程廣

十進(jìn)位值制記數(shù)法包括“十進(jìn)制”與“位值制”兩條原則。這種記數(shù)法的本質(zhì)特征是省略記數(shù)單位，可以給多位數(shù)的認(rèn)識(shí)和計(jì)算帶來根本性的改進(jìn)。日常教學(xué)中，如何幫助學(xué)生更好地理解十進(jìn)位值制記數(shù)法及其價(jià)值？如何運(yùn)用位值制思想幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)大數(shù)，實(shí)現(xiàn)算理、算法的深度理解？本期我們來討論上述問題。

“位值”是一個(gè)抽象的概念。能否深刻理解位值制的基本意義，并在此基礎(chǔ)上建構(gòu)位值模型，直接影響學(xué)生對(duì)數(shù)的整體認(rèn)識(shí)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算原理的理解。筆者結(jié)合北師大版數(shù)學(xué)教材，談一談如何引導(dǎo)學(xué)生整體建構(gòu)十進(jìn)位值制。

一、借助實(shí)物操作，初步建構(gòu)位值概念

教師提供可操作的實(shí)物輔助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)，對(duì)于學(xué)生理解數(shù)的概念十分必要。在教學(xué)《古人計(jì)數(shù)》（11～20的認(rèn)識(shí)）時(shí)，筆者讓學(xué)生經(jīng)歷了由借助小棒數(shù)數(shù)到借助計(jì)數(shù)器數(shù)數(shù)的過程，使學(xué)生在動(dòng)手操作中感知位值制，建立初步的位值模型。

課堂上，筆者首先利用課件播放從羊圈里放出11只羊的情景，引導(dǎo)學(xué)生擺出11根小棒，并要求學(xué)生盡量讓人一眼就能看出擺了多少根。實(shí)踐中，有的學(xué)生在左邊均勻地?cái)[出10根，在右邊再擺1根;有的學(xué)生擺出兩組5根，再加1根;還有的學(xué)生把10根聚成一堆或捆成一捆，旁邊再擺1根。筆者一一展示后提問：你覺得哪種擺法能讓人一眼看出是11根？學(xué)生回答：把10根捆成一捆、再額外擺1根的方法最容易看出是11根。筆者小結(jié)：小棒沒有被捆起來的時(shí)候表示10個(gè)一，“10個(gè)一”捆成1捆后就變成了“1個(gè)十”，也就是說，10個(gè)一即1個(gè)十。接著，筆者讓學(xué)生動(dòng)手操作，將手中的小棒數(shù)一數(shù)、捆一捆、擺一擺，再和同桌交流擺小棒的過程。在捆、說的過程中，學(xué)生充分認(rèn)知到10個(gè)一是1個(gè)十。然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)數(shù)器表征11。學(xué)生呈現(xiàn)以下兩種方法（如下圖）。筆者追問：這兩種撥法，你覺得哪一種是對(duì)的？一名學(xué)生回答：我覺得方法1是對(duì)的，左邊有10顆珠子，右邊有1顆珠子，合起來是11顆珠子。另一名學(xué)生反駁：我覺得方法2是對(duì)的，因?yàn)橛?jì)數(shù)器上寫著“個(gè)位”和“十位”，個(gè)位上的1顆珠子代表1個(gè)一，十位上用1顆珠子就能代表1個(gè)十，而不是用10顆珠子。筆者小結(jié)：計(jì)數(shù)器十位上的1顆珠子表示1個(gè)十，相當(dāng)于1捆小棒;個(gè)位上的1顆珠子表示1個(gè)一，相當(dāng)于1根小棒。最后，筆者提問：計(jì)數(shù)器中，同樣是1顆珠子，在不同的數(shù)位上表示的意義一樣嗎？學(xué)生回答：不一樣，十位上的1顆珠子表示1個(gè)十，個(gè)位上的1顆珠子表示1個(gè)一。學(xué)生明白了數(shù)的位置不同，其意義也不同的道理。

10及10以內(nèi)數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生是運(yùn)用“一一對(duì)應(yīng)”的思想逐一計(jì)數(shù)的，但到了20及20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，學(xué)生開始由逐一計(jì)數(shù)過渡到按群計(jì)數(shù)。教師讓學(xué)生通過直觀操作理解“10個(gè)一就是1個(gè)十”，使學(xué)生將1捆小棒與計(jì)數(shù)器十位上的1顆珠子對(duì)應(yīng)起來，初步體會(huì)位值的含義。

二、由具體到抽象，深化理解位值概念

有了認(rèn)識(shí)20以內(nèi)數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，在教學(xué)100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)，筆者讓學(xué)生再次進(jìn)行直觀操作——撥一撥計(jì)數(shù)器，旨在深化學(xué)生對(duì)位值制的理解。

教材通過“數(shù)豆子”的活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生先撥出28、22等數(shù)，再讓學(xué)生撥出99。如何撥出99呢？學(xué)生提出先在十位上撥9顆珠子表示9個(gè)十，再在個(gè)位上撥9顆珠子表示9個(gè)一，合起來就是99。筆者追問：兩個(gè)“9”的意思一樣嗎？學(xué)生分析：十位上的9表示9個(gè)十，個(gè)位上的9表示9個(gè)一，兩個(gè)“9”表示的意思不同。筆者追問：如果再增加1個(gè)，該怎樣撥？學(xué)生不加思索地回答：在個(gè)位上再撥1顆珠子。筆者按照學(xué)生說的撥出來，并提問：你們有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生思考后回答：個(gè)位上再撥1顆后，就有了10個(gè)一，10個(gè)一是1個(gè)十，就要將個(gè)位上的10顆珠子撥走，換成十位上的1顆珠子。筆者根據(jù)學(xué)生說的進(jìn)行操作后追問：你們還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？學(xué)生馬上發(fā)現(xiàn)十位上添上1顆珠子（1個(gè)十）后，它與原本的9個(gè)十合成了10個(gè)十，10個(gè)十就是1個(gè)百，又要將十位上的10顆珠子撥走，換成百位上的1顆珠子。學(xué)生在撥99再加1的過程中弄清了“10個(gè)十是100”，進(jìn)一步體會(huì)到“同一個(gè)數(shù)字在不同的數(shù)位上表示的意義不同”，深化了對(duì)計(jì)數(shù)單位及“十進(jìn)”關(guān)系的理解。

后續(xù)教學(xué)中，筆者給學(xué)生布置了兩道思考題。第一道題是給出兩顆珠子，問學(xué)生可以表示哪些數(shù)。學(xué)生馬上想到可以表示11。筆者追問這兩顆珠子放在哪里、表示什么。學(xué)生回答“1顆珠子放在十位上，表示1個(gè)十，另1顆珠子放在個(gè)位上，表示1個(gè)一，合起來是11”。筆者提示：這兩顆珠子只能這樣放嗎？一名學(xué)生說：可以將這兩顆珠子都放在個(gè)位上，表示2個(gè)一，就是2。另一名學(xué)生說：可以將這兩顆珠子都放在十位上，表示2個(gè)十，即20。第二道題是給出5顆珠子，問學(xué)生可以表示哪些數(shù)。學(xué)生有了解決上一題的經(jīng)驗(yàn)，分別說出可以表示5、14、23、32、41、50這些數(shù)，并說出了每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字所表示的意思，內(nèi)化了位值概念。

三、由簡(jiǎn)及繁，整體建構(gòu)十進(jìn)位值制

學(xué)生有了上述學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，教師在教學(xué)“萬以及萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，就可以直接用多媒體呈現(xiàn)計(jì)數(shù)器、小方塊的圖像，用抽象的學(xué)具引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新的數(shù)位，進(jìn)而認(rèn)識(shí)十進(jìn)制數(shù)位順序表，整理出由一（個(gè)）、十、百、千、萬、十萬、百萬等計(jì)數(shù)單位組成的計(jì)數(shù)系統(tǒng)。

課堂上，筆者借助多媒體一邊引導(dǎo)學(xué)生快速、有序地?cái)?shù)出小方塊的個(gè)數(shù)，一邊動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)一（個(gè)）、十、百、千、萬等計(jì)數(shù)單位的形成過程（如下圖）。學(xué)生在多次有序數(shù)數(shù)的過程中，自然而然地明白了10個(gè)一是十、10個(gè)十是一百、10個(gè)一百是一千、10個(gè)一千是一萬，進(jìn)一步體會(huì)到計(jì)數(shù)單位之間的十進(jìn)關(guān)系。

在教學(xué)更大的數(shù)時(shí)，筆者借助多媒體呈現(xiàn)計(jì)數(shù)器，讓學(xué)生跟隨撥珠子的動(dòng)態(tài)過程一萬一萬地?cái)?shù)數(shù)。學(xué)生數(shù)到九萬時(shí)，筆者追問：九萬之后再數(shù)一萬是多少？有的學(xué)生說是十萬，有的學(xué)生說是一億。筆者引導(dǎo)：萬位上的9顆珠子表示9個(gè)一萬，9個(gè)一萬再加一萬就是10個(gè)一萬，10個(gè)一萬是十萬，不是一億。通過這樣的引導(dǎo)，筆者自然地引出計(jì)數(shù)單位“十萬”，并指出計(jì)數(shù)器上十萬位的位置。接下來，筆者引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比遷移法找出百萬位、千萬位、億位、十億位、百億位、千億位，并與學(xué)生一起整理、完善了十進(jìn)制數(shù)位順序表。學(xué)生在操作、分析、整理的過程中將數(shù)級(jí)從個(gè)級(jí)擴(kuò)充到萬級(jí)、億級(jí)，提升了數(shù)感。

這樣設(shè)計(jì)教學(xué)，旨在讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象的思維過程，利用知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系整合教學(xué)內(nèi)容，使前后所學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)出整體性、系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的深層加工、深刻理解，以及長久記憶，達(dá)成深度學(xué)習(xí)。

責(zé)任編輯? 劉佳