的△BAE和△APD，其中∠EAB+∠PAD=180°，即“對應(yīng)角”由前面的旋轉(zhuǎn)角相等變?yōu)榱嘶パa(bǔ)關(guān)系.在此圖形背景下可形成如下問題.

問題9 如圖11，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)P是菱形外的一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊在菱形外側(cè)作等邊△APE（A，P，E逆時(shí)針排列），連接BE，DP，點(diǎn)M為BE的中點(diǎn).求證：DP=2AM.

分析 本題不是簡單套用前述方法連接AC證明全等.而是要根據(jù)所求結(jié)論聯(lián)想到倍長AM，或?qū)D截半，或構(gòu)造中位線等方式，如圖12，圖13，圖14，圖15，將其轉(zhuǎn)換為證明兩線段相等的問題，從而構(gòu)造出一組新的全等三角形解題，凸顯創(chuàng)新思維.

以圖12為例，延長AM使得MN=AM，連接BN，可證明四邊形ABNE為平行四邊形，所以BN∥AE，∠ABN+∠EAB=180°.因?yàn)椤螮AP+∠BAD=180°，∠EAB+∠PAD=180°，所以∠ABN=∠PAD，故有△ADP≌△BAN，所以DP=AN=2AM.

再次融入夾角問題，提升全等的應(yīng)用價(jià)值，滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想，設(shè)計(jì)出如下問題.

問題10 如圖11，在變式9的條件下，試探究DP與AM的夾角度數(shù)是否為定值.

分析 如圖16，延長MA交PD（或PD的延長線，如圖17）于點(diǎn)O，都有∠PAO+∠EAN=120°.因?yàn)锽N∥AE，∠EAN=∠ANB=∠OPA，所以∠PAO+∠OPA=120°，∠POA=60°，所以DP與AM的夾角度數(shù)為定值60°.

3 專題構(gòu)建

以含60°角的菱形為圖形載體，以全等的應(yīng)用與拓展為主線，以幾何畫板等教學(xué)軟件動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，構(gòu)建一題一課專題教學(xué).

例如，對于基礎(chǔ)一般的班級，可將問題1，2安排為前置練習(xí)，了解學(xué)生對全等知識的掌握情況;通過問題4創(chuàng)設(shè)情境，熟練全等解題的一般方法;通過問題5，6變式拓展，引導(dǎo)學(xué)生深入探究，小組合作交流，提升應(yīng)用技能.通過專題課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠從不同的問題情境中，根據(jù)已有條件分析、思考、聯(lián)想，通過合理構(gòu)造輔助線，應(yīng)用圖形全等解決與邊角相關(guān)的綜合性問題.

又如，對于基礎(chǔ)較好的班級，可將問題1安排為前置練習(xí)，熟練全等的應(yīng)用方法;通過問題4創(chuàng)設(shè)情境，問題5，6橫向變式，深化技能;進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生探究解決問題7，體會(huì)知識的本質(zhì)，以及多考點(diǎn)的緊密聯(lián)系;最后學(xué)生深度探究問題9，小組合作挖掘多種解法，交流展示;問題10安排為課后思考題.通過專題課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握將表面上與全等無關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為求線段或角相等的問題，進(jìn)而應(yīng)用全等解題的通性方法，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新思維能力.

參考文獻(xiàn)

[1]蘇國東.例談線型伴隨軌跡問題[J].數(shù)理化解題研究，2022（02）：20-21.

[2]劉莎.弱化“模型”重視數(shù)學(xué)分析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2020（02）：20-23.

作者簡介

蘇國東（1986—），男，廣東廣州人，中學(xué)一級教師;廣州市十佳數(shù)學(xué)教師、市特約教研員、市中心組成員、市名師工作室成員、荔灣區(qū)名教師等;主要研究信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)融合;發(fā)表論文多篇.