王夢(mèng)影，顧菊觀，徐海斌

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000)

0 引 言

光學(xué)教材[1]和光學(xué)實(shí)驗(yàn)教材[2]對(duì)三棱鏡的討論都是針對(duì)等邊三棱鏡在空氣中折反射情況的.文獻(xiàn)[3]討論了等邊三棱鏡偏向角與頂角的關(guān)系，獲得了棱鏡的最大頂角.文獻(xiàn)[4]討論了等邊三棱鏡在兩邊折射率為空氣的情況下，不同的頂角和棱鏡折射率對(duì)最小偏向角的影響.文獻(xiàn)[5]討論了等邊三棱鏡的入射角、棱鏡頂角、折射率的變化對(duì)偏向角的影響.文獻(xiàn)[6]～[8]討論了等邊三棱鏡的頂角、最小偏向角、折射率、入射角，以及中空食鹽水棱鏡的折射率和色散的測(cè)量.教材和參考文獻(xiàn)幾乎沒(méi)有涉及一般三棱鏡及折射率不同的研究.本文主要研究一般三棱鏡在頂角和兩側(cè)折射率或棱鏡折射率不同情況下的最大頂角，并運(yùn)用幾何光學(xué)理論、Matlab曲線進(jìn)行分析討論，同時(shí)與等邊三棱鏡、等腰三棱鏡進(jìn)行比較.

1 理論分析

1.1 最小入射角

在三棱鏡實(shí)驗(yàn)中，要求光從AB面入射，在AC面觀察到出射光線，并進(jìn)行測(cè)量和計(jì)算.如圖1，當(dāng)光入射到AB面的入射角大于一定角度時(shí)，在AC面會(huì)發(fā)生全反射，則在AC面就沒(méi)有出射光線.因此，對(duì)應(yīng)AB面的入射角不能小于一定角度，否則實(shí)驗(yàn)無(wú)法進(jìn)行.

圖1 一般三棱鏡的光路圖(在AC面產(chǎn)生全反射)Fig.1 Schematic diagram of optical path of general prism (in case of total reflection of AC surface)

如圖1，由幾何關(guān)系得：

r1+r2=A.

(1)

由折射定律得：

(2)

當(dāng)i2=90°時(shí)，對(duì)應(yīng)AB面的入射角為最小：

(3)

(4)

因此，當(dāng)AC面的出射光線沿AC出射時(shí)，對(duì)應(yīng)AB面的最小入射角i1min為：

(5)

最小入射角i1min與一般三棱鏡角B、C無(wú)關(guān)，只與一般三棱鏡的頂角A和棱鏡兩側(cè)折射率有關(guān).

當(dāng)n1=n3=1時(shí)，

該結(jié)果與文獻(xiàn)[3]和[5]一致.

即

(6)

1.2 最大頂角

1.2.1 頂角與折射率的關(guān)系

由式(6)可得：

(7)

化簡(jiǎn)得：

(8)

(9)

(10)

1.2.2 折射率的要求

n1n3,

(11)

n1>n2

(12)

對(duì)式(12)，當(dāng)光從AB面入射時(shí)，在AC面不可能產(chǎn)生全反射，而在AB面可以產(chǎn)生全反射(圖2(a))，這不能滿足題意(在AC面產(chǎn)生全反射)要求，故舍去這個(gè)條件.因此，對(duì)這種情況，不能用測(cè)量最小偏向角(偏向角定義為出射光線以銳角逆時(shí)針轉(zhuǎn)至入射光線對(duì)應(yīng)的夾角，且為正值)的方法來(lái)計(jì)算棱鏡的折射率，應(yīng)用測(cè)量入射角和出射角的方法來(lái)計(jì)算(圖2(b)).

圖2 一般三棱鏡折反射情況(n1>n2n2

在選擇棱鏡折射率和兩側(cè)折射率時(shí)，若要求在AC面觀察到出射光線，且能用最小偏向角法測(cè)量折射率，則須滿足式(11)的要求.

1.2.3 最大頂角

由式(10)將式(9)表示為：

(13)

滿足式(13)的條件為：

(14)

經(jīng)運(yùn)算得：

(15)

或

(16)

經(jīng)運(yùn)算得：

(17)

式(15)和式(17)都要滿足條件式(11).在式(11)條件下，式(17)對(duì)應(yīng)的頂角A等于或接近180°(若n1=n3=1

一般三棱鏡的頂角A應(yīng)滿足式(15)，才能滿足式(13)，此時(shí)最大頂角為：

(18)

式(18)表明了棱鏡最大頂角與棱鏡折射率、兩側(cè)折射率的關(guān)系，即棱鏡最大頂角與折射率的關(guān)系是非線性的.

2 利用Matlab模擬最大頂角與折射率的關(guān)系

根據(jù)式(18)，應(yīng)用Matlab可以得到最大頂角與折射率的關(guān)系曲線.

2.1 三棱鏡頂角與棱鏡折射率的關(guān)系曲線(在空氣中)

當(dāng)n1=1、n3=1、n2=1.572 4時(shí)，對(duì)應(yīng)的三棱鏡最大頂角與棱鏡折射率的關(guān)系曲線如圖3所示.由圖3可知，當(dāng)n2=1時(shí)，Amax=180°，這相當(dāng)于在同種介質(zhì)中，光沿著直線傳播，且沒(méi)有折射；當(dāng)n2=1.572 4時(shí)，對(duì)應(yīng)的棱鏡最大頂角為Amax=78.984 0°，且棱鏡的最大頂角Amax隨著n2的增大而非線性地減少.這為三棱鏡頂角和折射率的選擇提供了參考，即給定的棱鏡折射率對(duì)應(yīng)的頂角不能大于理論得到的最大頂角，否則無(wú)法應(yīng)用最小偏向角法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和研究.

2.2 棱鏡最大頂角與折射率n1的關(guān)系曲線

由圖4可知，當(dāng)1≤n1<1.572 4時(shí)，棱鏡的最大頂角Amax隨著n1的增大而非線性地增大；當(dāng)n1=1.572 4時(shí)，Amax=129.492 0°，相當(dāng)于平面一次折射(光密介質(zhì)到光疏介質(zhì))，而非三棱鏡的兩次折射；當(dāng)n1>1.572 4時(shí)，不能滿足條件式(11)，則Amax無(wú)值.

圖3 棱鏡最大頂角Amax與棱鏡折射 率n2的關(guān)系曲線(n1=1,n3=1)Fig.3 Relation curve between maximum vertex angle of prism Amax and refractive index of prism n2(n1=1,n3=1)

圖4 棱鏡最大頂角Amax與折射率n1的 關(guān)系曲線(n2=1.572 4,n3=1)Fig.4 Relation curve between maximum vertex angle of prism Amax and refractive index of prism n1(n2=1.572 4,n3=1)

2.3 棱鏡最大頂角與折射率n3的關(guān)系曲線

由圖5可知，當(dāng)n3=1.572 4時(shí)，Amax=129.492 0°，相當(dāng)于平面一次折射(光疏介質(zhì)到光密介質(zhì))，而非三棱鏡的兩次折射.

2.4 棱鏡最大頂角與折射率n2的關(guān)系曲線(n1=1.627 6,n3=1)

由圖6可知，當(dāng)n2<1.627 6時(shí)，不滿足式(11)的要求，Amax也不滿足本文題意的要求；若滿足式(11)的要求，折射率須滿足n2>1.627 6，且Amax隨著n2的增大而非線性地減少；當(dāng)n2=n1=1.627 6時(shí)，相當(dāng)于一次平面折射，此時(shí)Amax=127.908 3°.

圖6 棱鏡最大頂角Amax與折射率n2的 關(guān)系曲線(n1=1.627 6,n3=1)Fig.6 Relation curve between maximum vertex angle of prism Amax and refractive index of prism n2(n1=1.627 6,n3=1)

2.5 棱鏡最大頂角與折射率n2的關(guān)系曲線(n1=1.627 6,n3=1.333 0)

由圖7可知，當(dāng)n2≥1.627 6時(shí)，滿足式(11)的要求，且Amax隨著n2的增大而非線性地減少；當(dāng)n2取值在1～1.333 0之間時(shí)，滿足式(12)的要求，不滿足本文題意的要求；當(dāng)n2的取值在1.333 0～1.627 6之間時(shí)，不滿足式(11)或式(12)的要求，也不滿足本文題意的要求.

圖7 棱鏡最大頂角Amax與折射率n2的關(guān)系曲線(n1=1.627 6,n3=1.333 0)Fig.7 Relation curve between maximum vertex angle of prism Amax and refractive index of prism n2(n1=1.627 6,n3=1.333 0)

3 結(jié) 論

本文運(yùn)用折射和全反射定律推導(dǎo)一般三棱鏡的最小入射角與頂角的關(guān)系，以及棱鏡最大頂角與折射率的關(guān)系，并運(yùn)用Matlab得到了棱鏡折射率、兩側(cè)折射率、棱鏡最大頂角的選擇范圍及其相互之間的關(guān)系曲線，其理論分析與模擬結(jié)果一致.本研究能夠加深學(xué)生對(duì)一般三棱鏡的偏向角與頂角、折射率等關(guān)系的理解，提高學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)能力和Matlab軟件應(yīng)用能力.研究結(jié)果可為教學(xué)、實(shí)驗(yàn)和研究中棱鏡頂角和折射率的選擇、棱鏡儀器的設(shè)計(jì)等提供理論依據(jù).