李昌官

摘要：現(xiàn)行高中數(shù)學教材關于周期函數(shù)有兩種不等價的定義，引發(fā)了一些爭論。為了減少不必要的爭論與困惑，從數(shù)學與現(xiàn)實的關系、數(shù)學本質、數(shù)學思維的嚴謹性、數(shù)學史、課程與教學等視角比較這兩種定義的優(yōu)劣。由此，得到教學建議：作為課程（教學）內容的周期函數(shù)定義應盡量統(tǒng)一；周期函數(shù)概念的教學應淡化形式、注重實質；周期函數(shù)概念的應用應基于實質，而不拘泥于形式；要辯證地看待數(shù)學概念界定的爭議。

關鍵詞：高中數(shù)學；周期函數(shù)；數(shù)學定義；形式與實質；辯證思維

關于周期函數(shù)定義的探討、爭論既是一個歷史問題，也是一個現(xiàn)實問題。從歷史看，自周期函數(shù)的概念產生開始，相關探討、爭論一直沒有停止過。從現(xiàn)實看，不同版本高中數(shù)學教材關于周期函數(shù)定義的不同表達，再次引發(fā)了對此問題的探討、爭論。

一、周期函數(shù)定義爭論的焦點

現(xiàn)行高中數(shù)學教材給出的周期函數(shù)概念在表述細節(jié)上有一些差異。這里把等價的、可以相互導出的定義歸為同一類，發(fā)現(xiàn)不等價的周期函數(shù)定義有如下兩類（人教A版、人教B版、北師大版、蘇教版、湘教版、滬教版的與定義1同類，鄂教版的與定義2同類）：

1.一般地，設函數(shù)f（x）的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D，都有x+T∈D且f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫作這個函數(shù)的周期。

2.一般地，設函數(shù)f（x）的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D，都有x±T∈D且f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫作這個函數(shù)的周期。

從概念的內涵看，由定義1的“對每一個x∈D，都有x+T∈D”可知，定義域D必然無上界（T>0時）或無下界（T<0時）；由定義２的“對每一個x∈D，都有x±T∈D”可知，定義域D必然無上界且無下界。由概念的外延看，符合定義２的周期函數(shù)的集合真包含于符合定義１的周期函數(shù)的集合。

專家、學者們普遍認為，這兩種定義都沒有錯。但它們的差異引發(fā)了一些爭論，主要如下：

1.函數(shù)y=1x∈∪+∞n=1n－1，n－12n，y=x－［x］x∈∪+∞n=1n－1，n－12n等符合定義1（T=1，2，3，…），但是它們在區(qū)間n－1，n－12n（n∈N*）上的圖像是不重合的，那么它們是不是周期函數(shù)？

2.周期函數(shù)的定義域D必須無上界且無下界，還是只要無上界或無下界？y=sin x（x∈［0，+∞）），y=cos x（x∈（－∞，2））等定義域單側無界的函數(shù)是不是周期函數(shù)？

3.如果定義1與定義2都沒有科學性錯誤，那么定義1與定義2哪一個更合適高中生學習？還是它們沒有優(yōu)劣之分？

二、周期函數(shù)定義探討的幾個視角

對以上爭論，不同的專家、學者有不同的看法。這些爭論是歷史上周期函數(shù)定義爭論的重演和延續(xù)。20世紀中葉，國外數(shù)學家探討過這些問題。20世紀80年代至今，我國許多學者、教師也在探討這些問題。這就引出一個新的問題：為何這些爭論會一直延續(xù)至今？周期函數(shù)的定義是不需要統(tǒng)一，還是無法統(tǒng)一？應該從哪些視角進行探討？

（一）數(shù)學與現(xiàn)實關系的視角

數(shù)學模型是以簡約、近似的方式從數(shù)與形兩個方面刻畫現(xiàn)實世界的。針對不同的自然現(xiàn)象，人們可以構造出不同的數(shù)學模型。針對同樣的自然現(xiàn)象，為了不同的研究目的，人們也可以構造出不同的數(shù)學模型。周期函數(shù)的定義1、定義2都可以在現(xiàn)實世界中找到原型。例如，人體的“生物鐘”、單擺運動等各種周期性活動可看作定義1的原型，起于何時、終于何時不清楚的晝夜交替和春夏秋冬交替則可看作定義2的原型。既然定義1、定義2都可以在現(xiàn)實世界中找到原型，那么從理論上講，這兩個定義的確都是正確的。

（二）數(shù)學本質的視角

周期函數(shù)的本質特征是“周而復始、循環(huán)往復”，但是定義1給人的感覺是只有“往”沒有“復”。另外，數(shù)學思維有一個重要的特征：最大限度地追求用一般性的概念刻畫一般性的現(xiàn)象，用一般性的方法解決一般性的問題。比如，沒有大小的點、向兩端無限延伸的直線，就是這種思維方式的反映；規(guī)定一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的定義域為R，也是這種思維方式的反映。生活中大量的指數(shù)函數(shù)原型問題都可以用y=ax（a>0且a≠1，x∈［0，+∞））來刻畫。從這個意義上講，把y=ax（a>0且a≠1，x∈［0，+∞））作為指數(shù)函數(shù)的定義也是合理的、正確的。人們最終選擇y=ax（a>0且a≠1，x∈R）作為指數(shù)函數(shù)的定義，是因為它更具有一般性。因為數(shù)學意義上的“0”實為刻畫事物基準點或分界點的模型。比如，討論經濟增長問題時，如果把2000年底作為時間x的參照點“0”，那么在模型y=ax中，1999年底對應的時間就是-1，2001年底對應的時間就是1。因此，從數(shù)學概念的一般性角度考慮，定義2可能要比定義1好一些。

（三）數(shù)學思維嚴謹性的視角

根據(jù)定義1，可知函數(shù)y=1

x∈∪+∞n=1

n－1，

n－12n

，y=sin xx∈∪+∞n=12（n－1）π，2n－12nπ都是周期函數(shù)，但是它們在區(qū)間n－1，n－12n（n∈N*）或2（n－1）π，2n－12nπ（n∈N*）上的圖像是不重合的。這與人們頭腦中的“周期函數(shù)”形象有一定的差異。而根據(jù)定義2，這幾個函數(shù)都不是周期函數(shù)。鑒于數(shù)學概念是嚴謹?shù)摹o歧義的，因此，定義2似乎要優(yōu)于定義1。

（四）數(shù)學史的視角

歷史上，數(shù)學家曾給出周期函數(shù)的各種描述性定義。例如，杜爾斐（Durfee，1900）把周期函數(shù)定義為當自變量或幅角增加時重復自身的函數(shù)；帕爾默（Palmer，1914）把周期函數(shù)定義為當自變量增加一個常量時值不變的函數(shù)；莫里茲（Moritz，1915）把周期函數(shù)定義為每隔一個確定區(qū)間重復自身的曲線所表示的函數(shù)；蓋伊（Gay，1935）把周期函數(shù)定義為圖像由一系列形狀完全相同的弧線構成的函數(shù)。20世紀中葉，數(shù)學家給出了周期函數(shù)的形式化定義。例如，德累斯頓（Dresden，1940）和夏普（Sharp，1958）分別給出了高度近似于定義1和定義2的周期函數(shù)定義。因此，從周期函數(shù)的發(fā)展史看，定義2是綜合考慮包括定義1在內的各種周期函數(shù)定義后提出的。

（五）課程與教學的視角

從課程與教學的視角來審視，應該考慮怎樣的周期函數(shù)定義更有利于高中生的學習。從高中生以及教師反映的情況看，定義1給他們帶來了不必要的困惑。另外，高中生是以周而復始、循環(huán)往復的客觀現(xiàn)象，以及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)為原型，認識、建構周期函數(shù)概念的，這些原型都是雙向無界（延伸）的。從課程與教學的視角，至少從周期函數(shù)學習的初始階段看，定義2比定義1更適宜于高中學生的學習。

當然，定義2不是沒有缺點。例如，它會把y=sin x（x∈［0，+∞））等函數(shù)排除在周期函數(shù)外。采用定義1會使周期函數(shù)具有更強的包容性，也許更有利于周期函數(shù)的應用。對此，許多學者和教師都有深入的探討。作為高中數(shù)學的課程（教學）內容，如何定義周期函數(shù)不是一個簡單的對錯問題，而是一個怎樣做更有利于學生學習的問題，是一個“沒有最好，只有更好”的考量。

三、周期函數(shù)教學建議

（一）作為課程（教學）內容的周期函數(shù)定義應盡量統(tǒng)一

每個概念都是以下兩者的統(tǒng)一體：對象或關系的集合（概念的外延），這個集合所固有的并且只有這個集合才具備的性質特征（概念的內涵）。數(shù)學中的實質定義是：“給出準則構建一個集合A，如果利用這個準則，對任何元素x，都能明確判斷x∈A還是x∈AC，則稱這個準則為定義，A是這個定義對應的集合。”盡管一個數(shù)學概念可以有多種定義方式，但是它們之間必須是等價的。例如，我們可以從用平面截圓錐、到兩個定點的距離之和、到定點的距離與到定直線的距離之比、與兩個定點連線的斜率之積、與圓的關系等不同角度定義橢圓，但是這些定義是可以相互導出的。任意角三角函數(shù)的單位圓定義和終邊上點的坐標定義也是可以相互導出的。從學生的認知發(fā)展階段（辯證思維還比較弱）和高中教育的實際看，把不等價的定義1、定義2分別作為不同版本教材的內容提供給高中生學習是不大合適的。而且，現(xiàn)在越來越多的?。ㄖ陛犑?、自治區(qū)）采用教育部考試中心命制的高考試卷。如果有一天，學習定義1的學生與學習定義2的學生在同一張高考數(shù)學試卷中遇到相同的周期函數(shù)方面的試題，那么他們是否應該分別依據(jù)定義1和定義2思考和作答？

（二）周期函數(shù)概念的教學應淡化形式、注重實質

高中周期函數(shù)概念是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)性質的推廣（一般化）。教學時，應明確其如下特點：一是周而復始、循環(huán)往復；二是定義域不一定是實數(shù)集R，也不一定連續(xù)。在此基礎上，周期函數(shù)概念的教學應淡化形式、注重實質。正如我們把y=sin x（x∈R）叫作正弦函數(shù)，但沒有必要糾纏于y=sin x（x∈［0，+∞）），y=sin x（x∈［0，100π））是不是正弦函數(shù)。類似地，除非學生提出，否則，教師沒有必要讓學生討論y=sin x（x∈［0，+∞）），y=1x∈∪+∞n=1n－1，n－12n等是不是周期函數(shù)，命題與評價更應避開此類問題。因為這兩個函數(shù)是不是周期函數(shù)，取決于人們如何定義周期函數(shù)。應認識到，數(shù)學概念是多樣的、變化的、發(fā)展的。例如，高中階段學生只學習和討論單值函數(shù)，而大學階段學生還要學習和討論多值函數(shù)。因此，學生現(xiàn)在學的是符合他們認知基礎、認知特點，為解決特定類型的問題而定義的周期函數(shù)，而不是要囊括一切的周期函數(shù)。

（三）周期函數(shù)概念的應用應基于實質，而不拘泥于形式

有教師擔心，現(xiàn)實中的許多周期性問題是“單向的”，采用“雙向的”周期函數(shù)定義（定義2），把它們排除在周期函數(shù)外，會影響周期函數(shù)概念在實際生活中的運用。這種擔心是完全不必要的。我們有沒有因為正比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的定義域是實數(shù)集（“雙向的”），而影響它們在實際生活中的應用呢？完全沒有。周期函數(shù)也一樣。利用周期函數(shù)解決實際問題時，我們應基于其“周而復始、循環(huán)往復”的實質，沒有必要拘泥于其形式而“作繭自縛”。類似于把y=kx（k≠0，x∈N*）看作正比例型函數(shù)，把y=kax（k≠0；a>0且a≠1）看作指數(shù)型函數(shù)，同樣可以把y=sin x（x∈［0，+∞）），y=cos x（x∈（－∞，2））等看作周期型函數(shù)，并利用其“周期性”解決實際問題。因為數(shù)學模型總是簡約、近似地刻畫現(xiàn)實世界；“只要數(shù)學的命題涉及實在，它們就不是可靠的；只要它們是可靠的，它們就不涉及實在”。

（四）要辯證地看待數(shù)學概念界定的爭議

對同一個數(shù)學概念有不同的看法是完全正常的。例如，有的數(shù)學家認為0應作為自然數(shù)，有的數(shù)學家則持相反意見。中華人民共和國成立后，相當長的一段時間內，我國的中小學數(shù)學教材都規(guī)定自然數(shù)不包括0。鑒于規(guī)定0為自然數(shù)利大于弊，1993年頒布的《中華人民共和國國家標準（GB3102—1993）》（有關“量和單位”）規(guī)定自然數(shù)包括0。從自然數(shù)、周期函數(shù)等看似非常簡單的數(shù)學概念的爭論中，我們可以看到：數(shù)學是人的知識，是可誤的、可以爭論的；數(shù)學是崇尚精益求精、追求至善至美的；數(shù)學概念是長期進化、優(yōu)勝劣汰的結果，也是權衡各種利弊、艱難選擇的結果。通過這種辯證的看法，可以幫助學生樹立正確的數(shù)學觀和數(shù)學學習觀，不斷追求更美好的數(shù)學——由此，教師也可追求更美好的數(shù)學教育。