張小川　董濤

【摘 要】 文章從一道選擇壓軸題的探索思路入手，根據(jù)探索思路的過程得出問題的一般性結(jié)論，更進(jìn)一步改變原題的設(shè)問背景，將選擇題改編為尺規(guī)作圖題，在此過程中，體現(xiàn)出了識圖、構(gòu)圖、作圖能力的重要性.

【關(guān)鍵詞】 一線三等角;旋轉(zhuǎn)相似;外接圓

2022年蘇州中考數(shù)學(xué)選擇壓軸題，在坐標(biāo)系中以正三角形為背景，以旋轉(zhuǎn)為平臺，通過求點的坐標(biāo)，考察學(xué)生的邏輯推理和幾何直觀能力，對學(xué)生的構(gòu)圖能力也有良好的檢測作用，考題具有一定的探索價值和良好的可拓展性.

本文先介紹原題多種思路的來源，再將問題進(jìn)行一般化推廣，最后改變問題的設(shè)問方式：將問題變化為尺規(guī)作圖題.在此整理成文，以期給讀者的構(gòu)圖教學(xué)和尺規(guī)作圖教學(xué)帶來些許啟發(fā).

1 中考原題

（2022年蘇州）如圖1，點A的坐標(biāo)為（0，2），點B是x軸正半軸上的一點，將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC.若點C的坐標(biāo)為（m，3），則m的值為（）.A.43[]3[SX）]B.221[]3[SX）]C.53[]3[SX）]A.421[]3[SX）]

2 探索思路

題目條件簡潔，圖形明了，也正因為如此，給探索解題思路帶來了一定的困難.題目給出的已知條件中只有2個點的坐標(biāo)和一個60°的旋轉(zhuǎn)角，不妨從60°的旋轉(zhuǎn)角入手通過作輔助線利用全等得出的線段相等計算m的值.

思路一 構(gòu)造同一直線上的3個60°角

方法1 在x軸上構(gòu)造3個60°角

如圖1，要計算點C的坐標(biāo)中m的值，直接的想法就是過C作CF⊥x軸，計算出線段OF的長.現(xiàn)有的條件不容易找出解題思路.根據(jù)線段AB繞點A旋轉(zhuǎn)60°角，得AB=AC，連接BC后，△ABC是正三角形，所以∠ABC=60°，可以在x軸上構(gòu)造同一直線上的3個60°角：在x軸上找點D，E使∠ADB=∠CEB=60°，在圖1中有△ABD≌△BCE，進(jìn)而AD=BE，BD=CE，由A（0，2）得AD=433，由∠E=60°得CE=23.DB+BE=23+433=1033.又OF=DE-DO-EF，故OF=1033-233-333=533.

方法2 在y軸上構(gòu)造3個60°角

由∠BAC=60°想到還可以在y軸作∠BDA=60°，∠CEA=60°，如圖2，則有△ACE≌△BAD，得出CE=AD，AE=BD，在Rt△CEF中計算出CE=233m=AD，AE=33m+1=BD.再計算m值，可以在Rt△BOD中根據(jù)∠D的余弦值列方程：233m-2×2=33m+1，解得m=533.

說明 從上述兩種不同構(gòu)圖方法及過程可以看出在x軸上構(gòu)造3個60°角的方法比在y軸上構(gòu)造3個60°角的計算量小，究其原因是在x軸上構(gòu)造3個60°角時OA=2，CF=3這2個條件可直接應(yīng)用，從而直接求出全等三角形中線段的長度，而在y軸上構(gòu)造3個60°角時，需要建立關(guān)于m的方程.既然構(gòu)造同一直線上的三個60°角能夠解決問題，那么構(gòu)造同一直線上三個直角是否可行？不妨一試.

思路二 構(gòu)造同一直線上的3個90°角

如圖3，因為∠BAC=60°，點A坐標(biāo)已知，可以過A作AC的垂線交CB的延長線于點D，作CF⊥y軸，DE⊥y軸，則可構(gòu)造y軸上的一線三直角基本圖形，有△CAF∽△ADE，從

圖3而CAAD=CFAE=AFDE=13，mAE=1DE=13，得出AE=3m，DE=3，EF=3m+1.因為B是CD中點，故OE=OF=3，所以EF=6，從而可以建立關(guān)于m的方程.

說明 構(gòu)造同一直線上的3個90°角的思路，還可以有多種構(gòu)圖方法，比如可以過點A作AB的垂線交BC的延長線于點D，過點B作BC的垂線，過點B作AB的垂線，過點C作AC的垂線，過點C作BC的垂線……

還可以過點C作AB的垂線后再構(gòu)造同一直線上的3個90°角，如圖4，這種方法是直接應(yīng)用正三角形性質(zhì)和點C的縱坐標(biāo)為3這個條件.具體解題過程不再贅述，有興趣的讀者可自行補(bǔ)充.

思路三 構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似（手拉手）基本圖形

如圖5，由原題中線段AB繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60°想到將AO也繞A逆轉(zhuǎn)60°，也就是將△AOB繞A逆轉(zhuǎn)60°構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似（手拉手）圖形.連接CD則有△ACD≌△ABO，得出∠ADC=∠AOB=90°.要計算OF的長，可以延長CD交x軸于點E，在Rt△AOE中計算OE，在Rt△CEF中計算EF.四邊形OADE中，∠OAD=60°，有∠OED=120°，得∠CEF=60°，所以EF=3;又△AOE≌△ADE，所以∠AEO=60°，所以O(shè)E=233，所以O(shè)F=233+3=533=m.

說明 由AB逆轉(zhuǎn)60°想到構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似（手拉手）基本圖形可得三角形全等，從而求得特殊角的度數(shù).由∠ABC=60°，∠AEC=60°，可知A，C，B，E四點共圓.因此可以直接作△ABC的外接圓將60°角轉(zhuǎn)移.

思路四 作外接圓

如圖6，作△ABC的外接圓交x軸于點D，則∠ADC=∠ABC=60°，∠BAC=∠BDC=60°.下面計算OE的長：在Rt△CED中，DE=3;在Rt△AOD中，由OD=233得出OE=533.這種方法用外接圓將60°角轉(zhuǎn)移，將已知條件OA=2和CE=3放進(jìn)直角三角形中直接應(yīng)用.

根據(jù)∠BAC=60°想到構(gòu)一線三等角的輔助線容易做，由∠ABC=60°想到作外接圓的輔助線不易想，主要想法來源就是將60°轉(zhuǎn)移后與CE=3構(gòu)造直角三角形，此時恰巧∠ADO也為60°.但是，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為任意角α?xí)r，則∠ADO與∠CDE不一定相等，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為任意角α?xí)r，又會出現(xiàn)什么情況呢？

3 原題推廣

如圖7，將A的坐標(biāo)改為（0，y1），C的坐標(biāo)改為（m，y2），當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為α?xí)r，根據(jù)作外接圓的方法可用y1和y2表示出m的值.

在Rt△AOD中，tan（90°-12α）=y1OD，OD=y1tan（90°-12α）;在Rt△CDF中，tanα=y2DF，DF=y2tanα.m=OD+DF=y1tan（90°-12α）+y2tanα.

說明 對于如此優(yōu)秀又有探索價值的中考原題，我們不應(yīng)求出其正確答案就淺嘗輒止，還應(yīng)在原題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探索、推廣、拓展，除將原題中的數(shù)據(jù)一般化處理外，還可以改變問題的設(shè)問背景，比如將其改編為一道尺規(guī)作圖題，從而提出新的問題.

4 提出新問題

如圖8，可將問題變化為尺規(guī)作圖問題：在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，2）為定點，y=3為定線，點B在x軸正半軸上且坐標(biāo)未知，尺規(guī)作出AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°角后的對應(yīng)點C，使點C落在y=3上.

這個尺規(guī)作圖還是具有一定的難度，從課本中出現(xiàn)的基本尺規(guī)作圖難以找到思路，但是前文思路三中旋轉(zhuǎn)相似（手拉手）的解題思路給了我們啟發(fā)，可以先作出OA為邊長的正三角形，根據(jù)手拉手的方法作出規(guī)定的圖形.

作法 如圖8，在第一象限內(nèi)尺規(guī)作出正三角形OAD，過點D作AD的垂線交直線y=3于點C，連接DC，在x軸上截取OB=DC，則點B就是求作的點.

證明 因為AO=AD，∠AOB=∠ADC=90°，OB=DC，所以△AOB≌△ADC，所以∠OAB=∠DAC，AB=AC，因為∠OAD=60°，所以∠BAC=60°.

根據(jù)尺規(guī)作圖過程可知，要作出正△ABC，確定x軸上點B的位置是關(guān)鍵，那么OB的長究竟是多少呢？根據(jù)尺規(guī)作圖過程可以知道OB=CD，求出CD的長度即可.

尺規(guī)作圖的過程是根據(jù)前文圖5中的思路得來的，可以在圖5中計算，在圖5中，CE=23，DE=OE=233，故CD=433=OB.

5 教學(xué)啟發(fā)5.1 提高基本圖形的構(gòu)造能力

從前文探索思路可以看出構(gòu)造出基本圖形在解決問題過程中起到了關(guān)鍵作用，欲構(gòu)造基本圖形，需先識別常見的基本圖形.常見的基本圖形在教學(xué)中不僅要讓學(xué)生知道結(jié)論還要讓學(xué)生知道結(jié)論的來源及基本圖形的各種變化形式，只有對基本圖形爛熟于心，才能在圖形殘缺或條件不足時構(gòu)造出基本圖形.例如前文中的構(gòu)造同一直線上的3個60°角，同一直線上的3個90°角，旋轉(zhuǎn)相似（手拉手）基本圖形.5.2 培養(yǎng)提出新問題的習(xí)慣

問題提出（提出問題）在學(xué)術(shù)界不是一件新鮮事，但在實際教學(xué)中的應(yīng)用卻不甚廣泛，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，對于如何提出新問題，一部分教師也不甚了解，多種文獻(xiàn)表明提出新的問題有多種方法[1].例如，可以改變原問題的條件：前文中將（0，2）變化成（0，y1），將（m，3）變化成（m，y2）后，探索問題中隱藏的一般性規(guī)律;可以改變原問題的背景.前文中將問題變化為尺規(guī)作圖問題;可以條件結(jié)論互換，等等.

總之，在教學(xué)中，對中考原題進(jìn)行多維度的、全方面的探索，不僅可以鍛煉學(xué)生的思維，拓寬學(xué)生的視野，對教師數(shù)學(xué)思維的提升也是不無裨益的.

參考文獻(xiàn)

[1]聶必凱，汪秉彝，呂傳漢.關(guān)于數(shù)學(xué)問題提出的若干思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2003，12（3）：24.

作者簡介

張小川（1984—），男，山東高青人，淄博名師工程建設(shè)人選;主要研究初中數(shù)學(xué)教學(xué);發(fā)表多篇文章.董濤（1979—），男，山東高青人;主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué);發(fā)表多篇文章.

基金項目 高青縣2021年度“十四五”規(guī)劃課題“‘雙減視域下初中數(shù)學(xué)作業(yè)增質(zhì)行動研究”（課題編號：2021GQKT03）.