【摘 要】 文章以2022年北京市中考數(shù)學(xué)卷壓軸題為例，分析新定義題的價(jià)值和試題結(jié)構(gòu).通過(guò)對(duì)該壓軸題的剖析和解答，總結(jié)出解答新定義題的一般解題策略：邏輯推理突出幾何直觀，動(dòng)靜結(jié)合卡準(zhǔn)邊界位置.

【關(guān)鍵詞】 新定義題;解題策略;幾何直觀;邊界位置

新定義題是中考試卷中的一類特殊題型，一般是指在某種情境下借助新符號(hào)定義新運(yùn)算新法則，或給某種數(shù)學(xué)變換關(guān)系定義新概念等.要求考生現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)，解答新問(wèn)題.考查考生的閱讀、理解和遷移能力.

而北京市中考數(shù)學(xué)卷從2012年到2022年的11道新定義題則不同于通常意義下的新定義題，試題的立意、結(jié)構(gòu)、綜合性和試題功能等均有很大不同.這類新定義題不僅考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等重要的數(shù)學(xué)學(xué)科能力，還考查包括學(xué)習(xí)能力、探究能力等更普適性、對(duì)學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)都非常重要的能力[1].

下面以2022年北京市中考數(shù)學(xué)卷壓軸題第28題為例，談?wù)勗擃愒囶}的一般解題策略.

1 新定義題及其結(jié)構(gòu)

2022年北京市中考數(shù)學(xué)卷延續(xù)了用新定義題壓軸的試卷結(jié)構(gòu)，試題如下：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M（a，b），N.

對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義：將點(diǎn)P向右（a≥0）或向左（a<0）平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上（b≥0）或向下（b<0）平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)P′，點(diǎn)P′關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為Q，稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”.

（1）如圖1，點(diǎn)M（1，1），點(diǎn)N在線段OM的延長(zhǎng)線上.若點(diǎn)P（-2，0），點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”.

①在圖中畫(huà)出點(diǎn)Q;

②連接PQ，交線段ON于點(diǎn)T.求證：NT=12OM;

（2）⊙O的半徑為1，M是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，且ON=t（12

可以看出，這類新定義題屬于代數(shù)與幾何高度綜合題，試題包括題干（新概念的定義部分）和問(wèn)題（理解和運(yùn)用部分）.試題的命制均在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行，問(wèn)題部分一般包括起始問(wèn)題、臺(tái)階問(wèn)題和綜合問(wèn)題，具體結(jié)構(gòu)如下表1所示.

2 來(lái)自學(xué)生的反饋

新定義題備受命題者的青睞，學(xué)生對(duì)新定義題的態(tài)度如何呢？6月18日，筆者對(duì)我校畢業(yè)班學(xué)生進(jìn)行了“關(guān)于新定義題我是這么看”的問(wèn)卷調(diào)查.

第1題：你對(duì)新定義題（第28題）的態(tài)度（ ）.

A.非常喜歡 B.喜歡 C.談不到喜歡也不討厭D.不喜歡E.非常討厭

調(diào)查數(shù)據(jù)（圖2）表明，31%以上的學(xué)生表示不喜歡，甚至近10%的學(xué)生明確表示非常討厭這類題型，有超過(guò)79%的學(xué)生對(duì)新定義題沒(méi)有好感.第6道題的調(diào)查數(shù)據(jù)佐證了這個(gè)結(jié)果.

第6題：對(duì)于北京中考卷中的新定義題型，你認(rèn)為（ ）.

A.繼續(xù)保留B.無(wú)所謂C.應(yīng)該廢棄

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，近30%的學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該廢棄新定義題，如圖3.進(jìn)一步調(diào)查，支持“應(yīng)該廢棄”的前三條理由是：給我造成很大的心理壓力;浪費(fèi)時(shí)間，也得不了幾分;不知道考啥知識(shí).而這些理由的背后是學(xué)生們的一個(gè)共識(shí)——新定義題“一題一法，題無(wú)定法”.

因此，研究新定義題的一般解題策略有非常強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義——想學(xué)生之所急，研學(xué)生之所需.

3 一般解題策略

美國(guó)數(shù)學(xué)家M·克萊因在《古今數(shù)學(xué)思想（第四冊(cè)）》中論述：“數(shù)學(xué)的直觀，就是對(duì)概念、證明的直接把握.”德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特在《直觀幾何》一書(shū)中認(rèn)為：“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述所研究的問(wèn)題，可以幫助我們尋求解決問(wèn)題的思路，可以幫助我們理解、記憶得到的結(jié)構(gòu).”

以上強(qiáng)調(diào)幾何直觀的學(xué)術(shù)觀點(diǎn)可以指導(dǎo)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)研究數(shù)學(xué)，也可以指導(dǎo)我們解答新定義問(wèn)題：邏輯推理突出幾何直觀，動(dòng)靜結(jié)合卡準(zhǔn)邊界位置.

3.1 用筆讀題三遍

解答新定義題的第一關(guān)是數(shù)學(xué)閱讀，這也是一道心理關(guān).在有限的時(shí)間內(nèi)和緊張的氛圍下要求考生閱讀三四百字的試題，“不僅包括對(duì)數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖表語(yǔ)言的理解、記憶、認(rèn)知等過(guò)程，還包括對(duì)材料的邏輯結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析、綜合、歸納、推理、猜想等一系列思維過(guò)程，（數(shù)學(xué)閱讀）是區(qū)別于一般閱讀的較為復(fù)雜的智力活動(dòng).”[2]其難度可見(jiàn)一斑.

常言道，書(shū)讀百遍其義自見(jiàn).因此，我們建議學(xué)生平時(shí)養(yǎng)成“用筆讀題三遍”的習(xí)慣.

第一遍，通讀題干，初步了解題目涉及的幾何元素和大致的幾何變換過(guò)程.比如，點(diǎn)M，N，點(diǎn)P平移得到P′，點(diǎn)P′關(guān)于點(diǎn)N對(duì)稱得到點(diǎn)Q，等.

第二遍，研讀新定義，用筆圈點(diǎn)關(guān)鍵信息，弄清幾何元素如何變換，怎樣建立什么關(guān)系，新概念的含義和記號(hào)等.比如，點(diǎn)P平移得P′，點(diǎn)P在哪兒，和日常所學(xué)的平移含義相同嗎？平移的方向和大小受誰(shuí)制約？點(diǎn)P′關(guān)于點(diǎn)N對(duì)稱得到點(diǎn)Q，點(diǎn)N在哪兒？誰(shuí)和誰(shuí)是“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”？此題“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”有什么具體含義？等等.需要考生反復(fù)閱讀，這個(gè)過(guò)程最好畫(huà)畫(huà)草圖，如圖4，建立幾何直觀，使新定義可視化.

第三遍，跳讀題干，厘清幾何變換關(guān)系，明確幾何變換過(guò)程，整體上明晰新定義的幾何模型.比如，給定點(diǎn)P，根據(jù)點(diǎn)M平移得點(diǎn)P′，點(diǎn)P′關(guān)于給定的點(diǎn)N對(duì)稱得點(diǎn)Q，稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”.此時(shí)，可以提煉出新定義的關(guān)系圖（如圖5）.

3.2 試做起始問(wèn)題

起始問(wèn)題是對(duì)新概念的具體辨析和直接應(yīng)用，引導(dǎo)考生把抽象的新概念和變換關(guān)系具體操作一遍，促進(jìn)對(duì)新定義的理解，建立幾何直觀模型.

問(wèn)題（1）以如圖和坐標(biāo)的形式給出點(diǎn)M（1，1）和P（-2，0），至于點(diǎn)N的坐標(biāo)是不是（2，2），所給圖形雖然有網(wǎng)格襯托，但并沒(méi)有說(shuō)明點(diǎn)N在格點(diǎn)（當(dāng)然，格點(diǎn)也需要定義）上，所以，考生可以認(rèn)為N（2，2），這樣更方便畫(huà)出P′（-1，1），Q（5，3），完成起始問(wèn)題（1）①，如圖6.

事實(shí)上，起始問(wèn)題的命制目的應(yīng)該不是描點(diǎn)畫(huà)圖，而是有尺規(guī)作圖的味道，當(dāng)然，此題無(wú)需尺規(guī)作圖.（近幾年的北京中考卷都有一道尺規(guī)作圖題（第20題），而今年換成了證明三角形內(nèi)角和定理（第20題）.命題人是不是想借此彌補(bǔ)尺規(guī)作圖呢？）

根據(jù)題意，PP′∥OM，且PP′=OM，P′，N，Q三點(diǎn)共線，且P′N=NQ.題中蘊(yùn)含平行四邊形PP′MO和線段P′Q的中點(diǎn)N.這為解答臺(tái)階問(wèn)題做好了準(zhǔn)備.

3.3 解答臺(tái)階問(wèn)題

臺(tái)階問(wèn)題是對(duì)起始問(wèn)題的橫向拓展或縱向拓展，也是為探究最后的綜合問(wèn)題做好鋪墊，起到登堂入室的臺(tái)階作用.因此，解答臺(tái)階問(wèn)題不能為了解題而解答，而應(yīng)該是在解答的過(guò)程中思考并提煉一些方法和結(jié)論，總結(jié)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而在綜合問(wèn)題中遷移運(yùn)用.

臺(tái)階問(wèn)題（1）②在起始問(wèn)題①的基礎(chǔ)上繼續(xù)構(gòu)圖和探討，如圖7，根據(jù)題意又構(gòu)造出△PP′Q及其一條中位線NT.

如何證明PP′∥OM呢？可以根據(jù)平移的性質(zhì)，幾何直觀得到PP′∥OM;更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评韯t過(guò)點(diǎn)P′，M作x軸的垂線，構(gòu)造分別以PP′和OM為斜邊、以1為直角邊長(zhǎng)度的等腰直角三角形，由兩三角形全等得同位角∠P′PO=∠MOx，判定PP′∥OM，且PP′=OM，進(jìn)而得PP′∥ON.

由對(duì)稱變換知N是線段P′Q的中點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例的基本事實(shí)知T是線段PQ的中點(diǎn)，即線段NT是△PP′Q的一條中位線，所以NT=12PP′=12OM.

根據(jù)對(duì)臺(tái)階問(wèn)題的解答，我們更加清楚了點(diǎn)P只要不在直線OM上，“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”模型中N，T分別是線段P′Q，PQ的中點(diǎn)，包括NT=12OM等都沒(méi)有變化.還有，我們進(jìn)一步明確了尋找“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”Q的過(guò)程，M是主動(dòng)點(diǎn)，P′是從動(dòng)點(diǎn)，而“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”Q又是受點(diǎn)N影響的從動(dòng)點(diǎn).

整個(gè)解答過(guò)程，分析的基本方法是按照題意有序構(gòu)造幾何關(guān)系，探究的基本依據(jù)是平移變換、對(duì)稱變換和平行線分線段成比例.我們帶著這些基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解答綜合問(wèn)題.

3.4 攻克綜合問(wèn)題

綜合問(wèn)題的命制通常是對(duì)臺(tái)階問(wèn)題的一般化，讓一些元素動(dòng)起來(lái)（點(diǎn)M在⊙O上動(dòng)，點(diǎn)N在線段OM上動(dòng)，點(diǎn)P的位置也不確定了），增加了很多“不確定”因素.

此時(shí)，需要考生調(diào)整一下疲勞的身心，伸伸懶腰，做個(gè)深呼吸，靜下心來(lái)再次集中精力對(duì)綜合問(wèn)題“用筆讀題三遍”，明確哪些幾何元素或關(guān)系變化了，哪些沒(méi)有變化，能否和臺(tái)階問(wèn)題關(guān)聯(lián)上，等等.好在綜合問(wèn)題一般都是要求直接寫(xiě)出答案，需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理，但不需要規(guī)范的步驟書(shū)寫(xiě)，此時(shí)，動(dòng)靜結(jié)合卡邊界就至關(guān)重要.

第一步，明確“不確定”，分析特殊情況，試著畫(huà)畫(huà)圖.

為方便畫(huà)圖，減少不必要的不確定因素的干擾，我們不妨把沒(méi)有限制的元素取特殊但又不失一般性的位置，比如點(diǎn)P（-3，0），此時(shí)可以考慮點(diǎn)N的兩個(gè)特殊位置.

因?yàn)镺N=t（12

第二步，動(dòng)靜結(jié)合，卡準(zhǔn)邊界，確定最值位置.

我們已經(jīng)通過(guò)有序的推理和構(gòu)造把“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”模型以及相關(guān)關(guān)系直觀化了.連接PQ交半徑OM于點(diǎn)S，當(dāng)點(diǎn)M在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)P′和Q分別在⊙P，⊙R上運(yùn)動(dòng)，在動(dòng)態(tài)分析中卡準(zhǔn)點(diǎn)Q與點(diǎn)P和點(diǎn)R共線時(shí)的邊界狀態(tài)，此時(shí)PQ取得最值（最值對(duì)應(yīng)的位置往往都是唯一的），所以（PQ）max-（PQ）min=PR+RQ-（PR-RQ）=2RQ.或者也可以考慮△PRQ三邊的關(guān)系和邊界位置得到不等式PR-RQ≤PQ≤PR+RQ，即（PQ）max-（PQ）min=2RQ.

第三步，利用好臺(tái)階問(wèn)題，借步作答，準(zhǔn)確運(yùn)算.

如何求⊙R（實(shí)線圓）的半徑呢？如果考生掌握梯形中位線的知識(shí)，求解非常快捷：RQ+PP′=2ON，RQ=2t-1.不用梯形中位線，兩次利用三角形中位線推導(dǎo)也不復(fù)雜：在△QPP′中，NS=12PP′=12，則OS=ON-NS=t-12.在△PRQ中，RQ=2OS=2t-1，所以（PQ）max-（PQ）min=2RQ=4t-2.

至此，針對(duì)于考試算是解答完畢.但對(duì)于該題還有很多問(wèn)題可以繼續(xù)思考，包括作為解答題如何嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的書(shū)寫(xiě)解題步驟，除了上述PP′∥OM的嚴(yán)格證明，還有點(diǎn)P′和點(diǎn)Q的軌跡為什么是圓？點(diǎn)P的位置一般化時(shí)對(duì)⊙R有何影響？又為什么對(duì)試題的結(jié)果沒(méi)有影響？還有什么解答思路？該題蘊(yùn)含的思想方法能否一般化，等等.

4 結(jié)束語(yǔ)

東北師大史寧中教授多次強(qiáng)調(diào)：在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是通過(guò)觀察最先猜出來(lái)的，而不是“證”出來(lái)的，數(shù)學(xué)學(xué)科中，對(duì)于結(jié)果的預(yù)測(cè)和對(duì)于原因的探究，起步階段依賴的都是直觀.新頒發(fā)的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》認(rèn)為“幾何直觀有助于把握問(wèn)題的本質(zhì)，明晰思維的路徑”，要養(yǎng)成“運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣”.《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》則要求學(xué)生能夠在各種情境（熟悉的、關(guān)聯(lián)的、綜合的）通過(guò)幾何直觀提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，并能直觀表達(dá)，體會(huì)幾何直觀的作用和意義.可見(jiàn)，幾何直觀是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力，當(dāng)然也是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題（尤其是新定義問(wèn)題）的首要意識(shí).

最后，我們用流程圖的形式直觀表達(dá)解答新定義問(wèn)題的一般策略，如圖9.

解答新定義題的總策略是緊扣新概念，聯(lián)系老知識(shí)，運(yùn)用常規(guī)方法，在邏輯推理下突出幾何直觀（邏輯加直觀），在可變幾何元素的動(dòng)態(tài)變化中尋找邊界位置（動(dòng)靜卡邊界）.

具體操作：（1）用筆讀題三遍，畫(huà)出新定義（幾何元素間的變化過(guò)程和建立的關(guān)系）;

（2）比葫蘆畫(huà)瓢，回答起始問(wèn)題.回顧新定義，直觀化理解新概念;

（3）重視臺(tái)階問(wèn)題，總結(jié)新定義背景下的思想方法和新結(jié)論，搭建腳手架;

（4）現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣，動(dòng)靜結(jié)合，逐層拆解分析，運(yùn)用新方法新結(jié)論攻克綜合問(wèn)題.

我們常說(shuō)“無(wú)圓不幾何”，對(duì)于北京市中考卷新定義題則有“無(wú)圓不新定義”的解題經(jīng)驗(yàn)，最后的綜合問(wèn)題一般落腳點(diǎn)都是圓或圓弧.這也是上述調(diào)查中最后一題學(xué)生回答使用頻率最高的詞語(yǔ).

參考文獻(xiàn)

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[5]中華人民共和國(guó)教育部.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

作者簡(jiǎn)介

史嘉（1980—），男，安徽亳州人，中學(xué)高級(jí)教師;獲第七屆全國(guó)高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課展示活動(dòng)一等獎(jiǎng)，主持并完成省級(jí)教育科學(xué)規(guī)劃課題兩項(xiàng);發(fā)表文章多篇.