孫靜

摘要：結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對(duì)數(shù)學(xué)文化的定義和汪曉勤教授對(duì)數(shù)學(xué)文化的分類(lèi)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以從三個(gè)方面融入數(shù)學(xué)文化：追本溯源，凸顯數(shù)學(xué)文化的科學(xué)價(jià)值;建立模型，展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用價(jià)值;感受數(shù)學(xué)美，強(qiáng)化數(shù)學(xué)文化的審美價(jià)值。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化;高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)模型;數(shù)學(xué)美

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“課標(biāo)”）指出：“數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類(lèi)文明的重要組成部分?！薄熬x課程內(nèi)容……注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透?！雹凇敖處煈?yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng);將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)活動(dòng)，還有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，有利于開(kāi)拓學(xué)生視野、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。”③筆者所在學(xué)校為藝術(shù)特色高中，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣不高、能力較弱。因此，筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中，格外重視滲透、融入數(shù)學(xué)文化。

課標(biāo)還指出：“數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類(lèi)生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)?！雹苡纱?，汪曉勤教授將數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵分成知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂(lè)和多元文化五個(gè)維度。其中，“知識(shí)源流”是指某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的歷史發(fā)展過(guò)程以及相關(guān)的人物、事件、思想等;“學(xué)科聯(lián)系”是指數(shù)學(xué)與其他知識(shí)領(lǐng)域（科學(xué)技術(shù)、社會(huì)科學(xué)、人文藝術(shù)等）之間的關(guān)聯(lián);“社會(huì)角色”是指數(shù)學(xué)對(duì)人類(lèi)文明進(jìn)步、社會(huì)發(fā)展所起的重要作用;“審美娛樂(lè)”是指數(shù)學(xué)的美和趣味;“多元文化”是指不同文明、不同地域在同一數(shù)學(xué)課題上的成就和貢獻(xiàn)。結(jié)合課標(biāo)定義的整體包容性和汪教授分類(lèi)的具體指向性，筆者參考課標(biāo)給出的數(shù)學(xué)的三大價(jià)值（科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和審美價(jià)值），在教學(xué)實(shí)踐中，從三個(gè)方面融入數(shù)學(xué)文化。

一、追本溯源，凸顯數(shù)學(xué)文化的科學(xué)價(jià)值

數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程是數(shù)學(xué)文化的基本方面。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以基于（本質(zhì)上是一種重構(gòu)）數(shù)學(xué)史，引導(dǎo)學(xué)生追本溯源，經(jīng)歷體驗(yàn)（不是簡(jiǎn)單講授或告知，而是引發(fā)思考與實(shí)踐）知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，從而凸顯數(shù)學(xué)文化的科學(xué)價(jià)值，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)提振學(xué)習(xí)信心，培養(yǎng)探索精神。

例如，教學(xué)《數(shù)系的擴(kuò)充——復(fù)數(shù)的概念》一課時(shí)，筆者首先出示圖1，讓學(xué)生談一談對(duì)數(shù)系擴(kuò)充的認(rèn)識(shí)。學(xué)生回顧數(shù)的發(fā)展過(guò)程，認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)需要推動(dòng)著數(shù)系不斷擴(kuò)充。接著，筆者讓學(xué)生在特定范圍內(nèi)解方程：（1）x+2=0，x∈N;（2）3x-2=0，x∈Z;（3）x2-2=0，x∈Q。學(xué)生進(jìn)一步回顧數(shù)的發(fā)展過(guò)程，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)需要（保持逆運(yùn)算的封閉性）推動(dòng)著數(shù)系不斷擴(kuò)充。然后，筆者請(qǐng)學(xué)生幫助數(shù)學(xué)家卡爾丹解決“將10分成兩部分，使兩者乘積為40”這一問(wèn)題，使學(xué)生形成與數(shù)學(xué)家一樣的認(rèn)知沖突，從而為數(shù)系再次擴(kuò)充做好鋪墊。

這里，基于數(shù)學(xué)史追本溯源地思考，讓學(xué)生經(jīng)歷了復(fù)數(shù)概念的產(chǎn)生過(guò)程，理解了復(fù)數(shù)的內(nèi)涵本質(zhì)和基本價(jià)值，并為進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的重要性質(zhì)和更多作用打下基礎(chǔ)。

再如，教學(xué)《基本不等式》一課時(shí)，引出問(wèn)題“兩個(gè)正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)有怎樣的大小關(guān)系”后，筆者引導(dǎo)學(xué)生基于a、b的幾何意義，即長(zhǎng)度分別為a、b的線(xiàn)段，尋找a+b2、ab的幾何意義。學(xué)生一開(kāi)始沒(méi)有頭緒，后來(lái)聯(lián)系射影定理，構(gòu)造出下頁(yè)圖2，從而發(fā)現(xiàn)a+b2≥ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）。這時(shí)，筆者介紹：這樣的構(gòu)圖方法源于古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》卷6命題13中給出的兩條已知線(xiàn)段的幾何中項(xiàng)的作法。然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生升次，得到a2+b22≥ab，再引導(dǎo)學(xué)生尋找a2+b22、ab的幾何意義。學(xué)生一開(kāi)始構(gòu)造了面積分別為a2、b2的正方形和面積為ab的長(zhǎng)方形，但是得不到a2+b22和ab的大小關(guān)系。后來(lái)聯(lián)系勾股定理，構(gòu)造出下頁(yè)圖3，從而發(fā)現(xiàn)a2+b22≥ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）。這時(shí)，筆者介紹：“這樣的構(gòu)圖就是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的‘弦圖。它不僅有豐富的內(nèi)涵，而且很漂亮，像一個(gè)風(fēng)車(chē)，因而被在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)選為會(huì)標(biāo)圖案?！?/p>

數(shù)學(xué)史上，人們對(duì)代數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)往往源于幾何圖形，因?yàn)椤昂芏嗍虑閱螒{抽象思維不易明白，加上直觀形象便清晰得多了”。因此，這里利用幾何意義展開(kāi)的探究，其實(shí)也是一種基于數(shù)學(xué)史的追本溯源（同時(shí)呈現(xiàn)了多元文化的碰撞），讓學(xué)生經(jīng)歷了基本不等式的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，使學(xué)生更好地理解基本不等式的本質(zhì)，并培養(yǎng)了探索精神和邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)。

二、建立模型，展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用價(jià)值

建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題（包括其他學(xué)科問(wèn)題），是數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的學(xué)科聯(lián)系維度和社會(huì)角色維度的集中體現(xiàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)努力跨越時(shí)空和領(lǐng)域，拓寬視野，尋找各種素材，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，從而展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用價(jià)值，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的作用。

例如，教學(xué)人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)《函數(shù)模型的應(yīng)用（二）》一節(jié)時(shí)，筆者改造例題并整合活動(dòng)素材，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)已知數(shù)量關(guān)系或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)（或科學(xué)理論），建立函數(shù)模型，解決實(shí)際問(wèn)題。

筆者首先出示教材例5：“假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一，每天回報(bào)40元;方案二，第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元;方案三，第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。請(qǐng)問(wèn)：你會(huì)選擇哪種投資方案？”引導(dǎo)學(xué)生由三種方案中天數(shù)與當(dāng)天的回報(bào)的關(guān)系建立三個(gè)函數(shù)模型：y=40（x∈N*），y=10x（x∈N*），y=0.4×2x-1（x∈N*）。由此作圖（或列表）分析三個(gè)函數(shù)模型的增長(zhǎng)情況，發(fā)現(xiàn)初始值小的函數(shù)增長(zhǎng)速度快。進(jìn)而列表計(jì)算前若干天累計(jì)的回報(bào)，得到在不同的投資天數(shù)限制下選擇不同的投資方案的結(jié)果。

筆者接著出示教材例6的情境：“某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨銷(xiāo)售利潤(rùn)x （單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%。”引導(dǎo)學(xué)生分析哪種類(lèi)型的函數(shù)可能符合情境中的建模要求，幫助學(xué)生充分認(rèn)識(shí)已學(xué)的各種類(lèi)型的函數(shù)及其簡(jiǎn)單組合的基本性質(zhì)（主要是增減和范圍情況）。

筆者最后出示教材數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的問(wèn)題：“中國(guó)茶文化博大精深。茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān)。經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60 ℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感。那么，在25 ℃室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，需要建立茶水溫度隨時(shí)間變化的函數(shù)模型解決問(wèn)題。由此，筆者引導(dǎo)學(xué)生分析這里的建模與前面的有什么不同：沒(méi)有給出精確的或大致的數(shù)量關(guān)系（也沒(méi)有已知的科學(xué)理論可以運(yùn)用），只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)收集數(shù)據(jù)，再利用數(shù)據(jù)建立（擬合）模型（也即建立科學(xué)理論）。然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案：制作85 ℃的茶水，每隔1分鐘測(cè)量一次水溫;將收集的數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖;觀察散點(diǎn)圖并考慮茶水溫度降到室溫就不再降的事實(shí)，選擇可以擬合數(shù)據(jù)的函數(shù)類(lèi)型;由收集的數(shù)據(jù)，通過(guò)待定系數(shù)法，確定函數(shù)的解析式（有關(guān)系數(shù)可以先利用多組數(shù)據(jù)求出多個(gè)值，再取平均值，以減小誤差）。

再如，教學(xué)人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)《事件的相互獨(dú)立性》一節(jié)時(shí)，筆者選取《三國(guó)演義》中的一些故事作為素材，引導(dǎo)學(xué)生基于經(jīng)驗(yàn)假設(shè)建立概率模型，解釋有關(guān)現(xiàn)象。

首先，筆者介紹背景并描述現(xiàn)象：“《三國(guó)演義》中有很多神射的表現(xiàn)，如呂布轅門(mén)射戟，但是打不贏就放亂箭的例子也比比皆是。孫堅(jiān)武藝高強(qiáng)，但最終卻死于亂箭之中?！弊寣W(xué)生解釋原因。學(xué)生討論覺(jué)得是孫堅(jiān)運(yùn)氣不好（即遇到小概率事件）或力戰(zhàn)疲憊所致。筆者引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用概率知識(shí)計(jì)算到底是不是小概率事件：一般士兵的射箭技術(shù)肯定沒(méi)有神射手好，假設(shè)其單次射中的概率為0.1，那么其單次不中的概率是0.9;由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式，其連續(xù)兩次射不中的概率是0.9×0.9=0.81;以此類(lèi)推，其連續(xù)100次射不中的概率為09100≈0.00003，那么其連續(xù)100次至少射中1次的概率約為1-0.00003=99.997%;即使要求至少射中3次，概率依然有1-C3100×0.13×0.997≈99.41%。對(duì)于這一計(jì)算結(jié)果，學(xué)生感覺(jué)震驚，發(fā)現(xiàn)冷兵器時(shí)代與其費(fèi)力培養(yǎng)神射手，不如讓一般士兵亂箭齊發(fā)——當(dāng)然，真實(shí)的情況下，也要考慮弓箭是否夠用。

在此基礎(chǔ)上，筆者讓學(xué)生聯(lián)想《三國(guó)演義》中其他與射箭有關(guān)的經(jīng)典故事。很多學(xué)生馬上想到諸葛亮草船借箭。筆者順勢(shì)描述現(xiàn)象并提出問(wèn)題：從《三國(guó)演義》中的描寫(xiě)看，當(dāng)時(shí)江上大霧彌漫，士兵放箭只能聞聲而去，你能試著計(jì)算概率，回答“諸葛亮能否如書(shū)中所說(shuō)的借到10萬(wàn)箭”這一問(wèn)題嗎？學(xué)生相互討論，普遍認(rèn)為，當(dāng)時(shí)環(huán)境惡劣，單次射中的概率估計(jì)比01還要低很多;要借到10萬(wàn)支箭，起碼要射100萬(wàn)支箭;當(dāng)時(shí)只有1萬(wàn)名弓箭手，每人起碼要射100支箭;無(wú)論是總箭數(shù)，還是每人射的箭數(shù)，恐怕都很難實(shí)現(xiàn)。進(jìn)而，通過(guò)具體計(jì)算，明確結(jié)果為小概率事件。

三、感受數(shù)學(xué)美，強(qiáng)化數(shù)學(xué)文化的審美價(jià)值

數(shù)學(xué)不僅有實(shí)用價(jià)值，而且有審美和激趣的價(jià)值，能給人以感官和智力上的享受。數(shù)學(xué)美和趣味是數(shù)學(xué)文化中最能打動(dòng)人、最具有魅力的方面。廣義的數(shù)學(xué)美包括數(shù)學(xué)趣味（能給人帶來(lái)愉悅），可分為簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美、對(duì)稱(chēng)美、和諧美、奇異美等。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)努力引導(dǎo)學(xué)生從感性到理性，發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造數(shù)學(xué)美，并運(yùn)用數(shù)學(xué)美解決問(wèn)題，從而展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的審美價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)。

比如，教學(xué)“基本不等式”時(shí)，讓學(xué)生感受“和”“積”“平方和”結(jié)構(gòu)的和諧美;教學(xué)“二項(xiàng)式定理”時(shí)，讓學(xué)生感受二項(xiàng)式系數(shù)排布的對(duì)稱(chēng)美，并引入高爾頓釘板，讓學(xué)生感受二項(xiàng)式系數(shù)和概率分布之間聯(lián)系的和諧美;教學(xué)“平面向量”時(shí)，讓學(xué)生感受向量表示的簡(jiǎn)潔美;教學(xué)“正、余弦定理”時(shí)，讓學(xué)生感受邊角關(guān)系結(jié)構(gòu)的輪換對(duì)稱(chēng)美;教學(xué)“球的體積”時(shí)，讓學(xué)生感受圓柱體積、球的體積、圓錐體積之間關(guān)系的和諧美;教學(xué)立體幾何時(shí)，引入繪畫(huà)中的悖論（如埃舍爾的作品），讓學(xué)生感受以二維視覺(jué)效果呈現(xiàn)三維不可能現(xiàn)象的奇異美;教學(xué)“函數(shù)的奇偶性”時(shí)，讓學(xué)生體驗(yàn)函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)美，并且展示、設(shè)計(jì)更多具有對(duì)稱(chēng)性的事物、圖案;教學(xué)“函數(shù)的周期性”時(shí)，融合單調(diào)性，讓學(xué)生體驗(yàn)螺旋曲線(xiàn)的和諧美，并且展示、設(shè)計(jì)更多具有螺旋特征的事物、圖案;教學(xué)“雙曲線(xiàn)”時(shí)，引入詩(shī)歌《悲傷的雙曲線(xiàn)》，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與文學(xué)結(jié)合所產(chǎn)生的奇異美;教學(xué)“圓錐曲線(xiàn)”時(shí)，讓學(xué)生感受正多邊形、圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)漸變的和諧美;教學(xué)“斐波那契數(shù)列”時(shí)，可以發(fā)掘黃金分割比例，介紹其廣泛的存在和應(yīng)用，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)的和諧美。

特別值得一提的是，教學(xué)函數(shù)或數(shù)列的內(nèi)容時(shí)，可以引入或強(qiáng)化迭代或遞推的概念，引導(dǎo)學(xué)生由此創(chuàng)作具有自相似特征的分形圖案，從而感受數(shù)學(xué)的奇異美。例如，筆者引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫(huà)板，從一根豎直的線(xiàn)段出發(fā)，進(jìn)行一次縮放、平移、旋轉(zhuǎn)并一分為二的變換，創(chuàng)作出一個(gè)簡(jiǎn)單的丫形結(jié)構(gòu)（如圖4所示）;重復(fù)進(jìn)行類(lèi)似的變換，瞬間創(chuàng)作出一棵規(guī)則的樹(shù)形結(jié)構(gòu)（如圖5所示）。

然后，筆者提問(wèn)：如何讓這一美術(shù)作品不那么機(jī)械、呆板，而更加生動(dòng)、富于變化呢？在學(xué)生自由嘗試的過(guò)程中，展示自然生長(zhǎng)的蕨樹(shù)（如圖6所示）和風(fēng)中搖曳的小樹(shù)（如圖7所示）等作品，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的創(chuàng)作方法，從而基于迭代的數(shù)學(xué)規(guī)則，通過(guò)改變規(guī)則樹(shù)形的初始結(jié)構(gòu)（如比例關(guān)系、位置、角度等），嘗試創(chuàng)作自己的作品。

同時(shí)，也可通過(guò)“現(xiàn)場(chǎng)創(chuàng)作+原理解析”的方式，讓學(xué)生領(lǐng)略音樂(lè)作品中的數(shù)學(xué)美。實(shí)際上，用數(shù)學(xué)方法的譜曲就是用等比法則定義12個(gè)數(shù)，讓這12個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于不同頻率的聲音，再將這12個(gè)音按一定的規(guī)律組合編排的過(guò)程;而將適當(dāng)編排的曲子在計(jì)算機(jī)上演奏，便會(huì)產(chǎn)生美妙動(dòng)聽(tīng)的音樂(lè)。

上述做法實(shí)際上是把數(shù)學(xué)和美術(shù)、音樂(lè)等藝術(shù)結(jié)合起來(lái)，融入數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)美。這樣的思路實(shí)際上大有可為，如引導(dǎo)學(xué)生充分探究如何基于數(shù)學(xué)知識(shí)作畫(huà)、創(chuàng)作音樂(lè)，且對(duì)藝術(shù)特色高中的學(xué)生尤其適用。

此外，還要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)美的直覺(jué)解決問(wèn)題。例如：求sin220°+cos250°+sin 20°·cos 50°的值。對(duì)此，可以引導(dǎo)學(xué)生由對(duì)稱(chēng)美的直覺(jué)，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)式cos220°+sin250°+cos 20°·sin 50°，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)：前式加后式等于2+sin 70°，前式減后式等于-12-sin 70°。從而很快得到前式等于34。這一解法非常巧妙，正是數(shù)學(xué)美激發(fā)思維的表現(xiàn)。