俞衛(wèi)勝+易良斌
【摘要】初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課,如果教師能夠從一道題目(一般是課本例習(xí)題,中考試題)出發(fā),開放性地設(shè)計問題,鼓勵學(xué)生從多角度解決問題,并嘗試讓學(xué)生自主編題,提出問題,同時關(guān)注學(xué)情,動態(tài)生成,讓課堂更加自然,流暢.在這樣一條復(fù)習(xí)主線下,提煉解題策略,挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì),注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透.真正讓數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課成為學(xué)生的主陣地,走出“題海戰(zhàn)術(shù)”的陰影,追求簡約卻不簡單的課堂,還學(xué)生時空,體現(xiàn)“一題一課”的價值,真正凸顯“以生為本”的教學(xué)理念.
【關(guān)鍵詞】復(fù)習(xí)課;一題一課;以生為本
2016年5月13日,易良斌名師網(wǎng)絡(luò)工作室第十次線下研修活動在樂清市大荊鎮(zhèn)第一中學(xué)舉行,根據(jù)導(dǎo)師安排,筆者為全體與會教師演繹了一節(jié)“一題一課”復(fù)習(xí)課,以浙教版八下51矩形作業(yè)本的一道試題為素材,進行剖析,并拓展延伸.教學(xué)設(shè)計及教學(xué)組織得到了大家的一致好評.為此,筆者把本次課堂教學(xué)實錄整理成文,與廣大同仁分享,也歡迎批評指正.
學(xué)情分析:
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》指出:數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生認知發(fā)展水平和已有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上.增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力,在教學(xué)過程中注重動態(tài)生成的資源,進而提高教學(xué)有效性.針對九年級學(xué)生,學(xué)生已經(jīng)具備了初中相關(guān)的知識,但對壓軸題是如何從一道簡單的題目演變的缺少一定的體驗過程,同時缺少主動提問的意識.
教學(xué)目標:
1.通過觀察原圖的一個特殊三角形,兩個三角形的特殊關(guān)系,進一步理解折疊的本質(zhì),并挖掘圖中折線與隱藏線的關(guān)系.
2.會利用勾股定理、相似、三角函數(shù)等知識解決相關(guān)線段(角,面積)問題.
3.在解決問題過程中,經(jīng)歷從特殊到一般,從靜到動的思維方法,體驗數(shù)形結(jié)合,方程,分類討論等數(shù)學(xué)思想方法,激發(fā)勇于探索的精神,并嘗試提出問題.
重點和難點:
教學(xué)重點:折疊的本質(zhì)以及動點問題中隱性的不變量.
教學(xué)難點:嘗試提出問題及最后動圓問題.
教學(xué)過程
一、原題呈現(xiàn),深入挖掘
師:今天這節(jié)課,就從作業(yè)本中的一道習(xí)題進行剖析,挖掘題中隱含的信息,并在此基礎(chǔ)上拓展,延伸.
【原題】浙教版(八下數(shù)學(xué)作業(yè)本51矩形)
如圖1,將矩形紙片ABCD沿對角線BD對折,使點C落在C′處,BC′交AD于點E,已知∠DBC=30°.
(1)求∠ADC′的度數(shù).(2)求證AE=EC′.
問題:如圖1,將矩形紙片ABCD沿對角線BD對折,使點C落在點C′處,BC′交AD于點E.請問:圖中有哪些特殊的三角形?
生1:Rt△BCD,Rt△BC′D,Rt△ABD,Rt△ABE,Rt△DEC′.
師(追問):△BC′D為什么是Rt△?
生1:因為∠C折過去與∠C′重合,所以∠C=∠C′=90°,即△BC′D是Rt△.
師:生1講得太好了,那還有其它特殊的三角形嗎?
生2:我發(fā)現(xiàn)△BDE為等腰三角形.
師(充滿期待的眼神):說說你的理由?
生2:(為了敘述方便)用∠1,∠2,∠3標記圖中的角.由折疊過去BC與BC′重合得∠1=∠2.由AD∥BC得∠1=∠3.所以∠2=∠3,即△BDE為等腰三角形.圖2
師:生2思路很清晰,其實在這里你挖掘了圖中隱含的一個基本圖形.
(師順手板書,并將這個基本圖形進一步延伸,如圖2)
問題:如圖1,剛才你們發(fā)現(xiàn)了一些特殊的三角形,那兩個三角形間又有怎樣的關(guān)系呢?
生3(興奮的):小的兩個直角三角形全等,大的三個三角形都全等.
師:你觀察得很仔細,請問Rt△BCD與Rt△BC′D為什么全等?
生3:由折疊可知,△BCD與△BC′D重合,即兩個三角形全等.
(此時教師及時板書,提煉折疊的本質(zhì))
師:在圖中,還能發(fā)現(xiàn)與折痕BD有關(guān)系的一些隱藏的線段嗎?
生4:AC′∥BD.
生5:AC與BD相等且互相平分.
生6:由C與C′關(guān)于BD對稱,可知BD垂直平分CC′.
師:(用欣賞的眼神看著剛才的三位同學(xué))你們很聰明,擁有一雙慧眼,對于折疊問題,連接兩個對稱點是一種常見輔助線的添法.
師:大家很了不起,能挖掘這么多有用的東西.那如果∠CBD=30°,你能求出其它角的度數(shù)嗎?
生(眾):能,這個簡單.
師:那邊能求呢?
生7:好像不能,但若給我邊的值就可以了,比如BC=4,CD=3.
師:生7很厲害,自己給出了條件,那根據(jù)生7給的條件,我們能求出哪些邊的長度.
生8(迫不及待):BD=5,AC′=4.C′D=3,AD=4.
師:還有嗎?(此時學(xué)生無聲了)那BE等于多少?
(一分鐘后)
生9:設(shè)AE=x,則C′E=AE=x,DE=4-x,在Rt三角形DEC′中,由勾股定理得C′E2+C′D2=DE2,即x2+32=(4-x)2,得x=78.
師:生9通過勾股定理建立方程,求出了AE,也可得到BE=258.
(此時教師及時板書,并提煉基本圖形:(并強調(diào)有時無法直接計算時,不妨用方程思想解決)
點評從教材作業(yè)本的一道題出發(fā),低起點,入口寬,高立意,能激發(fā)學(xué)生探究的興趣.引導(dǎo)學(xué)生從一個三角形,兩個三角形的關(guān)系角度揭示折疊的本質(zhì),并挖掘隱藏在圖形中的數(shù)量和位置關(guān)系.通過求角,線段的長度,關(guān)注學(xué)生,動態(tài)生成,不僅為過渡自然,銜接緊湊,也為最后動圓問題的解決作鋪墊.
二、嘗試提問,培養(yǎng)意識
師:剛才折痕BD很特殊,現(xiàn)將其中一點動起來,出示題干.
問題:如圖3,在矩形ABCD中,BC=4,CD=3.點Q是CD上的一個
動點,現(xiàn)將△BCQ沿直線BQ折疊,使得C落在點C′處.)
此時,教師借助幾何畫板,將點Q在DC上動起來,然后請學(xué)生觀察.
師:當點Q運動時,針對△BCQ和△BC′Q這兩個三角形,哪些變,哪些不變?
(此刻,學(xué)生們?nèi)褙炞ⅲ荚谟^察變與不變的量)
生10:我發(fā)現(xiàn)BC′,C′Q在變.
師(面對生10的回答,不慌不忙,而把話鋒轉(zhuǎn)向其他同學(xué)):生10說BC′在變,你們有不同想法嗎?
(正當其他同學(xué)想要回答時,此時生10突然意識到問題了)
生10(豁然開朗):BC′是不變的,由折疊可知BC′=BC,而BC是不變的.
生11:我發(fā)現(xiàn)BQ在變,∠CBQ,∠C′BQ都在變.
生12:我發(fā)現(xiàn)∠CBQ=∠C′BQ,△CBQ≌△C′BQ一直成立.
師:同學(xué)們不僅發(fā)現(xiàn)了邊,角中變與不變的量,也發(fā)現(xiàn)了角與角,三角形與三角形的關(guān)系的不變量.
師:當點Q運動時,請你提出幾個可探究的問題.
(給予學(xué)生2分鐘,讓學(xué)生講問題寫在紙上,教師巡視,不時與學(xué)生交流討論,并借用愛因斯坦的話:“提出問題比解決問題更重要.”鼓勵學(xué)生,增強自信)
生13:當Q在運動過程中,△BC′Q的面積取值范圍.
生14:當DQ為多少時,點C′恰好落在AD上.
生15:當Q在運動過程中,點C′所經(jīng)過的軌跡,求這個軌跡的長度.
生16:當DQ為多少時,點C′落在BD上.
師:相信大家還有很多問題,這里不一一呈現(xiàn)了.能否對剛才這4位同學(xué)提的問題分分類呢?
生17:我覺得生13,生15的問題分為一類,都是求面積、長度.生14和生16的問題分為一類,都是涉及點C′的位置.
師(欣賞的眼神):你的分類從數(shù)、形兩方面進行了提煉,給我們提出問題提供了方向.(師及時板書)
師:現(xiàn)將我們班分4組,每組完成一個問題,第一組為生11提出的問題,第二組…
(教師巡視,不時與學(xué)生交流,同時生生之間也相互交流,產(chǎn)生思維的碰撞,過了3分鐘后)
生18(第一組代表):由折疊可知,△BC′Q≌△BCQ,而S△BCQ=12·BC·CQ,BC=4不變,CQ從在0∽3之間.圖4所以S△BCQ在0∽6的范圍內(nèi).
生19(第二組代表):如圖4,方法1:設(shè)DQ=x,則C′Q=3-x,而AC′=C′B2-AB2=42-32=7,所以C′D=4-7,在Rt△C′DQ中,由勾股定理得C′D2+DQ2=C′Q2,即(4-7)2+x2=(3-x)2得x=47-73.
正當生19坐下時,突然有一生站了起來,
生20:對于這個問題,我聯(lián)想到圖中隱藏的位置關(guān)系,
可連接CC′得CC′⊥BQ,則Rt△BCQ∽Rt△CC′D,
得CQBC=C′DCD,即3-x4=4-73得x=47-73.
師:生20很善于思考,能挖掘題中有用的資源.
生21(第三組代表):我們組發(fā)現(xiàn)點C′的軌跡是以B為圓心,BC為半徑的一段圓弧,但要求出這段圓弧的長度,有點難,因為∠CBC′不是一個特殊角,需要用計算器才能算出,只知思路,還沒算好.
生22(第四組代表):如圖5,由折疊可得BC′=BC=4,
而BD=5,在Rt△DC′Q中,
C′D2+C′Q2=DQ2,即1+(3-x)2=x2,解得x=53.
追問:誰來說說解決此類問題都用到了哪些方法?
生23:勾股定理,方程,相似,三角函數(shù)等知識.(板書)
點評將點動起來,利用幾何畫板,給予學(xué)生充分時間觀察動態(tài)問題中變與不變的量,特別是挖掘動中不變的量.在動的過程中,嘗試讓學(xué)生提出問題,培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力,讓學(xué)生對提的問題進行分類,引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)、形(外,上,內(nèi))兩方面進行提問,為以后更好地思考問題提供了方向.通過小組合作,師生交流,生生交流等方式,讓不同的思維進行激烈的碰撞,使得一題多解得以綻放.此環(huán)節(jié),滲透了方程思想,數(shù)形結(jié)合思想,化動為靜等數(shù)學(xué)思想方法.
三、綜合動圓,探究相切
師:剛才一個點動,現(xiàn)動兩個點,且這兩個點是關(guān)聯(lián)的動點,出示問題:
問題:如圖6,在矩形ABCD中,BC=4,CD=3.Q是CD上的一個動點,過Q作PQ∥BD交BC于P,現(xiàn)將△PCD沿直線PQ折疊.使得C落在點C′處.
師:當點Q運動時,針對針對△PCQ和△PC′Q這兩個
三角形,哪些變,哪些不變?
生24:變的有各條邊,三角形大小.
生25:不變的有△PCQ≌△PC′Q.
師:這兩個三角形的內(nèi)角都不變,由PQ∥BD得∠CPQ=∠CBD.
生25:受您的啟發(fā),我發(fā)現(xiàn)∠CPC′=2∠CPQ也是不變的.
師:你們太厲害了,能發(fā)現(xiàn)這么多變與不變的量,剛才生24講邊變化,這里PC′不僅長度變化,而且位置也在改變,那現(xiàn)在以PC′為直徑作圓O,當點D動時,圓的大小位置也在變.你們想探究什么?
生(眾):圓與直線相切的問題.
師:看來我和大家的想法不謀而合.出示問題:
PC為何值時,圓O與矩形邊所在的直線相切?
師:針對這個問題,談?wù)勀愕淖畛跸敕ǎ?/p>
生26:我覺得要分類,因為矩形的邊,不知道是哪條邊.
師(追問):那你覺得要分幾類呢?
生26:分4類.圓O與AB相切,圓O與BC相切,圓O與CD相切,圓O與AD相切.(板書)
師:你很了不起,不僅知道要分類,而且還能準確地進行分類.
不妨先來看下圓O與AB相切的情況吧!對于圓與直線相切,你有什么經(jīng)驗?圖7
生27:圓心到直線的距離等于圓的半徑.
(教師順勢過O作AB的垂線段OH.如圖7)
(學(xué)生小組討論2分鐘后,然后紛紛展示自己的成果)
師:大家表現(xiàn)太精彩了,對于涉及分類討論的問題,
要先分類,若有些情況不符合的應(yīng)舍去.
點評此環(huán)節(jié),動圓的圓心,半徑均在改變,綜合性比較強.既要有圓與直線相切的知識經(jīng)驗儲備,又要挖掘變中不變的量,并與開始的基本圖形進行比較,體會它們內(nèi)在的聯(lián)系,這對學(xué)生來說是一種挑戰(zhàn).課中,通過層層鋪墊,適時啟發(fā),讓學(xué)生有種“跳一跳就能摘到果子”的樂趣,更好地激發(fā)學(xué)生進一步思考的欲望.學(xué)生的精神,思維,語言均參與其中,課堂達到了良好的教學(xué)效果.
四、課堂小結(jié),反思提升
師:通過這節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些收獲或困惑?
生28:明白了折疊的本質(zhì).
生29:感覺動點問題不變的量有點難發(fā)現(xiàn).
生30:領(lǐng)悟了解決有關(guān)動點問題的策略,需化動為靜.
師:大家感悟都很深,我們學(xué)習(xí)的本質(zhì),不在于記住多少知識,而在于它觸發(fā)了你的思考.對于兩個動點,除了平行關(guān)聯(lián),也可垂直關(guān)聯(lián),也可不關(guān)聯(lián).
問題:如圖8,在矩形ABCD中,BC=4,CD=3.且BE∶AE=1∶3,
點P是BC上的一個動點,連接PE,過P作PE⊥PQ交射線CD
于Q,現(xiàn)將△PCQ沿直線PQ折疊.使C′處.圖8
請問:是否存在點P,使得點C關(guān)于直線PQ的對稱點C′恰好落在邊AD上?若存在,求BP的值;若不存在,請說明理由.
話音剛落下,下課鈴聲響了……
點評以問題的形式出現(xiàn),引導(dǎo)學(xué)生思考,交流,梳理所學(xué)的知識,感悟數(shù)學(xué)的思想方法,使學(xué)生建立起符合自身認識特點的知識結(jié)構(gòu),養(yǎng)成及時歸納反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣.同時有利于提高學(xué)生的口頭表達能力和知識水平,促進數(shù)學(xué)思維的形成與發(fā)展.課后配置主要兩個變式訓(xùn)練,學(xué)生會利用已掌握的解題方法解決似曾相似的題目,既增加了解決問題的信心,同時又培養(yǎng)學(xué)生遷移思維的能力.
五、板書設(shè)計,凸顯本質(zhì)
點評此板書是一個動態(tài)過程,具有節(jié)奏性,即時性,生成性.教師有意識地將板書分為四個板塊:知識框圖——基本圖形——思想方法——提問視角.貫穿了整個教學(xué)活動的始終.彰顯了上課老師對本節(jié)課內(nèi)涵的深入挖掘.
另附(章建躍專家的評語):
本節(jié)課非常好地體現(xiàn)了“變式教學(xué)”的思想,從一個特殊問題背景出發(fā),經(jīng)過各種變化,使問題層層深入,營造的教學(xué)情境引人入勝,緊緊抓住了學(xué)生的注意力,不僅使學(xué)生學(xué)會解題,而且使學(xué)生體會“題目是怎么命出來的”.教師具有先進的教學(xué)觀,盡管問題的難度不低,但仍然注重全體學(xué)生的參與.如果都像本課這樣開展教學(xué),那么學(xué)生的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)會比較完善,數(shù)學(xué)思想方法的掌握也會很牢固,特別是發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力會比較強.
作者簡介俞衛(wèi)勝(1985—),男,浙江省樂清市人,中學(xué)一級教師.曾榮獲樂清巿教壇新秀,溫州市解題競賽一等獎,樂清市命題競賽一等獎,樂清市優(yōu)質(zhì)課一等獎.近幾年,參與多項教師小課題研究,多篇文章發(fā)表.