【摘 要】 本文通過(guò)正比例函數(shù)常數(shù)幾何意義的拓展、延伸，獲得一、二次函數(shù)常數(shù)新幾何意義，通過(guò)探尋新幾何意義的應(yīng)用依據(jù)和思考方法，展示過(guò)定點(diǎn)函數(shù)問(wèn)題、二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)經(jīng)過(guò)定直線和拋物線問(wèn)題的魅力，收獲十分有益的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

【關(guān)鍵字】 新幾何意義;定點(diǎn);定線;數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

我們知道，在函數(shù)中系數(shù)為常數(shù)時(shí)的幾何意義，但當(dāng)系數(shù)為任意常數(shù)時(shí)，又有怎樣的幾何意義呢？譬如，正比例函數(shù)y=kx（k≠0）無(wú)論k取何值，圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0），所有這些直線稱為過(guò)定點(diǎn)（0，0）的直線束，這就是系數(shù)字母k的新幾何意義，那么，對(duì)于一、二次函數(shù)的情形呢？下面給予探究與應(yīng)用.

1 新幾何意義

定義1 當(dāng)系數(shù)字母無(wú)論取何值，對(duì)應(yīng)函數(shù)值都不改變時(shí)，這個(gè)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)或兩點(diǎn)，這些點(diǎn)稱為該函數(shù)的定點(diǎn).

新幾何意義1 在一個(gè)平面內(nèi)，無(wú)論系數(shù)字母取何值，所有直線都經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，這些直線稱為定點(diǎn)直線束[1];類似地，無(wú)論系數(shù)字母取何值，所有拋物線都經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)或兩定點(diǎn)，這些拋物線稱為定點(diǎn)拋物線族[2].

定義2 當(dāng)系數(shù)字母無(wú)論取何值，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足一定函數(shù)關(guān)系式，稱這個(gè)函數(shù)圖象為定線.特別地，當(dāng)滿足一次函數(shù)關(guān)系時(shí)，這個(gè)圖象稱為定直線;當(dāng)滿足二次函數(shù)關(guān)系時(shí)，這個(gè)圖象稱為定拋物線.

新幾何意義2 在一個(gè)平面內(nèi)，無(wú)論系數(shù)字母取何值，拋物線頂點(diǎn)始終在一條直線或一條拋物線上，這些拋物線稱為定向拋物線族.

定義1和定義2中的“定”是不變的意思.

2 圖象過(guò)定點(diǎn)函數(shù)問(wèn)題

2.1 有關(guān)結(jié)論

結(jié)論 已知ax=0，若a取任意實(shí)數(shù)，則x=0.

證明：根據(jù)乘法法則，任何數(shù)乘以零，都等于零，所以結(jié)論成立.

推論 已知ax=b，若a為任意實(shí)數(shù)，則x=0且b=0.

證明：若b=0，由結(jié)論得x=0;若b≠0，則a≠0且x≠0.這與a為任意實(shí)數(shù)矛盾，說(shuō)明b≠0不成立.從而b=0，所以x=0.綜上，推論成立.

運(yùn)用上述結(jié)論，可以有效解決有關(guān)函數(shù)圖象定點(diǎn)問(wèn)題.

2.2 思考方法

①改變主元法：采取以系數(shù)字母為主元的方法先合并同類項(xiàng)，再依據(jù)結(jié)論或推論，可得有關(guān)結(jié)果，這是一種常用方法;

②特殊值法：依據(jù)定義，對(duì)系數(shù)字母取兩個(gè)特殊值，代入函數(shù)表達(dá)式，得到關(guān)于自變量和因變量的兩個(gè)二元一次方程，聯(lián)立解方程組，即可.

2.3 應(yīng)用舉例

從突出系數(shù)字母的主體地位，化無(wú)限為有限，實(shí)現(xiàn)從數(shù)到形的轉(zhuǎn)換.

2.3.1 過(guò)定點(diǎn)直線問(wèn)題

當(dāng)m的值變化時(shí)，x，y的值也隨之變化，因而y的值也隨x值的變化而變化.將（1）代入（2），得y=2x-1.可見(jiàn)，不論m取任何實(shí)數(shù)，拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y和橫坐標(biāo)x都滿足關(guān)系式：y=2x-1;根據(jù)閱讀材料提供的方法，確定拋物線y=x2-2mx+2m2-3m+1頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系式.

分析 把拋物線解析式配方成頂點(diǎn)式，再寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后消掉m整理即可得解y=x2-3x+1.

定點(diǎn)、定線函數(shù)問(wèn)題作為初中函數(shù)的拓展內(nèi)容，常以閱讀理解型問(wèn)題出現(xiàn)在考題中，對(duì)學(xué)生閱讀理解能力、應(yīng)用拓展能力能進(jìn)行有效考查，為將來(lái)高中更深入的學(xué)習(xí)和應(yīng)用奠基.

參考文獻(xiàn)

[1]張維強(qiáng).過(guò)定點(diǎn)的一類直線族方程的應(yīng)用探究[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2008（12）：30-32.

[2] 金關(guān)濤，程可.拋物線族y=a（m）x2+b（m）x+c（m）過(guò)定點(diǎn)的充要條件[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1985（03）：25-27

[3]姜強(qiáng)柱，孫筱倩.函數(shù)圖象的“兩定”問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)解題研究（初中版），2014（03）：15-16.

作者簡(jiǎn)介 李發(fā)勇（1964—），男，四川巴中人，中學(xué)高級(jí)教師;主要研究初中數(shù)學(xué)教學(xué);發(fā)表文章90余篇.