鄧海英，喻平

摘要：引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中學(xué)習(xí)，基于數(shù)學(xué)現(xiàn)實，對學(xué)習(xí)材料進(jìn)行數(shù)學(xué)化加工，從而實現(xiàn)“再創(chuàng)造”，這是弗賴登塔爾“再創(chuàng)造”理論的框架。將這一理論應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，首先，要用兒童的眼光看待現(xiàn)實情境，發(fā)現(xiàn)兒童眼中的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，并且搭建“腳手架”，幫助兒童構(gòu)建數(shù)學(xué)現(xiàn)實;其次，要組織現(xiàn)實材料，幫助學(xué)生獲得操作性經(jīng)驗，并且簡化復(fù)雜情境，幫助學(xué)生抓住問題的本質(zhì);再次，要指導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實問題加工為局部的數(shù)學(xué)問題，將局部的數(shù)學(xué)問題加工為結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)問題。

關(guān)鍵詞：弗賴登塔爾;再創(chuàng)造;數(shù)學(xué)現(xiàn)實;數(shù)學(xué)化;小學(xué)數(shù)學(xué)

本文系湖南省社會科學(xué)成果評審委員會項目“小學(xué)生情境問題解決能力培養(yǎng)研究”（編號：XSP21YBC052）的階段性研究成果，也系喻平教授團隊的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)研究及其教學(xué)啟示”（小學(xué)）系列文章之九。荷蘭著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾，早期從事拓?fù)鋵W(xué)和李代數(shù)（一種重要的非結(jié)合代數(shù)）方面的研究，取得了卓越成就;后期把精力放到數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，出版了大量著作，成為國際數(shù)學(xué)教育委員會（ICMI）第八任主席，倡議召開國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME），極大地推動了數(shù)學(xué)教育研究。他在代表作《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書中提出了“再創(chuàng)造”理論，在數(shù)學(xué)教育界產(chǎn)生了巨大的影響。即使在課程改革持續(xù)推進(jìn)、教育理念不斷翻新的當(dāng)下，“再創(chuàng)造”理論仍具有現(xiàn)代意義，對以發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為目標(biāo)的數(shù)學(xué)教學(xué)仍具有實在的指導(dǎo)價值。

一、弗賴登塔爾“再創(chuàng)造”理論概述

（一）“再創(chuàng)造”理論的幾個核心概念

“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”“數(shù)學(xué)化”“再創(chuàng)造”是“再創(chuàng)造”理論的核心概念。

“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”是指數(shù)學(xué)課程內(nèi)容應(yīng)該與現(xiàn)實有密切的聯(lián)系，并且能夠在實際中得到應(yīng)用。數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)存在于現(xiàn)實中，只有密切聯(lián)系現(xiàn)實的數(shù)學(xué)才能充滿著各種關(guān)系，才能與現(xiàn)實結(jié)合并且得到應(yīng)用。②③弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995：122，123，109。兒童總是處于某種現(xiàn)實的情境中，有些情境承載著重要的數(shù)學(xué)信息，這些情境中的數(shù)學(xué)信息就是兒童面對的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”之一。

“數(shù)學(xué)化”是指學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)將非數(shù)學(xué)內(nèi)容或不完整的數(shù)學(xué)內(nèi)容組織成一個合乎數(shù)學(xué)的精確性要求的結(jié)構(gòu)。②例如，將空間完形為圖形，是空間的數(shù)學(xué)化;整理平行四邊形的性質(zhì)，使之形成推理聯(lián)系，以得出平行四邊形的定義，是平行四邊形概念領(lǐng)域的數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)化有兩種形式。一是橫向數(shù)學(xué)化：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即發(fā)現(xiàn)實際問題中的數(shù)學(xué)成分，并對這些成分做形式化處理，把生活世界引向符號世界。二是縱向數(shù)學(xué)化：在數(shù)學(xué)范疇內(nèi)對已經(jīng)形式化了的問題做進(jìn)一步抽象化處理，是更深層次的數(shù)學(xué)化，從符號到概念，影響到復(fù)雜的數(shù)學(xué)處理過程。

“再創(chuàng)造”是指由學(xué)生本人把要學(xué)習(xí)的東西發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來。教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進(jìn)行“再創(chuàng)造”的工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生。弗賴登塔爾認(rèn)為，學(xué)生已經(jīng)具備某些潛在的能力，從發(fā)展這種潛能出發(fā)，數(shù)學(xué)教育不能從完美的現(xiàn)成結(jié)果開始，不能將各種規(guī)則、定理等遠(yuǎn)離現(xiàn)實生活的抽象內(nèi)容硬性地灌輸給學(xué)生，而應(yīng)創(chuàng)造合適的條件（通常是提供一些情境或現(xiàn)象的材料），逐步讓學(xué)生在實踐的過程中通過自己的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，獲取知識，使學(xué)生頭腦中已有的非正規(guī)的數(shù)學(xué)知識與思維上升、發(fā)展為科學(xué)的理論。生物學(xué)上有一條原理：個體發(fā)展過程是群體發(fā)展過程的重現(xiàn)。這條原理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上也是成立的：學(xué)生具有發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識（“再創(chuàng)造”）的能力，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程也可以在學(xué)生身上重現(xiàn)。

（二）“再創(chuàng)造”的基本理論體系

弗賴登塔爾對數(shù)學(xué)教育有一些獨特的見解，可以概括為下面幾個觀點：

其一，不應(yīng)當(dāng)教現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，而應(yīng)當(dāng)教活動的數(shù)學(xué)。“將數(shù)學(xué)作為一種現(xiàn)成的產(chǎn)品來教，留給學(xué)生活動的唯一機會就是所謂的應(yīng)用，其實就是做問題。這不可能包括真正的數(shù)學(xué)，留作問題的只是一種模仿的數(shù)學(xué)……面對現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，學(xué)生唯一能做的事就是復(fù)制?！雹圻@個觀點是對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)形態(tài)的一種反叛，意圖將先學(xué)后做的思維方式顛倒過來，在活動的過程中引入知識，在數(shù)學(xué)化的過程中建構(gòu)知識。這個觀點與斯托利亞爾的觀點是一致的，把數(shù)學(xué)教學(xué)視為活動的教學(xué)。這個觀點奠定了弗賴登塔爾的教學(xué)認(rèn)識論基礎(chǔ)。

其二，教學(xué)活動是讓學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的過程。弗賴登塔爾認(rèn)為，教學(xué)的最好方法是讓學(xué)生做。這就為“活動的數(shù)學(xué)”規(guī)約了活動的方式?！白觥奔劝▌邮郑舶▌幽X。動手做的本質(zhì)是借助于身體去認(rèn)知，動腦做的本質(zhì)則是思維實驗。顯然，這一思想與杜威的“做中學(xué)”一脈相承。杜威認(rèn)為，在理想的教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵兒童在活動中，開動大腦，運用觀察和推測、實驗和分析、比較和判斷，使他們的手足耳目和頭腦等身體器官成為智慧的源泉。約翰·杜威.民主主義與教育[M].王承緒，譯.北京：人民教育出版社，2001：25。

其三，教學(xué)活動應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。數(shù)學(xué)化是對“活動的數(shù)學(xué)”在內(nèi)容方面的圈定。數(shù)學(xué)產(chǎn)生于現(xiàn)實，每個學(xué)生都有不同的數(shù)學(xué)現(xiàn)實。學(xué)生需要對現(xiàn)實進(jìn)行數(shù)學(xué)化，將非數(shù)學(xué)的內(nèi)容數(shù)學(xué)化，將不完整的數(shù)學(xué)內(nèi)容組織成一個合乎數(shù)學(xué)的精確性要求的結(jié)構(gòu)。而數(shù)學(xué)化的核心步驟是用數(shù)學(xué)方法把實際材料組織起來，組織材料本身就是一項數(shù)學(xué)活動。這里要強調(diào)的是，數(shù)學(xué)化有兩個要點。一是數(shù)學(xué)化的結(jié)果應(yīng)當(dāng)是結(jié)構(gòu)化的知識體系。例如，平行四邊形的每一個性質(zhì)都是數(shù)學(xué)陳述，但是這些陳述的整體本身只是一個大雜燴，只有用邏輯關(guān)系建立結(jié)構(gòu)，它才成為數(shù)學(xué)，而這個過程就是數(shù)學(xué)化。二是數(shù)學(xué)化有進(jìn)階的特征。數(shù)學(xué)化首先是對數(shù)學(xué)現(xiàn)實進(jìn)行加工形成局部的數(shù)學(xué)材料，這是低層次的數(shù)學(xué)化過程;然后是對局部的教學(xué)材料進(jìn)行整體組織形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)，這是高層次的數(shù)學(xué)化過程。

其四，數(shù)學(xué)活動的一個目標(biāo)是“再創(chuàng)造”。弗賴登塔爾認(rèn)為，普通的兒童也有能力“再創(chuàng)造”出他在將來的日常生活中所需要的數(shù)學(xué)，可以創(chuàng)造內(nèi)容，也可以創(chuàng)造形式。學(xué)習(xí)過程必須含有直接創(chuàng)造的層面，即從學(xué)生的觀點上來看是創(chuàng)造，是主觀上覺得的創(chuàng)造，而不是客觀意義上的創(chuàng)造。比如，學(xué)生可以根據(jù)自身的數(shù)學(xué)現(xiàn)實創(chuàng)造個性化的2+3=5的計算過程，而不能說學(xué)生創(chuàng)造了2+3=5這個算式的計算原理。所以，學(xué)生可以創(chuàng)造數(shù)學(xué)化而不是數(shù)學(xué)，創(chuàng)造抽象化而不是抽象，創(chuàng)造算法化而不是算法，創(chuàng)造語言描述而不是語言。通過“再創(chuàng)造”，可以促進(jìn)人們形成數(shù)學(xué)教育是一種人類活動的看法。通過“再創(chuàng)造”來學(xué)習(xí)，能夠獲得發(fā)現(xiàn)的樂趣，引起學(xué)習(xí)的興趣，并激發(fā)學(xué)習(xí)的動力;通過自身活動得到的知識與能力比由旁人“硬塞”來的，要理解得透徹、掌握得充分，同時也更善于被應(yīng)用，還可以較長久地被記住。

將上面的觀點組合起來，可以看到，弗賴登塔爾事實上給出了一個數(shù)學(xué)教學(xué)程式（如圖1所示）。首先，從現(xiàn)實中選擇與學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)的材料，通過學(xué)生的數(shù)學(xué)活動將這些材料加工成不完整的數(shù)學(xué)（局部的數(shù)學(xué)），這是低層次的數(shù)學(xué)化過程;其次，通過學(xué)生的數(shù)學(xué)活動將局部的數(shù)學(xué)加工為結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)，這是高層次的數(shù)學(xué)化過程;最后，將建構(gòu)的知識用于解決問題。這就是“再創(chuàng)造”的學(xué)習(xí)過程，它不是將現(xiàn)成的數(shù)學(xué)直接傳遞給學(xué)生，而是通過揭示知識的發(fā)生發(fā)展過程，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化，本質(zhì)是學(xué)生自我建構(gòu)知識。

二、對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

“再創(chuàng)造”理論以數(shù)學(xué)現(xiàn)實作為起點，需要學(xué)生對現(xiàn)實情境進(jìn)行數(shù)學(xué)化，從中辨認(rèn)問題、提出問題，進(jìn)而建立一個數(shù)學(xué)模型。

（一）如何甄別數(shù)學(xué)現(xiàn)實

1.用兒童的眼光看待現(xiàn)實情境，發(fā)現(xiàn)兒童眼中的數(shù)學(xué)現(xiàn)實

教學(xué)直接指向的是學(xué)生思維世界的開啟，任何教學(xué)都要首先激發(fā)個體的思維參與到特定教學(xué)情境包容著的知識世界，以此使得個體身心參與到其生活世界的建構(gòu)中。劉鐵芳，位濤.從思維激活到理智興趣培育：啟發(fā)的教學(xué)意蘊及其實現(xiàn)[J].國家教育行政學(xué)院學(xué)報，2018 （11）：8795。馬克斯·范梅南也提出，要關(guān)注兒童的獨特性、情境的獨特性以及個人生活的獨特性，避免過分關(guān)注兒童的共同特征。數(shù)學(xué)家們常常只關(guān)注數(shù)學(xué)本身，關(guān)注邏輯（演繹）和結(jié)構(gòu)（體系），并不關(guān)注現(xiàn)實材料對兒童學(xué)習(xí)的作用和影響。大量實踐和研究表明，學(xué)習(xí)材料若不對兒童的胃口，就很難引發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。教師要有意識地從兒童的角度看待現(xiàn)實世界，揣摩兒童眼中獨特的數(shù)學(xué)現(xiàn)實。簡單地說，要能判斷哪些現(xiàn)實情境在兒童眼中是合理的、熟悉的、貼近生活的、新穎有趣的。

例如，教學(xué)“數(shù)據(jù)統(tǒng)計”時，可以讓學(xué)生統(tǒng)計某一年內(nèi)自己家里每個月的電費，從而既能和父母共同研學(xué)，又能知道節(jié)約用電，增強環(huán)保意識;還可以讓學(xué)生統(tǒng)計一個星期內(nèi)自己家里的飲食情況，包括吃水果、蔬菜、零食等的情況，培養(yǎng)健康飲食的意識和習(xí)慣等。

再如，在工程問題、行程問題等應(yīng)用題的教學(xué)中，教師可以試著改造陳舊的問題情境，利用科技發(fā)展等元素融入愛國主義教育，發(fā)揮情境的教育意義，從而既能教授數(shù)學(xué)方法，又可賦能課程思政，踐行立德樹人。

下面再舉一個更為詳細(xì)具體的例子：

教學(xué)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊《噸的認(rèn)識》一課時，教師先讓學(xué)生思考：一袋大米重100千克，10袋大米重多少千克？學(xué)生列式計算，得到結(jié)果為1000千克。教師揭示：1000千克是一個很重的質(zhì)量，數(shù)學(xué)上規(guī)定用1噸來表示1000千克，即1噸=1000千克。然后提問：1噸里面有幾個1千克？噸和千克之間的進(jìn)率是多少？學(xué)生回答后，教師組織活動，讓學(xué)生體驗1噸有多重。

（1）教師讓學(xué)生以小組為單位，每個人都用力提一提（力氣小的學(xué)生可以兩個人一起提）事先準(zhǔn)備好的一袋重10千克的豆子，感受10千克有多重，并匯報自己的感受。然后，讓學(xué)生推算多少袋這樣的豆子重1噸。當(dāng)推算出來是100袋時，學(xué)生會感嘆：“哇！1噸這么重呀！”

（2）教師讓學(xué)生兩人一組，互相說一說課前測出的自己的體重是多少千克，再互相背一背，感受1名同學(xué)有多重。然后，讓學(xué)生推算：三年級學(xué)生的體重差不多是25千克，如果一名學(xué)生的體重是25千克，那么，10名這樣重的學(xué)生大約重多少千克？40名這樣重的學(xué)生呢？從而進(jìn)一步感受1噸有多重。

（3）有了一袋豆子的重量、一名同學(xué)的體重作為參考，教師讓學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗說一說生活中什么東西大約重1噸。然后，用課件出示各種例子：兩頭牛大約重1噸，一般電梯的載重量是1噸……

（4）教師讓學(xué)生匯報課前了解的自己家上個月或某幾個月的用水量。然后，讓學(xué)生想象：如果把1噸水裝在一個正方體的水箱里，這個正方體該有多大？接著，出示一個棱長是1米的正方體，指出：在這個正方體里裝滿水，水的質(zhì)量就是1噸。由此，讓學(xué)生感受1噸水到底有多少。

以上設(shè)計，讓學(xué)生先感受身邊物體的質(zhì)量，再以此為基礎(chǔ)加到大單位的質(zhì)量，增強體驗感，緊緊抓住兒童的生活經(jīng)驗，用兒童的眼光提取現(xiàn)實中的數(shù)學(xué)。

2.搭建“腳手架”，幫助兒童構(gòu)建數(shù)學(xué)現(xiàn)實

每個兒童都有自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，但往往又不完善、不嚴(yán)密，甚至還存在錯誤的認(rèn)識，影響學(xué)習(xí)效果。教師站在兒童的角度置身于學(xué)習(xí)過程，搭建“腳手架”，是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實、發(fā)展數(shù)學(xué)現(xiàn)實的良好途徑。

下面通過一組測試數(shù)據(jù)說明學(xué)生在計算錯誤中反映出來的“現(xiàn)實誤差”。測試試題如下：

每年的7月1日—7月30日，富士山對公眾開放，在這段時間里，大約有9000 名游客去富士山爬山，平均每天大約有名游客。

有效被試總?cè)藬?shù)為800人，答對的有640人，占總?cè)藬?shù)的80%;沒有作答和答錯的共160人，占總?cè)藬?shù)的20%。錯誤解答情況如下頁表1所示。鄧海英，嚴(yán)卿，魏亞楠.數(shù)學(xué)情境問題解決錯誤分析與評價[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2021（1）：6167。

從表中可以看到，四年級學(xué)生對9000÷30=300的應(yīng)用竟然會有這么多錯誤的想法和算法。除了一些純粹由于計算能力弱、口訣記錯、把用除法求平均數(shù)看成用乘法求總數(shù)等造成的錯誤之外，其余大部分錯誤都存在比較共同的原因，那就是：9000÷30=300這個計算題放在了現(xiàn)實情境中，學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實不夠支撐起對這個情境的理解，要么用錯了9000人，要么算錯了30天，要么完全不知道怎么用數(shù)學(xué)式子來表達(dá)題意，只是將數(shù)字毫無根據(jù)地加減乘除。

因此，學(xué)生犯這些錯誤可以認(rèn)為是因為他們不理解算式與情境的關(guān)系，不能對9000÷30=300這個算式“講故事”，不能由“故事”想到算式，也不會質(zhì)疑不合常情的“故事結(jié)尾”——如對280000這樣的大數(shù)、4.934這樣的小數(shù)，尤其是4.934表示人數(shù)，竟然沒有覺得有什么不妥，也沒有反思、改正。

學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實的水平又成了教師要面對的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”。教師要把算式與情境的關(guān)系講好，給學(xué)生講清楚題目中每句話、每個字描述的真實現(xiàn)象，搭好“腳手架”：“富士山是日本有名的旅游勝地。因為山頂常年寒冷，所以，一年中最熱的7月份（山頂平均氣溫也才6度左右）旅游的人比較多。7月1日—7月30日這30天里，共有9000名游客去了富士山，那么，這30天里，平均每天大約有多少名游客呢？是多大的一個數(shù)呢？”把總?cè)藬?shù)9000、總天數(shù)30、要計算平均數(shù)這些條件陳述清楚，將問題置入真實情境中，就是在搭建“腳手架”。

（二）如何實現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”

1.組織現(xiàn)實材料，幫助兒童獲得操作性經(jīng)驗

19世紀(jì)英國著名博物學(xué)家、生物學(xué)家、教育家赫胥黎認(rèn)為：“數(shù)學(xué)訓(xùn)練幾乎是純演繹的。數(shù)學(xué)家從少量簡單的命題出發(fā)，這些命題的證明如此明顯，可以不證自明，其余的工作就是從這些簡單的命題來進(jìn)行巧妙的演繹。”“數(shù)學(xué)是一種根本不懂得觀察、實驗、歸納與因果關(guān)系的研究?！边@是常見的對數(shù)學(xué)的偏見和誤解。同時期，英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特對赫胥黎的觀點做了批判。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)研究要不斷觀察和比較，它的主要武器之一是歸納，它經(jīng)常求助于實際的試驗與比較，同時它還對想象力與創(chuàng)造力進(jìn)行最好的訓(xùn)練。弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995：121。弗賴登塔爾主張，兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中可以對非數(shù)學(xué)化的現(xiàn)實材料用數(shù)學(xué)方法來組織，通過整理、觀察、比較、試驗、提煉、歸納進(jìn)行數(shù)學(xué)化。

例如，學(xué)生通過觀察學(xué)具，將空間表示成圖形，這是對空間的數(shù)學(xué)化;用折一折、拼一拼的方法發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和為180°，這也是經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的過程;通過操作、討論、聯(lián)系、類比、記錄，整理平行四邊形的性質(zhì)，使之形成推理關(guān)系，再歸納得出平行四邊形的一個定義，這是平行四邊形概念領(lǐng)域的數(shù)學(xué)化。幾何學(xué)習(xí)有數(shù)學(xué)化的優(yōu)勢：有具體可操作的現(xiàn)實材料，學(xué)生易于獲得操作性經(jīng)驗，在具體操作中體驗數(shù)學(xué)化過程，逐漸發(fā)展抽象、歸納的能力，提高數(shù)學(xué)水平。

2.簡化復(fù)雜情境，幫助兒童抓住問題的本質(zhì)

一些數(shù)學(xué)問題看上去似乎是現(xiàn)實情境里的問題，但是被編題者加工了，讓解題者好像掉進(jìn)了一個復(fù)雜的漩渦里。來看下面兩個問題：

（1）顧客在書店里買一本書，書價10元，他付了一張20元的鈔票。書商無零錢可找，請隔壁的鞋匠幫忙。鞋匠給他一雙修好的鞋，可收修鞋費16元。此外，鞋匠原來欠書商2元。結(jié)果，書商從鞋匠那兒拿到了6元，加上自己的4元，總共找給顧客10元。下午，鞋匠告訴書商，20元鈔票是假的。問：書商欠鞋匠多少錢？自己損失多少錢？

（2）甲乙兩人相距700米，相向而行，速度分別是1.5米/秒和2米/秒。一條小狗在甲、乙之間勻速地來回跑動直到甲乙兩人相遇，速度是20米/秒。當(dāng)甲乙兩人相遇時，小狗共跑了多少米？

問題1給出的現(xiàn)實情境比較雜亂，學(xué)生讀下來往往覺得沒有頭緒，只看到多個人不斷地給或收錢物;而問題2，學(xué)生讀下來則滿腦都是來回奔跑的小狗和越走越近把小狗夾在中間的兩人，直至最后小狗沒空隙奔跑，兩人面對面站著，在這一過程中，小狗跑動的軌跡非常復(fù)雜，可以分為多段直線，而且無法計算出每一段的長度。

這兩個題目的“高明”之處就是把數(shù)學(xué)條件隱藏在了有多個行為主體參與的動態(tài)的現(xiàn)實情境中。要求的問題看上去都很簡單、樸實，但是，方法被紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實情境遮住了。

攻克這種問題的武器就是“簡化”。去掉所有枝節(jié)，抓住問題本質(zhì)，解決的方法、需要的條件也就浮出水面了。

問題1的簡化思路和方法如下：題中人員關(guān)系混雜，那就從“裁員”開始，確定“主角”和“配角”。以書商為標(biāo)準(zhǔn)，“進(jìn)項”為加，“出項”為減，假鈔為0（沒有價值）。先看他與鞋匠的交易：出20元假鈔，價值為0;進(jìn)一雙修好的鞋，價值為16元;進(jìn)6元;之前出過2元（鞋匠原來欠他2元）。16+6-2=20，意味著他得鞋匠20元，即他欠鞋匠20元。再看他與顧客的交易：進(jìn)20元假鈔，價值為0;出一本書，價值為10元;出10元（找錢）。-10-10=-20，意味著他給顧客20元，即顧客欠他20元。他欠鞋匠的要還，還完之后不得不失;顧客欠他的不會還了，所以他損失20元。

問題2的簡化思路和方法如下：路程=速度×?xí)r間，小狗奔跑的時間就是甲乙兩人相遇所花的時間。此題只是做了一個巧妙的轉(zhuǎn)嫁：看似復(fù)雜的現(xiàn)實情境，其實對應(yīng)著非常簡潔的數(shù)學(xué)公式。

（三）如何實現(xiàn)“再創(chuàng)造”

弗賴登塔爾指出：“將數(shù)學(xué)作為一種活動來解釋和分析，建立在這一基礎(chǔ)上的教學(xué)方法，我稱之為‘再創(chuàng)造方法。”弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995：111。這是要讓學(xué)生參與活動，在活動中經(jīng)歷對學(xué)習(xí)材料的數(shù)學(xué)化處理過程，從而獲得知識。數(shù)學(xué)化的兩種形態(tài)——將現(xiàn)實材料加工為局部（不完整）的數(shù)學(xué)、將局部（不完整）的數(shù)學(xué)改造為結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)，都應(yīng)當(dāng)在指導(dǎo)學(xué)生“再創(chuàng)造”的教學(xué)中有所體現(xiàn)。

下面以“平均數(shù)”概念教學(xué)為例來說明。

首先，將現(xiàn)實問題加工為局部的數(shù)學(xué)問題——

教師出示問題：在學(xué)?！邦}王爭霸賽”中， A、B兩隊選手的得分情況如表2所示（答對1題得1分），請問：哪一隊水平高？

對這個問題，學(xué)生會想到，分別求兩隊的總分，然后比較。但是又會發(fā)現(xiàn)，兩隊的人數(shù)不同，將總分進(jìn)行比較存在不公平性，因此不能說明哪個隊的水平高。于是，用舊知識解決新問題已經(jīng)無能為力。

這是一個數(shù)學(xué)化的過程：把一個現(xiàn)實問題抽象成一個數(shù)學(xué)問題。但是對學(xué)生而言，這個數(shù)學(xué)問題又是一個局部的數(shù)學(xué)問題。

其次，將局部的數(shù)學(xué)問題加工為結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)問題——

師在人數(shù)一樣的情況下，用每個隊的總分作比較，便知道哪個隊的水平高。但是兩隊的人數(shù)不同，該如何判斷哪個隊的水平高呢？

（學(xué)生思考。）

師我們先不比A、B兩隊的水平高低，而把A隊和B隊的分?jǐn)?shù)制成條形統(tǒng)計圖。（出示圖2）大家發(fā)現(xiàn)了什么？

生方塊有多有少，每隊各個選手水平高低不一。

師確實，各個選手水平高低不一，哪個能代表本隊的水平呢？

生可以把多的方塊移到少的方塊上去，最后變成一樣多。

生A隊全部移成7，B隊全部移成8。

師（出示圖3）現(xiàn)在知道A、B兩隊哪一隊水平高了嗎？

生B隊。

師沒錯。這個一樣多的得分，就是各個選手得分的平均數(shù)。平均數(shù)可以代表一組數(shù)，而且它排除了這組數(shù)的總個數(shù)因素。（稍停）“移多補少”的方法直觀，但是需要作圖。一般地，平均數(shù)=總數(shù)÷份數(shù)。這個算法使用起來很方便。同學(xué)們可以用它來算一下A隊4個人的平均分和B隊3個人的平均分嗎？

（學(xué)生計算。）

師結(jié)果一樣嗎？

生一樣。

師利用這個方法，我們班上次期末考試的數(shù)學(xué)平均成績怎么算？

生把我們?nèi)嗤瑢W(xué)的數(shù)學(xué)成績加起來，然后除以全班總?cè)藬?shù)。

（教師總結(jié)，對平均數(shù)概念做進(jìn)一步說明。）

這個過程就是將局部的數(shù)學(xué)問題加工為結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)問題：用總數(shù)不能解決問題，就引入平均數(shù)的概念。而且，結(jié)構(gòu)化的過程是不斷進(jìn)階的：在今后的學(xué)習(xí)中，會出現(xiàn)用平均數(shù)不能解決的問題，于是又會形成局部的數(shù)學(xué)，需要引入中位數(shù)、眾數(shù)等概念，再使其結(jié)構(gòu)化。

除了數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)，在空間形式的學(xué)習(xí)中，也存在這兩種層次的“加工”。比如，由單位正方形的面積推出長方形的面積公式，這是較低層次的“加工”;系統(tǒng)地回憶長方形、平行四邊形、三角形、梯形面積公式的推導(dǎo)方法，形成如圖4所示的思維導(dǎo)圖，這是較高層次的“加工”，由此還可以大膽猜測圓的面積與長方形面積之間的關(guān)系（如圖5所示），得到圓的面積公式的推導(dǎo)方法。