劉天明

[摘? 要] 應(yīng)用類比法可以將相關(guān)或相似的內(nèi)容進(jìn)行串聯(lián)，形成清晰的知識(shí)脈絡(luò)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)化多為少;同時(shí)，應(yīng)用類比法是在原有認(rèn)知上的一種新知建構(gòu)，這樣從熟悉的內(nèi)容出發(fā)，有助于淡化新知的抽象感和陌生感，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)化難為易. 可見(jiàn)，應(yīng)用類比法可以有效攻克高中數(shù)學(xué)“多”和“難”兩座大山，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升.

[關(guān)鍵詞] 類比;化多為少;化難為易

數(shù)學(xué)知識(shí)具有較強(qiáng)的邏輯性，前面所學(xué)的內(nèi)容往往是后面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，為了便于知識(shí)的遷移和內(nèi)化，在教學(xué)中要多關(guān)注新舊知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，從而引導(dǎo)學(xué)生建立完整的知識(shí)體系，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)應(yīng)具有一定的層次性和關(guān)聯(lián)性，而要形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)需要在教學(xué)中采用一些手段，類比法就是行之有效的教學(xué)手段之一. 通過(guò)類比不僅可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)清晰的知識(shí)脈絡(luò)，而且通過(guò)類比有助于知識(shí)的深化，提升學(xué)生的思辨能力. 教學(xué)實(shí)踐表明，培養(yǎng)學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)，是后續(xù)學(xué)習(xí)的核心條件，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯分析能力的前提和關(guān)鍵. 基于此，筆者選取了在“不等關(guān)系”教學(xué)中的幾個(gè)片段，展示了類比法的重要價(jià)值，以期共鑒.

[?]教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

1. 新舊類比，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

【教學(xué)片段1】

師：當(dāng)你看到“不等式”這個(gè)標(biāo)題時(shí)，你感覺(jué)這個(gè)內(nèi)容與之前學(xué)習(xí)的哪些內(nèi)容可能存在一定的聯(lián)系呢？

生1：一元一次方程.

生2：一元二次方程.

生3：一元一次不等式.

師：大家說(shuō)得很好，這些內(nèi)容確實(shí)與今天要學(xué)的知識(shí)密切相關(guān). 生1和生2說(shuō)的方程是等式，生3說(shuō)的是不等式，看來(lái)大家已經(jīng)將“等式”與“不等式”建立了聯(lián)系，已經(jīng)形成了一個(gè)“認(rèn)知鏈”，本節(jié)課就順著這個(gè)思路開(kāi)啟我們的探究之旅.

師：現(xiàn)在先回憶一下與等式相關(guān)的知識(shí)，你能列舉一個(gè)關(guān)于恒成立的例子嗎？

生4：（a+b）2=a2+2ab+b2.

師：很好. 如果讓你列舉一個(gè)關(guān)于解等式的例子，你會(huì)想到什么呢？

生5：方程. 比如……

師：很好，其實(shí)我們?cè)谘芯康仁綍r(shí)主要就解決了兩個(gè)問(wèn)題：一是恒成立問(wèn)題，二是解方程. 猜想一下，研究不等式主要是哪些內(nèi)容呢？

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于“如何研究不等式”這一問(wèn)題，教師并沒(méi)有開(kāi)門(mén)見(jiàn)山地提出，而是先讓學(xué)生回顧“如何研究等式”，在教師的引導(dǎo)下總結(jié)和歸納出研究等式的主要內(nèi)容，然后通過(guò)類比推出研究不等式的主要內(nèi)容是證明不等式恒成立和解不等式. 巧妙地通過(guò)類比法引入主題，不僅讓學(xué)生了解到了要研究的主要內(nèi)容是什么，而且與之前所學(xué)的知識(shí)建立了聯(lián)系，這樣便于學(xué)生將不等式的內(nèi)容內(nèi)化至已有的等式認(rèn)知體系中，從而形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

2. 類比性質(zhì)，提升學(xué)生的思辨能力

【教學(xué)片段2】

師：若a=b，則ac=bc，這個(gè)等式恒成立嗎？

生齊聲答：恒成立.

師：很好，那么類比上面等式的性質(zhì)，你聯(lián)想到了什么呢？

生6：若a>b，則ac>bc.

師：很好，現(xiàn)在請(qǐng)大家驗(yàn)證一下，這個(gè)不等式是否恒成立呢？（問(wèn)題給出后學(xué)生積極地進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，利用特殊值法很快得出了答案）

生7：不一定成立. 這個(gè)不等式是否成立與c值有關(guān)：若c>0，則不等式成立;若c≤0，則不等式不成立.

師：非常好. 看來(lái)大家觀察得非常仔細(xì)，對(duì)于很多相同或相似的問(wèn)題要仔細(xì)推敲，切勿盲目套用，這是在類比推理和知識(shí)遷移時(shí)必須關(guān)注的問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)過(guò)于表面化和形式化，缺乏良好的思辨能力，當(dāng)遇到形似的問(wèn)題時(shí)就喜歡照抄照搬，從而因忽略了問(wèn)題的本質(zhì)而造成了錯(cuò)誤. 比如，由等式的性質(zhì)“若a=b，則ac=bc”，直接進(jìn)行形式類比，得到“若a>b，則ac>bc”這一錯(cuò)誤的結(jié)論. 教學(xué)時(shí)，教師故意預(yù)設(shè)陷阱，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證和反思，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生在應(yīng)用類比法時(shí)要避免出現(xiàn)形式類比，要學(xué)會(huì)深入問(wèn)題的本質(zhì)去思考問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和全面性.

3. 類比方法，提升自學(xué)能力

【教學(xué)片段3】

師：大家一起分析了不等式與等式之間的聯(lián)系，生3還提出了一元一次不等式. 確實(shí)，初中學(xué)習(xí)的一元一次不等式為我們下面的探究提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 現(xiàn)在一起回顧一下與一元一次不等式相關(guān)的內(nèi)容.

師：以求x+1<0的解集為例，如果通過(guò)函數(shù)圖像進(jìn)行研究，你能簡(jiǎn)單說(shuō)明一下具體的過(guò)程嗎？（教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生回憶舊知，并組織好數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行準(zhǔn)確的表述）

生8：首先，構(gòu)造一元一次函數(shù)，即將不等式x+1<0轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x+1;接下來(lái)，繪制函數(shù)y=x+1的圖像，令y=0，可知圖像與x軸的交點(diǎn)為（-1，0）. 要使x+1<0，即使y<0. 觀察函數(shù)y=x+1的圖像及其與x軸的交點(diǎn)容易得出：當(dāng)x<-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值恒小于0. 由此可得不等式x+1<0的解集為x<-1.

師：說(shuō)得非常好，思維清晰，語(yǔ)言表達(dá)準(zhǔn)確. 那么如何求一元二次不等式x2+2<3的解集呢？

生9：首先將x2+2<3變形，轉(zhuǎn)化為x2-1<0，這樣方便求解.

師：說(shuō)得很好. 類比一元一次不等式的求解過(guò)程，請(qǐng)小組合作探究x2-1<0的解集應(yīng)該如何去求. （教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行組內(nèi)交流）

生10：同前面所學(xué)的方法一樣，首先構(gòu)造一元二次函數(shù)y=x2-1，并作出該函數(shù)的圖像;然后令y=0，該函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為（-1，0），（1，0）. 要使x2-1<0，即使y<0，結(jié)合圖像可知：當(dāng)-1

設(shè)計(jì)意圖：很多數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著一定的關(guān)聯(lián)性，解題方法也存在一定的相似性. 因此，要讓學(xué)生明白在學(xué)習(xí)中要善于觀察這些相似或相關(guān)的問(wèn)題，才能順利地實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移. 同時(shí)，通過(guò)類比有助于學(xué)生提升自主學(xué)習(xí)能力，這對(duì)學(xué)生來(lái)講是至關(guān)重要的，只有學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)才能在解決問(wèn)題時(shí)毫不費(fèi)力. 在一元二次不等式解法的探究中，教師將主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生自主回顧初中學(xué)過(guò)的利用圖像法求一元一次不等式解集的過(guò)程，嘗試在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行知識(shí)遷移，從而發(fā)現(xiàn)一元二次不等式的求解方法.在回憶和探究的過(guò)程中充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，提升學(xué)生的解題信心.

[?]教學(xué)反思

“不等關(guān)系”是“不等式”章節(jié)的第一課時(shí)內(nèi)容，教材里的內(nèi)容并不多，部分教師講授本節(jié)課內(nèi)容時(shí)常感覺(jué)無(wú)內(nèi)容可講，為了提高教學(xué)進(jìn)度常將其與第二課時(shí)內(nèi)容合并在一起進(jìn)行講解，還有部分教師應(yīng)用大量的實(shí)例讓學(xué)生感受不等關(guān)系，這樣的教學(xué)方式顯得急于求成和枯燥乏味了. 筆者在教學(xué)中利用類比法組織教學(xué)，在原有的課本內(nèi)容的基礎(chǔ)上略有提升，不僅引出了本章的主題，而且還帶領(lǐng)學(xué)生分析了本章的主要教學(xué)內(nèi)容和研究方法，讓學(xué)生先從整體上形成對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)，這樣不僅有助于學(xué)生后期完善良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且為后續(xù)教學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 但在應(yīng)用類比法時(shí)還需要注意以下兩點(diǎn)：

1. 關(guān)注原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)之間具有一定的關(guān)聯(lián)性，新知并非是孤立存在的，而是在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的知識(shí)建構(gòu)，因此在探究時(shí)要善于調(diào)動(dòng)原有認(rèn)知. 類比法就是利用原有認(rèn)知為新知探究架橋鋪路的，這樣不僅可以使原有認(rèn)知得以深化，而且還能豐富原有認(rèn)知，便于知識(shí)體系的完善和新知的內(nèi)化. 如在探究一元二次不等式時(shí)就是以一元一次不等式的研究方法為起點(diǎn)的，為新知的探究提供了重要的參考依據(jù). 在教學(xué)中，要重視原有認(rèn)知的開(kāi)發(fā)和利用，引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用類比法完成新知的建構(gòu)，這樣有助于提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，有助于學(xué)生提升自主學(xué)習(xí)能力.

2. 提高可辨別性

數(shù)學(xué)知識(shí)雖然存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，然問(wèn)題本質(zhì)往往又是千差萬(wàn)別的，所以提升認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可辨別性是類比學(xué)習(xí)的一項(xiàng)重點(diǎn)內(nèi)容. 若不重視知識(shí)之間的區(qū)別，解題時(shí)就容易出現(xiàn)張冠李戴，那么將失去類比學(xué)習(xí)原有的價(jià)值. 比如，根據(jù)“若a=b，則ac=bc”推導(dǎo)出“若a>b，則ac>bc”，這種遷移就是一種負(fù)遷移，這種現(xiàn)象在教學(xué)中應(yīng)引起教師的高度重視. 教學(xué)中可通過(guò)設(shè)置問(wèn)題、設(shè)計(jì)陷阱等手段引導(dǎo)學(xué)生反思，進(jìn)而發(fā)揮類比學(xué)習(xí)的價(jià)值，提高學(xué)生的思辨能力，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中合理應(yīng)用類比法不僅可以豐富教學(xué)內(nèi)容，而且有助于學(xué)生建構(gòu)和完善認(rèn)知體系. 教師要善于從學(xué)生的原有認(rèn)知出發(fā)，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系，讓學(xué)生可以站在更高處看清學(xué)習(xí)的內(nèi)容，最大限度地拓展學(xué)生的視野，促進(jìn)學(xué)生不斷提升學(xué)習(xí)能力.