陳鳳偉

【摘?要】進(jìn)行“數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)，一以貫之的核心概念是位值、十進(jìn)位值制，培養(yǎng)的關(guān)鍵能力是數(shù)感、符號意識?！扒У恼J(rèn)識”一課，圍繞“1000究竟什么樣”展開了對“千”的數(shù)學(xué)化的認(rèn)識。從1000豐富的現(xiàn)實(shí)原型再現(xiàn)，到去掉具體的量抽象出數(shù)，認(rèn)識千的單位、位值，千以內(nèi)數(shù)的復(fù)合表示和關(guān)系，再返回生活中發(fā)現(xiàn)、確認(rèn)數(shù)學(xué)化的1000。學(xué)生經(jīng)歷了從感性具體到理性具體，從認(rèn)識數(shù)量、數(shù)量之間的關(guān)系，到理解抽象出的數(shù)、數(shù)之間的關(guān)系，返回現(xiàn)實(shí)加以運(yùn)用，這是一個完整的數(shù)的認(rèn)識過程。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展需要這樣的過程積淀。

【關(guān)鍵詞】數(shù)的認(rèn)識 符號意識 位值 數(shù)感

小學(xué)階段學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識經(jīng)歷兩次重要的突破。第一次是從感性具體到理性具體，也就是從具體的情境、數(shù)量中抽象出數(shù)，用符號進(jìn)行表示，在認(rèn)識數(shù)量之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，理解抽象出來的數(shù)之間的關(guān)系，其核心是十進(jìn)位值制。第二次是從理性具體到理性抽象，也就是用字母表示數(shù)，這是在數(shù)的抽象性基礎(chǔ)上進(jìn)行概括性的認(rèn)識，是代數(shù)思維的起始。

“千的認(rèn)識”一課正好具有承上啟下的重要作用。它是大數(shù)理性具體認(rèn)識的開始，教材中出現(xiàn)了十進(jìn)位制的數(shù)位順序表，是對數(shù)的抽象、數(shù)位、十進(jìn)位值制的理解與升華，為后續(xù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)的再認(rèn)識和數(shù)域的擴(kuò)展奠定基礎(chǔ)。

基于此，教師可以在教學(xué)中沿著“十進(jìn)位值制”本質(zhì)概念的認(rèn)知進(jìn)程，引導(dǎo)學(xué)生從再現(xiàn)1000豐富的現(xiàn)實(shí)原型，到去掉量的具體情境抽象出數(shù)，認(rèn)識千的單位、位值、千以內(nèi)數(shù)的復(fù)合表示和關(guān)系，再返回生活中發(fā)現(xiàn)、確認(rèn)數(shù)學(xué)化的1000，并加以運(yùn)用。

一、認(rèn)識“1000”的影子

上課了，教師先點(diǎn)明本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)：“這節(jié)課我們繼續(xù)認(rèn)識數(shù)，認(rèn)識1000?！比缓髥枌W(xué)生是否認(rèn)識1000，學(xué)生們異口同聲地回答：“認(rèn)識！”

接著，教師讓學(xué)生說說他們認(rèn)識的1000是什么樣的，學(xué)生們有點(diǎn)懵，有的說1000克，有的說1000斤。

教師追問：“1000克是什么？”

學(xué)生遲疑了一下，補(bǔ)充說：“2袋鹽吧？”

“那1000斤呢？”

“就是好多好多東西唄！”

教師問：“1000大不大？”

學(xué)生肯定地回答：“大！”

“那2袋鹽多不多？”

學(xué)生猶豫了。

這時，教師說：“1000究竟什么樣，我們還需要認(rèn)識嗎？”

學(xué)生們紛紛點(diǎn)頭。

教師說：“那我們就一起來看看1000究竟什么樣，和你先前認(rèn)識的1000有什么不同?！?/p>

有效的教學(xué)建立在對學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識經(jīng)驗(yàn)充分了解的基礎(chǔ)之上。從上述對話可以看出，學(xué)生脫口而出的“千”是聞其名勝于知其義。學(xué)生在“百”的認(rèn)知基礎(chǔ)上，對“千”有模糊的經(jīng)驗(yàn)，直覺感知“千”是一個挺大的數(shù)。也有學(xué)生知道“千與百”的十進(jìn)關(guān)系。學(xué)生對“千”的數(shù)學(xué)化認(rèn)知，需要從模糊經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)為清晰的數(shù)學(xué)化理解，需要從帶有情境的量轉(zhuǎn)為抽象數(shù)的關(guān)系的理解，需要建立十進(jìn)位值制的概念。

二、經(jīng)歷“數(shù)”源于數(shù)的活動

怎樣開始認(rèn)識數(shù)呢？學(xué)生有元認(rèn)知，“數(shù)”從數(shù)開始。

教師拿出一把小棒，問：“有多少？”

學(xué)生很自然地脫口而出：“10！”

“眼見才能為實(shí)，一起數(shù)一數(shù)?！彪S著教師手中小棒一根根地亮相，學(xué)生順暢地數(shù)起來，到第9根的時候，“10”的讀音已經(jīng)從學(xué)生口中呼之欲出，眼見沒有第10根，學(xué)生急剎車般停了下來。

這時，教師亮出第10根小棒，問：“是不是還想再添1根？”

學(xué)生迅速回應(yīng)：“是！”

教師接著問：“給9添1就是10，這個過程你能表示出來嗎？”

接著，教師借助計數(shù)器讓學(xué)生演示“給9添1”“滿十進(jìn)一”的動態(tài)過程，并刻意把9顆珠再添1顆，個位上滿了要向“十位進(jìn)一”的撥珠動作分解開，讓學(xué)生經(jīng)歷清晰地數(shù)數(shù)、進(jìn)位、位置、位值的過程。

再數(shù)，改變單位，十個十個數(shù)到90，再添一個10會怎樣？

帶領(lǐng)學(xué)生重溫“滿十進(jìn)一”。

繼續(xù)數(shù)，教師提出：“能‘一百一百地數(shù)嗎？在百位上數(shù)到最大的數(shù)。”

學(xué)生在計數(shù)器上撥出了900。

接下來怎么數(shù)呢？

教師把9、90、900合在一起，在計數(shù)器上表示出999，問：“此時添上1是多少？”

學(xué)生幾乎是搶著說：“1000！”

教師：“怎么做的？把過程在計數(shù)器上表示出來，看看你撥出的1000什么樣?！?/p>

學(xué)生在計數(shù)器上做了三次“滿十進(jìn)一”后出現(xiàn)了“1000”。

學(xué)生真的會數(shù)數(shù)嗎？“歌謠式”的數(shù)數(shù)學(xué)生上學(xué)之前就會，但是數(shù)學(xué)課上要經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的數(shù)數(shù)，這是建立數(shù)概念的基礎(chǔ)。四次數(shù)數(shù)的核心是“一一對應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想、位置原則、十進(jìn)制的關(guān)系。學(xué)生在看似簡單、實(shí)則形象的計數(shù)器操作活動中，建立起十進(jìn)位值制的直觀模型?！皾M十進(jìn)一”的關(guān)系、數(shù)位概念，“以一當(dāng)千”的位值概念、符號化意識，都在學(xué)生手指撥動的小珠子中跳躍呈現(xiàn)。

三、1000究竟什么樣

當(dāng)計數(shù)器上出現(xiàn)了千位上的1顆珠子，出現(xiàn)了符號化的“1000”，學(xué)生就接受這個“1000”了嗎？不是的。史寧中教授在《基本概念與運(yùn)算法則》中表明，建立數(shù)概念，要從現(xiàn)實(shí)中抽象出數(shù)，將數(shù)與現(xiàn)實(shí)建立聯(lián)系，再在背景中運(yùn)用數(shù)，感受數(shù)量的大小。

“1000究竟什么樣？想看看嗎？”教師問。

“當(dāng)然想！”

學(xué)生帶著上課前對千的感知經(jīng)驗(yàn)，又經(jīng)歷了計數(shù)器上數(shù)出1000的過程，“1000究竟什么樣？”他們真的想把之前的、當(dāng)下的，還有想知道的聯(lián)系起來。

接下來，教師給學(xué)生呈現(xiàn)了什么樣的“1000”呢？1000根小棒、1000人、1000字、1000張紙、1000元、1000個小方塊組成的大正方體。

這些有具體背景數(shù)量的“1000”，帶給學(xué)生的感覺和所起的作用不盡相同。

小棒是學(xué)生最熟悉、最常用的數(shù)數(shù)、計數(shù)、計算學(xué)具，所以教師有意地呈現(xiàn)出1根、10根、100根，10個100根組成了1000根。

1000人的效果是怎樣的呢？操場上1000名同學(xué)的場景和1000根小棒帶給學(xué)生的視覺沖擊完全不同，和他們先前對“千很大、很多”的經(jīng)驗(yàn)直覺是吻合的。

1000字呢？由20個字的古詩疊加呈現(xiàn)，在學(xué)生有興趣的誦讀中，又刺激了一下他們寫小作文的切身體驗(yàn)，100字一篇要寫10篇，200字一篇呢？5篇。1000字是多還是不多呢？肯定摻雜了復(fù)雜的情感。這可能有利于學(xué)生學(xué)會在具體的場景下用數(shù)進(jìn)行表達(dá)和交流吧！

以100張紙為標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生帶著視覺記憶觀察500張紙、1000張紙。這是單位的一種形象化，是在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的眼光，在建立標(biāo)準(zhǔn)的意識。

“1000元和1000張紙交換一下可以嗎？”教師幽默地詢問。

學(xué)生趕忙說：“不換！”“不劃算！”“1000元可以買很多這樣的紙！”

教師再次發(fā)問：“1000根小棒、1000人、1000字、1000張紙、1000元都不一樣，但是有什么是相同的？”

“數(shù)相同！”學(xué)生齊聲回應(yīng)。

數(shù)的抽象教學(xué)水到渠成。

人類發(fā)明“十進(jìn)位”經(jīng)歷了漫長的抽象過程，學(xué)生不可能在時間有限的課堂上完全經(jīng)歷數(shù)的抽象過程，教師必須借助一些具體的、生動的情景，讓學(xué)生切實(shí)地、全方位地感悟，不僅要讓學(xué)生感悟數(shù)是對數(shù)量的抽象，還應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感悟抽象出來的數(shù)與數(shù)量是有聯(lián)系的。同樣是1000，1000字和1000人是不同的，而1000元和1000張紙也是“不能換”的。但是這些不一樣的背后，卻有著本質(zhì)的相同，這就是數(shù)。

數(shù)量還不能作為數(shù)學(xué)研究的對象，數(shù)學(xué)研究的對象應(yīng)當(dāng)是比數(shù)量更為一般的，這就是數(shù)量的關(guān)系，即多與少。由數(shù)量關(guān)系再抽象出拋開情境的數(shù)，數(shù)的關(guān)系是對數(shù)量關(guān)系的抽象，抽象的結(jié)果就是自然數(shù)。

正如皮亞杰所說：數(shù)（自然數(shù)）不是某個東西的名稱，它是事物與事物之間的相互關(guān)系，表明的是一個物體在一個序列中的位置，以及這一組物體中包含了多少個物體，這種關(guān)系不是直接用語言來教的，而是兒童通過感知、操作活動在動作中體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的。

四、建立模型中培養(yǎng)數(shù)感

完整的數(shù)的認(rèn)識需要兩個過程，由數(shù)量→數(shù)（抽象），由數(shù)→數(shù)量（數(shù)感）。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)研究的是一般的規(guī)律性，從數(shù)量到數(shù)之后，再反過來把一般性的規(guī)律性結(jié)果應(yīng)用到具體的事物中。

接下來出場的是蒂娜絲方塊、點(diǎn)子圖、數(shù)尺。教師借助這些抽象的數(shù)學(xué)化模型，繼續(xù)深化學(xué)生對1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

教師：“搭一個這樣的大立方體需要多少個小立方塊兒？”

問題一提出，學(xué)生就想到：“可能是1000吧？”

教師：“怎么知道是不是1000呢？”

數(shù)一數(shù)。

正在學(xué)生定睛數(shù)的時候，大立方體打散啦?。▓D1）

“現(xiàn)在怎么數(shù)呢？”教師問。

“按標(biāo)準(zhǔn)數(shù)！”學(xué)生建議。

于是教師擺出以10個為標(biāo)準(zhǔn)的動態(tài)圖。還是看不清！學(xué)生建議“一百一百地擺”。

看，先前的經(jīng)驗(yàn)，在這里得到運(yùn)用了。

看到1000個小方塊搭成了大正方體后，計數(shù)器上的1000再次出現(xiàn)（圖2），教師問：“1000個小方塊，在計數(shù)器上就用這一顆珠子表示，你們服氣嗎？”學(xué)生們說：“服氣！”到這還沒有結(jié)束，教師繼續(xù)在計數(shù)器上拔出1111，并問道：“同樣的珠子，其他三顆能表示1000嗎？”學(xué)生回答：“不能，因?yàn)橹挥性谇簧喜拍艽?000。”教師附和道：“哦，位置很重要！”

至此，學(xué)生形成了1000的符號化意識，明確了位值、數(shù)位間的十進(jìn)關(guān)系。

當(dāng)密集的點(diǎn)子圖出現(xiàn)時，學(xué)生立刻建議圈圈按標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。

數(shù)尺的出現(xiàn)，教師做了一個小鋪墊：“個、十、百、千是計數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)，把這些標(biāo)準(zhǔn)用一把尺子呈現(xiàn)可以嗎？”（圖3）

在這把神奇的尺子上，不僅可以找到個、十、百、千，還可找到1000以內(nèi)的任意數(shù)。數(shù)的關(guān)系由眼前的尺子，投入學(xué)生的頭腦中，形成對數(shù)的感覺。

教師給學(xué)生布置作業(yè)，到生活中看看哪里可以找到和1000很接近的數(shù)，電視臺的電視塔有多高，天安門廣場有多寬，故宮里究竟有多少間房子，1000粒大米做飯夠吃嗎，等等。

帶著對1000的感覺，對數(shù)有分析的意識、判斷的能力，用數(shù)學(xué)的眼光看，用數(shù)學(xué)的頭腦思考，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)與交流。這就是落在學(xué)生身上的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)不僅包括數(shù)的概念的建立和理解，還包括思想方法的把握，以及數(shù)學(xué)學(xué)科特有的學(xué)科思維、學(xué)科品格。所以，教師要把基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)作為發(fā)展與培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的著力點(diǎn)。

有什么樣的思維就有什么樣的行為，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，教師要具有發(fā)展性的思維，然后有先提升自己學(xué)科素養(yǎng)、專業(yè)素養(yǎng)的意識，將以學(xué)科育全人的理念落實(shí)到教學(xué)的行為中。有什么樣的行為就有什么樣的狀態(tài)，教師有什么樣的狀態(tài)就會帶給學(xué)生什么樣的感受，學(xué)生有什么樣的感受就有什么樣的未來。

（作者系北京市朝陽區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)潤澤分校校長、正高級教師、特級教師）

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