呂世虎，顏飛

摘要：《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》對圖形與幾何領域通過整合主題、加強各學段聯(lián)系的方式實現(xiàn)內(nèi)容的結構化；內(nèi)容呈現(xiàn)采用“領域+學段”的設計思路，凸顯了核心內(nèi)容，加強了主題之間的聯(lián)系，并且在“內(nèi)容要求”的基礎上增加“學業(yè)要求”與“教學提示”等表述形式，加強了課程標準的操作性與指導性；內(nèi)容要求依據(jù)“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形與坐標”五個主題層層遞進，注重整體性與階段性，關注幼小銜接以及學生的認知發(fā)展規(guī)律，加強幾何直觀的培養(yǎng)，重視尺規(guī)作圖的內(nèi)容。

關鍵詞：數(shù)學新課標；圖形與幾何；課程內(nèi)容；結構化

呂世虎教授團隊的《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》課程內(nèi)容深度分析系列文章之二?！皫缀巍痹跀?shù)學課程中具有重要的教育價值，是基礎教育數(shù)學課程改革關注的重點。從我國歷次頒布的課程文件看，小學數(shù)學課程在1978年以前以“算術”內(nèi)容為主，1978年以后“幾何”內(nèi)容逐漸豐富起來，并以實驗幾何為主；初中數(shù)學課程中的“幾何”內(nèi)容也在不斷調整，且越來越豐富，同時以論證幾何為主，難度要求有起有落。2001年頒布的《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱“2001年版課標”）將“幾何”內(nèi)容作為獨立的學習領域命名為“空間與圖形”，2012年頒布的《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011年版課標”）將其改名為“圖形與幾何”，最新頒布的《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）沿用了此名稱。本文從內(nèi)容結構、內(nèi)容呈現(xiàn)、內(nèi)容要求三個方面對新課標中的“圖形與幾何”內(nèi)表1兩版課標中圖形與幾何領域的內(nèi)容結構

課標版別“圖形與幾何”內(nèi)容的分學段主題設置新課標第一學段（1—2年級）第二學段（3—4年級）第三學段（5—6年級）第四學段（7—9年級）圖形的認識與測量圖形的認識與測量；圖形的位置與運動圖形的認識與測量；圖形的位置與運動圖形的性質；圖形的變化；圖形與坐標2011年版

課標第一學段（1—3年級）第二學段（4—6年級）第三學段（7—9年級）圖形的認識；測量；圖形的運動；圖形與位置圖形的認識；測量；圖形的運動；圖形與位置圖形的性質；圖形的變化；圖形與坐標容做具體分析。

一、新課標“圖形與幾何”內(nèi)容結構分析

數(shù)學課程標準中，內(nèi)容結構主要是指不同學段的課程內(nèi)容所涵蓋的知識領域及其主題的分布。與2011年版課標相比，新課標將原來的三個學段（小學為第一、第二學段，初中為第三學段）調整為四個學段（小學為第一、第二、第三學段，初中為第四學段）。同時，新課標對數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四個領域的課程內(nèi)容進行了結構化整合。其中，對圖形與幾何領域主要通過整合主題、加強各學段聯(lián)系的方式實現(xiàn)內(nèi)容的結構化，具體如表1所示。

與2011年版課標相比，新課標將小學部分的“圖形的認識”“測量”“圖形的運動”“圖形與位置”四個主題整合為“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”兩個主題，初中部分的“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形與坐標”三個主題保持不變。

21世紀初開始新課程實驗以來，義務教育幾何課程設計在數(shù)學教育界一直有爭論。比如，在編排體系上是以實驗幾何為主還是以論證幾何為主，在編排順序上是先實驗幾何還是先論證幾何等，都有一些不同的看法?？追舱?，史亮.幾何課程設計方式的比較分析——直觀幾何、實驗幾何與綜合幾何課程設計的國際比較［J］.數(shù)學通報，2006（10）：711。2001年版課標在小學階段設置了“圖形的認識”“測量”“圖形與變換”“圖形與位置”四個主題，主要采用實驗幾何的方式展開相關內(nèi)容；在初中階段設置了“圖形的認識”“圖形與變換”“圖形與坐標”“圖形與證明”（其中，“圖形與證明”“圖形與坐標”分別與小學階段的“測量”“圖形與位置”對應），采用先實驗幾何后論證幾何，并且以實驗幾何為主的體系展開相關內(nèi)容。2011年版課標將小學階段的“圖形與變換”更名為“圖形的運動”，將初中階段的“圖形的認識”“圖形與證明”合并為“圖形的性質”，“圖形與變換”更名為“圖形的變化”。2011年版課標加強了幾何證明，采用了論證幾何與實驗幾何結合，并且以論證幾何為主的體系展開相關內(nèi)容，對大部分幾何命題要求先探索發(fā)現(xiàn)再推理證明。這種方式既體現(xiàn)了幾何結論的探索發(fā)現(xiàn)過程，又體現(xiàn)了幾何結論的推理證明過程，還避免了先實驗幾何后論證幾何的編排方式容易出現(xiàn)內(nèi)容重復的弊端。在“圖形的認識”的基礎上，從研究圖形的視角看，小學階段的“測量”、初中階段的“圖形與證明”體現(xiàn)了綜合幾何的視角；小學階段的“圖形的運動”、初中階段的“圖形的變化”體現(xiàn)了變換幾何的視角；小學階段的“圖形與位置”、初中階段的“圖形與坐標”體現(xiàn)了解析幾何的視角。

“測量”是歐氏幾何中研究圖形的基本方法，也是小學階段研究圖形最基本的方法，其本質是通過度量圖形的長度、面積、體積、角度等研究圖形及其關系。這與“圖形的認識”聯(lián)系緊密，新課標將“圖形的認識與測量”統(tǒng)整在一起，有利于學生整體把握圖形的幾何特征。“圖形的認識與測量”主題延伸到初中就是“圖形的性質”，即利用證明的方法研究圖形及其關系。在小學階段，“圖形的運動”“圖形與位置”兩個主題的內(nèi)容相對較少，新課標將其合并為“圖形的位置與運動”一個主題。這一主題延伸到初中階段，相應的內(nèi)容比較豐富，又分為“圖形的變化”“圖形與坐標”兩個主題。這種主題設計使得“圖形與幾何”的內(nèi)容統(tǒng)整了起來，避免了知識的碎片化。

二、新課標“圖形與幾何”內(nèi)容呈現(xiàn)分析

數(shù)學課程標準中，內(nèi)容呈現(xiàn)主要是指課程內(nèi)容的設計思路與表述形式。新課標中，“圖形與幾何”內(nèi)容的設計思路和表述形式有新的變化。

（一）“圖形與幾何”內(nèi)容設計思路分析

2011年版課標按照“學段+領域”的思路設計課程內(nèi)容，圖形與幾何領域的內(nèi)容分散在三個學段中呈現(xiàn)。而新課標按照“部分+領域+學段”的思路設計課程內(nèi)容，圖形與幾何領域四個學段的內(nèi)容按照小學、初中部分集中呈現(xiàn)，順序展開。每個學段都有明確的主題（有的主題貫穿于不同學段）。這種“領域+學段”的設計思路，凸顯了圖形與幾何領域的核心內(nèi)容，加強了主題之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了內(nèi)容統(tǒng)整的理念，在一定程度上避免了知識的碎片化，有助于教材編寫與教學設計中明確核心內(nèi)容，凸顯核心內(nèi)容與核心素養(yǎng)的關聯(lián)，推動核心素養(yǎng)的落實。

（二）“圖形與幾何”內(nèi)容表述形式分析

與2011年版課標相比，新課標中課程內(nèi)容的表述形式不僅有“內(nèi)容要求”，而且增加了“學業(yè)要求”“教學提示”，即從“學什么”“學到什么程度”“怎樣學”三個方面全面地表述課程內(nèi)容。這加強了課程標準在教材編寫、教學設計以及教學評價中的操作性與指導性。

例如，圖形與幾何領域第一學段“圖形的認識與測量”主題，內(nèi)容要求主要是對學習范圍的表述，包括圖形的認識與測量兩部分。其中，“圖形的認識”部分強調了通過“實物”和“模型”辨認簡單的立體圖形和平面圖形，能對圖形分類，會用簡單圖形拼圖。顯然，這一內(nèi)容要求與現(xiàn)實生活聯(lián)系比較緊密。學業(yè)要求主要是對學習要達到的程度的表達。比如，“圖形的認識”的學業(yè)要求比其內(nèi)容要求更加細致，包括具體立體圖形（長方體、正方體、圓柱、球等）和平面圖形（長方形、正方形、平行四邊形、三角形、圓等）的學習要達到的程度等。教學提示主要是對相關內(nèi)容教學實施的建議。比如，“圖形的認識”的教學提示強調了結合低年級學生的年齡特點，充分利用學生在幼兒園階段積累的有關圖形的經(jīng)驗，以直觀感知為主。

從“內(nèi)容要求”“學業(yè)要求”“教學提示”三個方面呈現(xiàn)課程內(nèi)容，不僅明確了具體的內(nèi)容范圍和內(nèi)容學習的達成程度，而且對教學活動的組織等提出了指導性建議，也為教材編寫提供了具有一定操作性的指引。

三、新課標“圖形與幾何”內(nèi)容要求分析

相比于2011年版課標，新課標圖形與幾何領域的變化主要體現(xiàn)為強化幾何直觀。該領域設置了“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形與坐標”五個主題。前兩個主題分布在小學階段，后三個主題分布在初中階段，而且各學段之間的內(nèi)容相互關聯(lián)，螺旋上升，層層遞進。以下具體分析這五個主題的內(nèi)容要求。

（一）“圖形的認識與測量”內(nèi)容要求分析

“圖形的認識與測量”主題貫穿于小學階段的三個學段，主要包括圖形的“認識”與“測量”兩部分內(nèi)容，兩者之間密切相關。與2011年版課標相比，新課標這一主題的變化主要是增加“會用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”這一內(nèi)容要求，旨在加強幾何直觀的培養(yǎng)。

第一，“圖形的認識”主要是對圖形的抽象。學生要經(jīng)歷從實際物體中抽象出幾何圖形的過程，認識圖形的特征，感悟點、線、面、體的關系，積累觀察和思考的經(jīng)驗，逐步形成空間觀念。新課標對該內(nèi)容的設計是，從認識現(xiàn)實世界中的立體圖形開始，逐漸抽象，認識平面圖形，最后進一步認識平面圖形與立體圖形。具體分析可知，第一學段“圖形的認識”的內(nèi)容要求是，通過實物和模型辨認簡單的立體圖形和平面圖形。這里只要求直觀描述這些圖形的外部形象特征，如“長方體的每一個面都是平平的”“球是圓滾滾的”“長方形相對的邊是一樣長的”“正方形每條邊都是一樣長的”“三角形有角，是尖尖的”等。這些內(nèi)容與學生在幼兒園階段積累的有關圖形的經(jīng)驗緊密相關。通過圖形的直觀描述，利用分類和拼圖的方法，進一步加強學生對不同圖形特征的直觀感知。第二學段“圖形的認識”的內(nèi)容要求以認識線、角、三角形和四邊形等為主。但這里不再是直觀描述圖形的外部形象，而是應用一定的方法或規(guī)律，從“點、線、角、面”（圖形的組成元素）的維度觀察與認識圖形。比如，根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體；又如，通過長方體的外表認識面，通過面的邊緣認識線段，感悟圖形抽象的過程。第三學段“圖形的認識”的內(nèi)容要求有認識圓、扇形、長方體、正方體和圓柱等。這里既有平面圖形，又有立體圖形；同時，認識圖形的方式與角度有進一步的提升和側重。首先，第三學段要求辨認簡單物體不同方向（前面、側面、上面）的形狀圖，還要求了解長方體、正方體、圓柱的展開圖，這是以不同的方式認識圖形。其次，第三學段側重從度量的角度考察圖形，比如三角形邊和角的性質，圓的周長和面積公式，長方體、正方體、圓柱的體積公式等。

第二，“圖形的測量”重點是確定圖形的大小。學生要經(jīng)歷統(tǒng)一度量單位的過程，感受統(tǒng)一度量單位的意義，基于度量單位理解圖形的長度、角度、周長、面積、體積等；在推導一些常見圖形周長、面積、體積的計算公式的過程中，感悟數(shù)學度量方法，逐步形成量感和推理意識。新課標對該內(nèi)容的設計與“圖形的認識”緊密相關，其核心是對圖形大小的度量，因此，度量單位是測量內(nèi)容展開的一條線索。就度量單位的形成過程而言，大體可以分為兩類：一類是通過抽象得到的，是人思維的結果；另一類是借助工具得到的，是人實踐的結果。前者是基于日常生活和生產(chǎn)實踐的需要，創(chuàng)造出一些語言來表達事物量的多少，在形式上是舍去了度量單位的稱謂，在實質上是脫離了數(shù)量所依賴的具體的現(xiàn)實背景；后者則是基于事物的現(xiàn)實背景構建的度量單位，因而始終含有表達事物背景指標的稱謂。娜仁格日樂，史寧中.度量單位的本質及小學數(shù)學教學［J］.數(shù)學教育學報，2018（6）：1316。小學階段“圖形的測量”內(nèi)容所涉及的度量單位主要是后者。具體分析可知，第一學段“圖形的測量”的內(nèi)容要求是，體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性。事實上，度量單位的統(tǒng)一是使度量（測量）從個別的、特殊的活動變成一般的、可以在更大范圍內(nèi)應用和交流的活動的前提。比如，可以通過創(chuàng)設“測量課桌長度”等生活情境，借助拃的長度、鉛筆的長度等測量，經(jīng)歷測量的過程，比較測量的結果，感受統(tǒng)一長度單位的意義，并且在這一過程中認識長度單位米和厘米。隨著對圖形認識的深入，第二學段中的度量單位也逐漸豐富起來，包括長度的度量單位千米、分米、毫米，面積的度量單位平方厘米、平方分米、平方米，角的度量單位度。相應地，要求在認識度量單位的基礎上，進行簡單的單位換算以及恰當?shù)剡x擇單位估測物體的長度或面積。第三學段中涉及的圖形更加豐富，既有平面圖形，又有立體圖形，相應的度量單位有平方千米、公頃、立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升。

（二）“圖形的位置與運動”內(nèi)容要求分析

“圖形的位置與運動”主題貫穿于第二、三學段，主要包括圖形的“位置”與“運動”兩部分內(nèi)容。與2011年版課標相比，新課標這一主題的變化主要是將“圖形的位置”的相關內(nèi)容，包括“會用上、下、左、右、前、后描述物體的相對位置”以及“給定東、南、西、北四個方向中的一個方向，能辨認其余三個方向，知道東北、西北、東南、西南四個方向”等內(nèi)容，調整到綜合與實踐領域的“我的教室”與“尋找‘寶藏”兩個主題活動中。這些內(nèi)容與現(xiàn)實生活緊密相關，新課標調整其所在的領域，一方面有助于綜合與實踐領域內(nèi)容教學的實施，另一方面也有助于發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。

“圖形的位置與運動”主要體現(xiàn)了從解析幾何和變換幾何的視角研究圖形。新課標對該內(nèi)容的設計是，通過方格紙上的有序數(shù)對（坐標）確定圖形的位置和表達圖形運動的特點，從而為未來深入學習數(shù)形結合奠定基礎。具體分析可知，第二學段“圖形的位置與運動”主題只涉及“圖形的運動”這部分內(nèi)容，包括圖形的平移、旋轉、軸對稱。這類運動都可以稱為“剛體運動”，剛體運動所生成的變換都是全等變換，其特點是變換后圖形上任意兩點之間的距離不變。這一學段的內(nèi)容要求主要是，在實際情境中辨認出生活中的平移、旋轉和軸對稱現(xiàn)象，直觀感知平移、旋轉和軸對稱的特征，利用平移或旋轉解釋現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象，形成空間觀念。第三學段中，“圖形的位置”“圖形的運動”兩部分內(nèi)容是密切相關的。首先，確定圖形的位置重點是確定點的位置，核心是建立數(shù)對集與點集之間的映射關系。小學階段主要是在方格紙上用有序數(shù)對確定點的位置，進而在方格紙上描述圖形的位置。其次，通過在方格紙上畫簡單圖形運動（平移、旋轉、軸對稱、放大或縮小）之后的圖形，可以觀察和表達運動前后圖形的變與不變，進而體會坐標表達的重要性。

（三）“圖形的性質”內(nèi)容要求分析

“圖形的性質”主題設置在第四學段，主要包括六部分內(nèi)容：點、線、面、角，相交線與平行線，三角形，四邊形，圓，定義、命題、定理。與2011年版課標相比，新課標這一主題的變化主要有：提高了“等腰三角形與直角三角形”的內(nèi)容要求；將“垂徑定理”由選學內(nèi)容調整為必學內(nèi)容；尺規(guī)作圖內(nèi)容不再作為獨立的一部分，而是分散到有關的內(nèi)容中，要求“了解作圖的原理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法”，并且增加了“尺規(guī)作圖：過圓外一點作圓的切線”。可見，新課標比較重視尺規(guī)作圖的內(nèi)容，期望學生通過了解圖形形成的過程，提升幾何直觀與空間觀念，增強動手實踐能力。

“圖形的性質”體現(xiàn)了從綜合幾何的視角研究圖形。新課標對該內(nèi)容的設計主要是，通過實驗探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來研究圖形，在利用幾何直觀理解幾何基本事實的基礎上，從基本事實出發(fā)推導圖形的幾何性質（定理），理解和掌握尺規(guī)作圖的基本原理和方法。具體分析可知，“圖形的性質”內(nèi)容可歸結為三個方面：一是研究的對象（圖形），主要按照基本幾何圖形（如線與角）、直線型圖形（如三角形和四邊形）、曲線型圖形（如圓）等類型展開，從簡單到復雜，循序漸進；二是構成圖形的元素和圖形之間的關系，如三角形的三邊關系、平行四邊形的性質定理、圓周角定理等均是對組成圖形的元素之間關系的研究，而直線與圓的位置關系、三角形的內(nèi)切圓和外接圓、圓的內(nèi)接正方形和正六邊形等均是對圖形之間關系的研究；三是研究圖形的方法，主要是通過合情推理和演繹推理的方法研究圖形。

（四）“圖形的變化”內(nèi)容要求分析

“圖形的變化”主題設置在第四學段，主要包括五部分內(nèi)容：圖形的軸對稱、旋轉、平移、相似、投影。與2011年版課標相比，新課標這一主題的內(nèi)容要求基本沒有變化。

“圖形的變化”強調從運動變化的觀點研究圖形，即用幾何變換的方法研究圖形的性質。通過圖形的變化，學生能體會變換的思想方法。史寧中教授認為：“初中階段講定義在平移、旋轉和反射之上的平面幾何，高中階段再用二維矩陣來表示這些變換，到大學階段講群論、講近似代數(shù)就方便了。即使學生以后不學數(shù)學，把變換的思想講了，對學習物理的變換和化學的結構，也是很有益處的?！笔穼幹?《平面幾何》改造計劃［J］.數(shù)學通報，2007（6）：13。具體分析可知，小學階段已經(jīng)設置了圖形的軸對稱、旋轉、平移的相關內(nèi)容，初中階段對該內(nèi)容的要求有所提升：了解或理解它們的概念與基本性質。但還是要通過圖形的運動變化去認識，而不是直接呈現(xiàn)結論，重在引導學生學會從數(shù)學的角度觀察現(xiàn)實生活中的圖形，感悟數(shù)學的應用價值。圖形的相似的主要內(nèi)容是相似三角形。圖形的相似不改變圖形的形狀，但是會改變圖形的大小，也就是說，相似變換不改變角的大小，且使圖形的邊呈現(xiàn)一種穩(wěn)定的比例關系，其實質是圖形的放大或縮小，也稱為“保角變換”。位似是特殊的相似，利用位似可以將一個圖形放大或縮小。圖形的投影主要包括中心投影和平行投影。平行投影后得到的物體與原物體是形狀相同且大小相等的（全等的），這是三視圖的基礎；而中心投影后得到的物體與原物體的形狀是相同的，但大小是不等的（放大的），這是一種位似變換。通過對“圖形的變化”的進一步認識，結合對簡單立體圖形展開圖的了解，可以發(fā)展學生的空間觀念與幾何直觀。

（五）“圖形與坐標”內(nèi)容要求分析

“圖形與坐標”主題設置在第四學段，主要包括“圖形的位置與坐標”和“圖形的運動與坐標”兩部分內(nèi)容。與2011年版課標相比，新課標這一主題的內(nèi)容要求基本沒有變化。

“圖形與坐標”強調數(shù)形結合，用代數(shù)方法研究幾何圖形，在平面直角坐標系中用坐標表示圖形上點的位置，用坐標法分析和解決實際問題，即用解析幾何方法研究圖形的性質。具體分析可知，初中階段的“圖形的位置與坐標”“圖形的運動與坐標”正好與小學階段的“圖形的位置與運動”相銜接。小學階段通過實體工具“方格紙”以及數(shù)學工具“數(shù)軸”（數(shù)射線）搭建了圖形與坐標之間的聯(lián)系，而初中階段引入數(shù)學工具“平面直角坐標系”，一方面是對方格紙的提升，另一方面也是對數(shù)軸的拓展。圖形是由點構成的，而平面直角坐標系是確定點的位置的有效工具，通過用坐標描述點的位置就可以在平面直角坐標系中刻畫圖形的位置。圖形運動的實質是點的運動，故研究圖形的運動與坐標只需要研究一對對應點的變化規(guī)律。這一主題強調數(shù)形結合，引導學生經(jīng)歷用坐標表達圖形運動的過程，體會用代數(shù)方法表達圖形變化的意義，可以發(fā)展學生的推理能力和運算能力。