成金嬋

［摘 ?要］ 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有多維性，推理能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要維度。文章以“積的變化規(guī)律”為例，嘗試進(jìn)行指向推理能力培養(yǎng)的課堂實(shí)踐與探索，以發(fā)展學(xué)生推理能力，提升學(xué)生核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］ 推理能力；核心素養(yǎng)；課堂實(shí)踐與探索

推理能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要維度。它不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必備的一種思維方式，更是學(xué)生終身學(xué)習(xí)、適應(yīng)社會(huì)不可或缺的重要能力［１］。數(shù)學(xué)推理具有很強(qiáng)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，它能夠使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去偽存真，從眾多看似“雜亂無(wú)章”的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中獲得某種規(guī)律性認(rèn)識(shí)，從而在這個(gè)過(guò)程中提升學(xué)生思維能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

一、創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)合理猜想

數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)：“要成為一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，你必須首先是一個(gè)好的猜想家。”猜想是推理的前奏。科學(xué)合理的猜想有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，還能夠?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)推理提供一定的方向。因此，要培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，教師就應(yīng)當(dāng)為學(xué)生提供合理猜想的時(shí)間和空間。

師：星期天，淘氣和媽媽一起去超市購(gòu)物。他們打算買一些大米，大米的價(jià)格是每包6元，這個(gè)時(shí)候，媽媽準(zhǔn)備出題考考淘氣：①如果買2包大米，需要多少元？②如果買20包大米，需要多少元？③如果買100包大米，需要多少元？同學(xué)們，你們能夠幫助淘氣解決這些難題嗎？

生1：第①題可以列式為6×2=12（元）。

生2：第②題可以列式為6×20=120（元）。

生3：第③題可以列式為6×100=600（元）。

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察并分析這3個(gè)算式，說(shuō)一說(shuō)你有什么發(fā)現(xiàn)？

（學(xué)生討論、交流）

生1：從上往下觀察，我發(fā)現(xiàn)，如果其中的一個(gè)因數(shù)不變，而另一個(gè)因數(shù)變大，那么積也會(huì)變大。

生2：從下往上觀察，我發(fā)現(xiàn)，如果其中的一個(gè)因數(shù)不變，而另一個(gè)因數(shù)變小，那么積也會(huì)變小。

師：對(duì)。同學(xué)們還有其他的發(fā)現(xiàn)嗎？

生3：從上往下觀察，一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘一個(gè)數(shù)，那么積也乘同一個(gè)數(shù)；從上往下觀察，一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)除以一個(gè)數(shù)，那么積也除以同一個(gè)數(shù)。

師：你能結(jié)合這3個(gè)式子具體說(shuō)一說(shuō)嗎？

生3：比如，從上往下看時(shí)，因數(shù)6不變，另一個(gè)因數(shù)2乘10（變成20），積也乘10（變成120）；因數(shù)6不變，另一個(gè)因數(shù)20乘5（變成100），積也乘5（變成600）。從下往上看時(shí)，也是同樣的道理。

師：剛才我們得出了兩種結(jié)論：①一個(gè)因數(shù)不變，而另一個(gè)因數(shù)變大（小），那么積也會(huì)變大（?。?。②一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘（或除以）一個(gè)數(shù)，那么積也乘（或除以）同一個(gè)數(shù)。

師：同學(xué)們比較一下，哪個(gè)結(jié)論更好一些呢？

生4：我感覺(jué)，第①個(gè)表達(dá)得比較模糊，第②個(gè)結(jié)論更好些，表達(dá)得更準(zhǔn)確。

教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)生活情境，激發(fā)學(xué)生興趣，在學(xué)生列出算式后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察3個(gè)算式，學(xué)生在觀察、分析和討論中進(jìn)行猜想和推理。需要注意的是，由于認(rèn)知水平的差異，學(xué)生進(jìn)行猜想和推理的結(jié)論也是有差異的。教師應(yīng)該順勢(shì)而教，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩種推論進(jìn)行比較，使學(xué)生自主探索出積的變化規(guī)律。

二、科學(xué)驗(yàn)證，夯實(shí)推理根基

數(shù)學(xué)是依靠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评斫M成的有機(jī)系統(tǒng)。學(xué)生通過(guò)觀察和分析做出的初步猜想，還不能稱之為真正的數(shù)學(xué)結(jié)論。教師要向?qū)W生滲透“推理與證明”的科學(xué)意識(shí)，使學(xué)生始終保持嚴(yán)謹(jǐn)、理性的思考，反復(fù)從不同視角、不同情況驗(yàn)證結(jié)論成立的必然性，并能夠有條理地表達(dá)出自己的思考過(guò)程，使學(xué)生的推理真正做到言之有理，落筆有據(jù)［２］。

（一）舉例驗(yàn)證，感悟歸納推理

在小學(xué)階段，學(xué)生接觸到的歸納推理大多為不完全歸納推理。在驗(yàn)證過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生舉出更多的例子來(lái)驗(yàn)證猜想結(jié)論的正確性，就屬于一種歸納推理。但是，小學(xué)生推理經(jīng)驗(yàn)不足，教師應(yīng)盡量細(xì)化驗(yàn)證的過(guò)程，對(duì)于舉例、計(jì)算等環(huán)節(jié)做出更加具體的指導(dǎo)，并引導(dǎo)學(xué)生充分考慮一些容易被忽視的特殊情況，這樣才能讓學(xué)生真正經(jīng)歷推理的過(guò)程，體驗(yàn)歸納推理的科學(xué)性。

師：通過(guò)觀察和分析上面的例子，我們已經(jīng)做出了猜想。那么，我們的猜想是否正確呢？是不是所有的乘法算式都具有這樣的規(guī)律呢？

生1：我們可以通過(guò)列舉更多的例子來(lái)驗(yàn)證我們的猜想。

師：對(duì)，我們?cè)谂e例的時(shí)候要特別考慮一些特殊的情況。

（學(xué)生以小組為單位進(jìn)行舉例驗(yàn)證）

生1：我們小組列舉了這樣兩組算式，發(fā)現(xiàn)我們?cè)瓉?lái)猜想的結(jié)論是正確的。

生2：我們小組有新的發(fā)現(xiàn)。我們發(fā)現(xiàn)“0”這個(gè)數(shù)字并不完全滿足我們的猜想。比如，2×6=12，如果因數(shù)2不變，另一個(gè)因數(shù)6×0＝0，那么2×0=0，這就相當(dāng)于積12×0=0，這種情況下是符合這個(gè)規(guī)律的；但是，當(dāng)除以“0”時(shí)，情況就不一樣了。因?yàn)?不能作除數(shù)，所以如果這個(gè)數(shù)是0，就導(dǎo)致算式?jīng)]有意義了。

師：對(duì)，這一點(diǎn)發(fā)現(xiàn)很重要。那么，現(xiàn)在我們?nèi)绾蝸?lái)修正自己的結(jié)論呢？

生3：應(yīng)該把“0”這種情況排除在外。結(jié)論為：一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘（或除以）一個(gè)數(shù)（0除外），那么積也乘（或除以）同一個(gè)數(shù)。

師：這樣我們得出的結(jié)論就更嚴(yán)謹(jǐn)了。

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)舉例來(lái)論證猜想的正確性。在舉例的過(guò)程中，不但進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)積的變化規(guī)律的認(rèn)知深度，還通過(guò)對(duì)“0”這種特殊情況的探討，使學(xué)生的思維更加嚴(yán)謹(jǐn)，在親身經(jīng)歷由個(gè)別到一般的歸納推理過(guò)程中感受到了推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用。

（二）數(shù)形結(jié)合，使結(jié)論更穩(wěn)固

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微?！庇脭?shù)形結(jié)合的策略來(lái)驗(yàn)證猜想結(jié)論的正確性主要是基于以下兩點(diǎn)考慮：一是小學(xué)生形象思維較強(qiáng)，抽象思維薄弱，而數(shù)形結(jié)合可以在學(xué)生思維形象性和數(shù)學(xué)規(guī)律抽象性之間搭建一座橋梁，從而延緩學(xué)生認(rèn)知坡度；二是盡管在上述教學(xué)中，學(xué)生通過(guò)不完全歸納推理已經(jīng)驗(yàn)證了結(jié)論的正確性，但不完全歸納推理仍然具有較強(qiáng)的或然性，學(xué)生畢竟無(wú)法窮盡所有的算式對(duì)這條規(guī)律進(jìn)行反復(fù)驗(yàn)證，而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合驗(yàn)證“積的變化規(guī)律”，不但能夠使數(shù)學(xué)結(jié)論更加穩(wěn)固、更加令人信服，還能夠提升學(xué)生對(duì)“積的變化規(guī)律”的理解深度。

師：除了用舉例的辦法，我們還能夠用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)驗(yàn)證我們結(jié)論的正確性。這是一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖1），它的長(zhǎng)是2厘米，寬是1厘米，那么它的面積是多少呢？

生1：它的面積是2×1=2（平方厘米）。

師：如果它的寬不變，長(zhǎng)度乘2（如圖2），這時(shí)它的面積是多少？

圖2

生1：2×2=4（厘米），它的面積是4×1=4（平方厘米），而原來(lái)的面積是2平方厘米，2×2=4（平方厘米）

生2：寬不變，長(zhǎng)乘2，面積也乘2，這與我們的結(jié)論是相符合的。

師：如果它的寬不變，長(zhǎng)度乘3（如圖），這時(shí)它的面積是多少？

生1：2×3=6（厘米），它的面積是6×1=6（平方厘米），而原來(lái)的面積是2平方厘米，2×3=6（平方厘米）。

生2：寬不變，長(zhǎng)乘3，面積也乘3，這與我們的結(jié)論也是相符合的。

師：由圖可知，寬不變，長(zhǎng)乘幾，面積就乘幾。長(zhǎng)方形的寬是一個(gè)因數(shù)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是另一個(gè)因數(shù)，通過(guò)推理，我們能夠清晰地看到面積隨著長(zhǎng)的變化而變化，也就是積隨著因數(shù)的變化而變化。

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合的策略理解、驗(yàn)證“積的變化規(guī)律”，這就使得抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律以比較直觀形象的方式呈現(xiàn)出來(lái)，助力學(xué)生理解。此外，學(xué)生通過(guò)把數(shù)與形結(jié)合起來(lái)，通過(guò)面積隨著長(zhǎng)的變化而變化體現(xiàn)出乘積隨著因數(shù)的變化而變化，從而進(jìn)一步有力地論證了推理結(jié)論的正確性。

新課標(biāo)將“推理能力”列為十大核心詞之一。數(shù)學(xué)推理能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，其在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要作用。推理能力的培養(yǎng)與發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。教師要從創(chuàng)設(shè)情境、引發(fā)猜想、科學(xué)驗(yàn)證等環(huán)節(jié)入手，引導(dǎo)學(xué)生親身體驗(yàn)推理的全過(guò)程，不斷積累觀察、分析、猜想、抽象、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)手段，以達(dá)到發(fā)展學(xué)生推理能力，提升學(xué)生核心素養(yǎng)的教育目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

［１］ ?陳煥勇. 小學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)方法［Ｊ］. 基礎(chǔ)教育研究，２０２１（１０）：４８－４９.

［２］ ?周仁科，胡詩(shī)旗. 淺議小學(xué)數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)［Ｊ］. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育，２０２１（０７）：２３.