汪曉勤

摘要：將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)不是“為文化而文化”，而是“為教育而文化”。中國古代數(shù)學(xué)有著悠久的歷史、輝煌的成就和獨特的價值取向，是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化不可分割的重要組成部分。運用什么歷史素材、如何運用歷史素材乃是一線教師開展數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)實踐的主要障礙。從新知引入、問題設(shè)計、公式推導(dǎo)、定理證明四個方面，探討中國古代數(shù)學(xué)史上的問題、思想、方法等在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：中國古代數(shù)學(xué)史;中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化;數(shù)學(xué)文化;高中數(shù)學(xué)

中國古代數(shù)學(xué)有著悠久的歷史、輝煌的成就和獨特的價值取向，是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化不可分割的重要組成部分。在提倡中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)中小學(xué)課程（教材）的當(dāng)下，數(shù)學(xué)教師需要將中國古代數(shù)學(xué)史料融入數(shù)學(xué)教學(xué)之中。

實踐表明，運用什么歷史素材、如何運用歷史素材乃是一線教師開展數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)（HPM）實踐的主要障礙。本文試從新知引入、問題設(shè)計、公式推導(dǎo)、定理證明四個方面，探討中國古代數(shù)學(xué)史上的問題、思想、方法等在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用，既試圖為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考，也希望引發(fā)更多的討論。

一、新知引入方面

運用中國古代數(shù)學(xué)史料引入新課的方式有問題引入、法則引入、方法引入等。

以漢代的《九章算術(shù)》為代表的中國古代數(shù)學(xué)典籍基本上都采用了問題集的編寫方式，其中含有豐富多彩、分門別類的數(shù)學(xué)問題，一些問題（或改編后的新問題）可以用于高中數(shù)學(xué)的新知引入。例如，《孫子算經(jīng)》中的問題“金有出門望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾何”，可用于數(shù)列概念或等比數(shù)列概念的引入。

《九章算術(shù)》“方程章”中提出了世界上最早的有理數(shù)四則運算法則。其中，非零兩數(shù)的加法法則為“同名相益，異名相除”，非零兩數(shù)的減法法則為“同名相除，異名相益”。雖然中國古代數(shù)學(xué)家沒有明確提出絕對值的概念，但這里的“相益”說的就是絕對值相加，“相除”說的就是絕對值相減。因此，這一法則表明，設(shè)非零兩數(shù)為a和b，則：

|a+b|=|a|+|b|（ab>0），

|a|-|b|（ab<0，|a|≥|b|），

|b|-|a|（ab<0，|b|≥|a|），

|a-b|=|a|-|b|（ab>0，|a|≥|b|），

|b|-|a|（ab>0，|b|≥|a|），

|a|+|b|（ab<0）。

中國古代數(shù)學(xué)家尚未將數(shù)系從有理數(shù)擴(kuò)充到實數(shù)，但是上述運算法則顯然也適用于實數(shù)。因此，對任意非零實數(shù)a和b，均成立絕對值不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。而當(dāng)a或b等于零時，上述不等式顯然也成立。因此，用“正負(fù)術(shù)”來引入絕對值不等式，可謂恰如其分。

《九章算術(shù)》已經(jīng)給出了多位正整數(shù)開平方和開立方的方法。到了北宋時期，數(shù)學(xué)家賈憲將開方術(shù)推廣到了開高次方的情形，并給出了著名的二項式系數(shù)表。南宋數(shù)學(xué)家楊輝將其記載于《詳解九章算法》中，并稱之為“開方作法本原圖”（如圖1所示）。這一名稱清楚地表明了，今天所說的“賈憲三角”最初實際上源于開方。開方是二項式定理誕生的真正動因，因而可通過開方問題和方法來引入該定理。

三國時代，數(shù)學(xué)家劉徽在推導(dǎo)圓的面積公式時所采用的“割圓術(shù)”也可用于導(dǎo)數(shù)幾何意義的教學(xué)。學(xué)生在初中學(xué)過圓的切線的靜態(tài)定義，即與圓有一個公共點的直線，或過圓上一點且垂直于該點與圓心連線的直線，或到圓心的距離等于半徑的直線。這是切線概念的認(rèn)知起點，但該定義并不適用于一般的曲線。通過割圓過程中正多邊形一邊的不斷變化（如圖2所示），可引出切線的動態(tài)定義。這一新定義適用于任意曲線。

二、問題設(shè)計方面

根據(jù)數(shù)學(xué)史料來編制數(shù)學(xué)問題的策略，有再現(xiàn)式、情境式、條件式、目標(biāo)式、對稱式、串聯(lián)式和自由式七種。

再現(xiàn)式直接采用歷史上的問題。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，可直接采用的中國古代數(shù)學(xué)史上的問題很多。例如，程大位的《算法統(tǒng)宗》中載有以下數(shù)列問題：

行程減等歌：三百八十七里關(guān)，初行健步不為難。次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)。要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還。（在等比數(shù)列{an}中，已知n、q、Sn，求a1）

浮屠層級歌：遠(yuǎn)望魏巍塔七層，紅光點點倍加增。共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈。（在等比數(shù)列{an}中，已知n、q、Sn，求a1）

八子分綿歌：九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏。次第每人多十七，要將第八數(shù)來言。務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳。[在等差數(shù)列{an}中，已知n、d、Sn，求ai（i=1，2，…，8）]

九兒問甲歌：一個公公九個兒，若問生年總不知。自長排來爭三歲，共年二百七歲期。借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推。[在等差數(shù)列{an}中，已知n、d、Sn，求ai（i=1，2，…，9）]

除了再現(xiàn)，還可以采用多種方式改編中國古代數(shù)學(xué)史上的問題。例如，《九章算術(shù)》“均輸章”中載有三個數(shù)列問題，其中一個為“竹筒容積”問題：

今有竹九節(jié)，下三節(jié)容四升，上四節(jié)容三升。問：中間二節(jié)欲均容，各多少？ [在等差數(shù)列{an}中，已知S4，a7+a8+a9，求ai（i=1，2，…，9）]

程大位通過條件式（改變已知條件），將這一問題改編為“竹筒量米歌”③：

家有九節(jié)竹一莖，為因盛米不均平。下頭三節(jié)三升九，上稍四節(jié)貯三升。惟有中間二節(jié)竹，要將米數(shù)次第盛。若是先生能算法，教君只算到天明。

類似地，我們可以通過條件式設(shè)計更多的數(shù)列問題：

1.今有竹九節(jié)，各節(jié)的容積構(gòu)成等差數(shù)列。已知最下一節(jié)的容積為2升，最上一節(jié)的容積為半升，求各節(jié)的容積。[已知a1=12，a9=2，求ai（i∈N*，2≤i≤8） ]

2.今有竹九節(jié)，各節(jié)的容積構(gòu)成等差數(shù)列。已知總?cè)莘e為9升，最下一節(jié)的容積是最上一節(jié)的兩倍，求各節(jié)的容積。[已知S9=9，a9=2a1，求ai（i∈N*，1≤i≤8） ]

3.今有竹九節(jié)，各節(jié)的容積構(gòu)成等差數(shù)列。已知最下一節(jié)的容積為2升，最上四節(jié)的容積為3升，求各節(jié)的容積。[已知S4=3，a9=2，求ai（i∈N*，1≤i≤8） ]

4.今有竹九節(jié)，各節(jié)的容積構(gòu)成等差數(shù)列。已知最下三節(jié)的容積為4升，最上三節(jié)的容積為2升，求各節(jié)的容積。[已知S3=2，a7+a8+a9=4，求ai（i∈N*，1≤i≤9） ]

5.今有竹九節(jié)，各節(jié)的容積構(gòu)成等差數(shù)列。最下四節(jié)的容積為5升，最上五節(jié)的容積為4升，求各節(jié)的容積。[已知S5=4，a6+a7+a8+a9=5，求ai（i∈N*，1≤i≤9） ]

6.今有竹九節(jié)，各節(jié)的容積構(gòu)成等差數(shù)列。已知總?cè)莘e為9升，最上五節(jié)的容積與最下四節(jié)的容積相等，求各節(jié)的容積。[已知S9=9，S5=a6+a7+a8+a9，求ai（i∈N*，1≤i≤9） ]

上述問題中，若將所求項改為節(jié)數(shù)、各節(jié)的總?cè)莘e、公差等，就成為自由式問題了：

1.今有竹若干節(jié)，各節(jié)的容積構(gòu)成等差數(shù)列。已知最下四節(jié)的容積為5升，最上四節(jié)的容積為3升，其余各節(jié)的容積是總?cè)莘e的311，求竹的節(jié)數(shù)。（已知S4=3，an-3+an-2+an-1+an=5，a5+a6+…+an-4=311Sn，求n ）

2.今有竹五節(jié)，各節(jié)的容積構(gòu)成等比數(shù)列。已知最上二節(jié)的容積是最下二節(jié)的2764，中間一節(jié)比最上一節(jié)多了23升，求五節(jié)的總?cè)莘e。[已知S2=2764（a4+a5），a3-a1=23，求S5]

3.《九章算術(shù)》給出“竹筒容積”問題中的公差d=43-349-32+42。請你用今天的數(shù)列知識來檢驗上述結(jié)果。若在等差數(shù)列{an}中，已知a1+a2+…+am=p，al+al+1+…+an=q，其中m、l、n為正整數(shù)，1≤m

再如，《九章算術(shù)》“盈不足章”載有“蒲莞同長”的問題：

今有蒲生一日，長三尺;莞生一日，長一尺。蒲生日自半，莞生日自倍。問：幾何日而長相等？

據(jù)此，可編制以下問題：

1.（目標(biāo)式）已知蒲第一天長3尺，莞第一天長1尺。以后每一天，蒲生長的長度是前一天的一半，莞生長的長度是前一天的2倍。問：10天后莞的總長度是蒲的幾倍？

2.（條件式）已知蒲第一天長4尺，莞第一天長14尺。以后每一天，蒲生長的長度是前一天的一半，莞生長的長度是前一天的2倍。問：經(jīng)過幾天后，兩者總長度相等？

3.（條件式）已知蒲第一天長5尺，莞第一天長15尺。以后每一天，蒲生長的長度是前一天的15，莞生長的長度是前一天的5倍。問：經(jīng)過幾天后，兩者總長度相等？

4.（自由式）設(shè)蒲、莞的生長規(guī)律分別為f（x）=61-12x，g（x）=2x-1，其中x表示時間（單位：日），求蒲、莞同長時經(jīng)過的時間。

5.（自由式）已知蒲第一天長3尺，莞第一天長1尺。從第二天起，蒲生長的長度是前一天的23，莞生長的長度是前一天的1.5倍。設(shè)蒲、莞經(jīng)過n天生長后總長度之比為an，求數(shù)列{an}的通項公式和前n項和。

又如，中國古代多面體體積理論在世界數(shù)學(xué)史上可謂一枝獨秀?！毒耪滤阈g(shù)》中給出了三種最基本的立體模型：塹堵、陽馬和鱉臑。如圖3所示，正方體的對角面將正方體分割成兩部分，每一部分稱為“塹堵”;塹堵的對角面將塹堵分割成兩部分，一為陽馬，一為鱉臑。劉徽利用無窮分割求和的方法證明陽馬和鱉臑的體積之比為2∶1，從而解決了棱錐的體積問題。

其中，鱉臑是一個三棱錐，其底面為直角三角形，一條側(cè)棱經(jīng)過底面的一個銳角頂點且垂直于底面。鱉臑是“三垂線”最簡單的立體模型，利用該模型，可編制許多自由式問題：

如圖4，在鱉臑ABCD中，底面BCD為直角三角形，∠BCD為直角，側(cè)棱AB與底面BCD垂直，AB=BC=CD=1，E為側(cè)棱AD的中點。

（1）試證明：點A、B、C、D位于同一個球面;

（2）求∠BEC的大小;

（3）求異面直線AD和BC之間的距離;

（4）分別求二面角BACD和BADC的大小;

（5）分別求二面角ABCE和BECD的大小;

（6）分別求點A和點D到平面BCE的距離;

（7）求AE與平面BEC所成的角的大小;

（8）設(shè)P為AD上的一個動點，求PB+PC的最小值。

類似地，也可編制許多“陽馬中的問題”。

另外，中國古代的測量問題，如劉徽的《海島算經(jīng)》中的海島測量問題，也可用于解三角形的教學(xué)：教師讓學(xué)生用所學(xué)的解三角形的知識來測量海島的高度，并將學(xué)生的解決方案與古代的方法作比較。

三、公式推導(dǎo)方面

高中數(shù)學(xué)中的某些公式可以利用中國古代數(shù)學(xué)家的方法加以推導(dǎo)。

例如，利用祖暅原理，可以證明等底等高的三棱錐體積相等，進(jìn)而從三棱柱出發(fā)推導(dǎo)棱錐體積公式，還可以推導(dǎo)圓錐體積公式。近年來，由于技術(shù)的運用，祖暅推導(dǎo)球體積的方法不再被視若畏途，兩個底面半徑相同的直交圓柱公共部分——“牟合方蓋”也漸漸走進(jìn)高中數(shù)學(xué)課堂，為學(xué)生所知。

再如，楊輝在解決《九章算術(shù)》中的“二馬相遇”問題時，采用幾何方法來求等差數(shù)列之和。已知良馬第一天行193里，以后每天都比前一天多行13里。為求良馬15天的行程，構(gòu)造如圖5所示的“良馬圖”：每一長方形的寬均為1，長分別為各天的行程193、193+13、193+2×13……193+14×13，于是，階梯形的面積即為良馬的15天行程。由此，將等差數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形的面積問題。在此基礎(chǔ)上，利用圖6和圖7，分別可得等差數(shù)列求和公式Sn=na1+12n（n-1）d，Sn=na1+an2。

又如，劉徽在《九章算術(shù)注》中用兩種方法推導(dǎo)了正四棱臺（方亭）的體積公式。設(shè)正四棱臺的上、下底面的邊長分別為a和b，高為h，如圖8所示，將正四棱臺分割成1個長方體（體積為a2h）、4個塹堵（每一個的體積為12×b-a2×ah）和4個陽馬（每一個的體積為13×b-a22×h），則正四棱臺的體積V=a2h+4×14（b-a）ah+4×13×b-a22×h=13（a2+ab+b2）h。或者分別考察a2h、abh和b2h中所含長方體、塹堵和陽馬的個數(shù)，得到表1，從而得知a2h+abh+b2h中共含3個正四棱臺，于是得到每一個正四棱臺的體積V=13（a2+ab+b2）h。

此外，還可以借鑒中國古代數(shù)學(xué)家的方法來推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式。

例如，趙爽將四個同樣的直角三角形和一個以直角三角形兩條直角邊之差為邊長的小正方形拼成一個階梯形（如圖9所示，可以分割成分別以兩條直角邊為邊的兩個正方形），然后移動兩個直角三角形，得到以直角三角形斜邊為邊的正方形（如圖10所示），從而證明了勾股定理。

借鑒上述方法，我們可以將斜邊為1、一個銳角分別為α和β的兩對直角三角形拼成一個菱形（如圖11所示），算出其面積為sin（α+β）;然后移動兩個直角三角形，得到一個階梯形（如圖12所示），算出其面積為sin αcos α+sin βcos β+（sin α-sin β）（cos β-cos α）=sin αcos β+cos αsin β，從而得兩角和的正弦公式。面積技巧（兩數(shù)相乘之幾何意義）是中國古代數(shù)學(xué)中重要的解題方法，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)。張景中院士基于教育數(shù)學(xué)思想把面積技巧發(fā)展為一般性方法并建立了以面積關(guān)系為邏輯主線的幾何新體系（不同于歐氏幾何的體系）。

四、定理證明方面

高中數(shù)學(xué)中的一些定理可以利用中國古代數(shù)學(xué)家的方法加以證明。

例如，盡管趙爽用“弦圖”來證明勾股定理，我們也可以用它來證明基本不等式。其實，趙爽在為《周髀算經(jīng)》做的注中還充分利用如圖13所示的“大方圖”（“弦圖”的直角三角形外翻圖），得到“倍弦實，滿外大方而多黃實，黃實之多，即勾股差實”。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長和斜邊長分別為a、b、c，則這一結(jié)論就是2c2=（a+b）2+（b-a）2 。后來，北宋數(shù)學(xué)家劉益、南宋數(shù)學(xué)家楊輝等又利用這個“大方圖”，求解一類“直田”問題，即“已知a+b和ab，求a、b”或“已知a-b和ab，求a、b”的問題。

利用趙爽的“大方圖”，很容易得到不等式（a+b）2≥4ab，即a+b22≥ab，即a+b2≥ab（a，b≥0），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等式成立。

從“大方圖”中，還可以獲得啟示：通過長方形的等積變換推導(dǎo)出基本不等式。在寬和長分別為a和b的矩形的左邊截去一個直角邊長為a的等腰直角三角形，將該三角形補到矩形的右邊，得到一個等腰梯形;延長梯形兩腰，得到一個等腰直角三角形（如圖14所示）;比較矩形的面積和等腰直角三角形的面積，即得不等式ab≤a+b22。

不僅趙爽的“弦圖”，劉徽的“勾股容方圖”也有豐富的代數(shù)內(nèi)涵，可以用于證明基本不等式?！毒耪滤阈g(shù)》“勾股章”中記載了勾股容方公式：若設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，則與直角三角形具有公共直角的內(nèi)接正方形邊長d=aba+b，即兩條直角邊長的調(diào)和中項之半。

如圖15，寬和長分別為a和b的矩形ACBR中，F(xiàn)CED、URVS分別為兩個直角三角形的內(nèi)接正方形，延長VS，交FD于點T。顯然a≤b，則TD≤ST，即2aba+b-a≤b-2aba+b，整理可得不等式ab≤a+b22。

如圖16，寬和長分別為a和b的矩形ACBR中，利用楊輝的“勾中容橫、股中容直”原理，可以得到兩個直角三角形內(nèi)接正方形的等積長方形。移動兩個等積長方形，可以發(fā)現(xiàn)，矩形ACBR由一對內(nèi)接正方形、一對等積長方形和中間的一個“小洞”（當(dāng)a=b時，這個小“洞”消失）構(gòu)成，于是有4aba+b2≤ab，整理可得不等式ab≤a+b22。

如下頁圖17，以直角三角形ABC內(nèi)接正方形的頂點D為中心，將直角三角形ABC順時針旋轉(zhuǎn)180°。旋轉(zhuǎn)前后兩個直角三角形共含有四個內(nèi)接正方形，當(dāng)a>b時，多余兩個小直角三角形;當(dāng)a=b時，兩個小直角三角形消失。同樣可得不等式4aba+b2≤ab。

五、結(jié)語

將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)，不是“為文化而文化”，而是“為教育而文化”。教師不應(yīng)以狹隘地宣揚“中國第一”為旨趣，而應(yīng)以優(yōu)化教學(xué)目標(biāo)、促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、落實立德樹人為己任。

以上我們看到，中國古代數(shù)學(xué)史料融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要方式為復(fù)制式和順應(yīng)式。在有關(guān)概念和命題的教學(xué)中，教師可將中國古代數(shù)學(xué)史上的問題直接用于新知引入與應(yīng)用環(huán)節(jié)、課堂練習(xí)和課外作業(yè)設(shè)計，也可對中國古代數(shù)學(xué)史上的問題進(jìn)行適當(dāng)改編，形成問題串，實施變式教學(xué)。在有關(guān)公式的教學(xué)中，中國古代數(shù)學(xué)家的推導(dǎo)方法可以直接用于公式的推導(dǎo)。在有關(guān)定理的教學(xué)中，則可將中國古代數(shù)學(xué)史上的問題、思想、方法間接地用于定理的證明——這種間接用法，頗有“無心插柳”的意味。

當(dāng)然，教師也可以采用附加式。例如，在球體積公式的教學(xué)中，教師可以講述中國古代數(shù)學(xué)家的故事：劉徽孜孜以求，發(fā)現(xiàn)牟合方蓋與內(nèi)切球體積之間的關(guān)系，但未能求出牟合方蓋的體積，從而與球體積公式失之交臂，劉徽的“欲陋形措意，懼失正理，敢不闕疑，以俟能言者”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家實事求是的科學(xué)態(tài)度;祖暅的“詣微之時，雷霆不能入”反映了數(shù)學(xué)家執(zhí)著專注的探究精神。

人們曾經(jīng)以為，中國古代數(shù)學(xué)史作為一個學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域已成了“貧礦”，但當(dāng)代數(shù)學(xué)史學(xué)者的研究糾正了這一誤解。今天，當(dāng)我們帶著HPM的眼光走進(jìn)中國古代數(shù)學(xué)史時，可以更加深刻地感受到，該研究領(lǐng)域是一座巨大的“富礦”，本文所呈現(xiàn)的不過是其中幾片帶有光澤的“礫石”而已。我們有理由相信，中國古代數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)之間的關(guān)系必將成為國內(nèi)HPM研究的重要課題。