馬登攀，趙前進

(安徽理工大學 數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院，安徽 淮南 232000)

0 引 言

近年來，非線性逼近作為插值問題研究的重要方面，實質(zhì)上是定義一個有連續(xù)性的新函數(shù)，使其與已知散亂的插值節(jié)點一致.多項式插值，如牛頓插值[1-2]、拉格朗日插值[3]、埃爾米特插值[4]等，因其構(gòu)造容易、計算過程簡單，被廣泛應用于函數(shù)逼近、數(shù)值積分、微分方程求根等問題中.但多項式插值的缺點也是顯然的，有較高插值次數(shù)的函數(shù)容易出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，且計算量較大、靈活性不高，從而限制了它的應用.相對多項式插值而言，有理函數(shù)插值的結(jié)構(gòu)雖然復雜，但更能把函數(shù)本身的一些性質(zhì)表現(xiàn)出來，收斂速度更快，逼近精度更高.然而，有理函數(shù)插值公式容易出現(xiàn)極點問題，從而經(jīng)常導致無法求出理想的有理插值函數(shù).1945年，Taylor在研究插值問題中發(fā)現(xiàn)了多項式的重心公式，并將經(jīng)典的拉格朗日插值公式推導成重心形式的拉格朗日公式[5].1984年，Werner和Schneider在文獻[6]中首次定義了重心有理插值公式，并通過判斷插值權(quán)是否為零來確認區(qū)間內(nèi)的極點數(shù)量，如果能夠選取合適的插值權(quán)，其重心有理插值就不會出現(xiàn)極點，這不僅能夠保證數(shù)值的穩(wěn)定性，還不需要重復計算基函數(shù)等.近年來,重心有理插值公式受到學者們的廣泛研究[7-12].

Padé逼近[13]是非常有效的有理逼近，其理論基礎由泰勒多項式奠定.從有理函數(shù)的插值條件及冪級數(shù)出發(fā)，可以獲取Padé逼近式的分子、分母，其能夠把被逼近有理函數(shù)的特定信息顯示出來，尤其在極點位置.但Padé逼近式不能控制極點位置，因此在逼近問題中產(chǎn)生了許多困難.1979年，Brezinski引入泛函C的概念，提出了Padé-type逼近[14]，其有理函數(shù)的極點(全部或部分)可自由選取.在實際問題中，若選取合適的極點，根據(jù)被逼近有理函數(shù)的特點得到Padé-type逼近的生成多項式，那么它的逼近效果相對Padé逼近會更好.本文將Padé-type逼近與重心有理插值進行復合，首先適當選取有理函數(shù)的極點，然后根據(jù)所有插值點的冪級數(shù)確定生成多項式，求得所有插值點的Padé-type逼近，最后將它們與重心有理函數(shù)結(jié)合，給出復合重心插值的新方法.

1 重心有理插值

已知n+1個插值點x0

(1)

(2)

其中，li(x)為拉格朗日插值基函數(shù).

再令

l(x)=(x-x0)(x-x1)(x-x2)…(x-xn),

(3)

定義重心權(quán)為：

(4)

則插值基函數(shù)可表示為：

(5)

拉格朗日插值可轉(zhuǎn)換成另一種表達式：

(6)

在使用式(6)時，計算量為O(n)，而原來的計算量為O(n2)，改進的插值公式的計算量明顯減少.但當插值點為等距時，其依然是病態(tài)的.

取f(x)=1，則

(7)

將式(6)與式(7)結(jié)合，則重心拉格朗日插值為：

(8)

Werner和Schneider在研究更高次的插值中提出了重心插值公式：

(9)

并對重心有理插值給出了以下兩個結(jié)論：

結(jié)論1[15]已知n+1個節(jié)點a=x0

(10)

結(jié)論2[6]令x0

sign(ui)=-sign(ui+1),i=0,1,…,n-1.

(11)

2 復合重心有理插值

為滿足已知的插值條件，保證數(shù)值的穩(wěn)定性、相對較小的計算量，以及很好的逼近效果，本文將Padé-type逼近與重心有理插值方法進行復合，得到復合重心有理插值的新方法.首先適當選取有理函數(shù)的極點，根據(jù)所有插值點的冪級數(shù)確定生成多項式，求得所有插值點的Padé-type逼近，再將它們與重心有理函數(shù)結(jié)合，給出基于Padé-type逼近的復合重心有理插值.

設函數(shù)f(x)的極點已知，記x0,x1,…,xn為插值區(qū)間內(nèi)n+1個插值節(jié)點，并設

(12)

(13)

其中，Wt(x)(k=0,1,…,n)和V(x)的計算可由文獻[14]確定.將式(9)與式(13)進行復合，則基于Padé-type逼近的復合重心有理插值公式為：

(14)

其中，所有插值節(jié)點對應的插值權(quán)ui應滿足：

ui≠0,i=0,1,…,n，

sign(ui)=-sign(ui+1),i=0,1,…,n-1.

下面基于Padé-type逼近的復合重心有理插值，給出如下定理：

定理設函數(shù)f(x)的極點已知，取n+1個插值節(jié)點a=x0

證明插值函數(shù)R(x)滿足插值條件，即證R(xi)=f(xi).

(15)

則有

插值函數(shù)R(x)在區(qū)間內(nèi)不會出現(xiàn)極點，即證R(x)的分母不為零.

由式(15)可得：

已知V(x)=(v-x)≠0，v?[x0,xN]，則插值函數(shù)R(x)的分母不為零.

3 數(shù)值實例

下面通過例1和例2證明基于Padé-type逼近的復合重心有理插值方法的有效性.

f(x)=4.322 118 800+8.072 118 800(x-0.6)+16.536 059 40(x-0.6)2+…

f(x)=7.225 540 928+27.225 540 93(x-0.8)+126.112 770 5(x-0.8)2+…

f(x)=12.459 603 11+102.459 603 1(x-0.9)+1 001.229 802(x-0.9)2+…

取V(x)=1-x和m=4，根據(jù)上述得到的冪級數(shù)展開式分別計算得：

將其代入式(14)，即得基于Padé-type逼近的復合重心有理插值(取ui=(-1)i,i=0,1,2,…,n)：

將原函數(shù)f(x)與復合重心插值函數(shù)曲線R(x)進行比較，并繪制出誤差函數(shù)曲線f(x)-R(x)，見圖1和圖2.由圖1和圖2可以看出，復合重心插值有較好的逼近效果.

圖1 原函數(shù)f(x)與復合重心插值函數(shù)R(x)的比較Fig.1 Comparison of the original function f(x) and the composite barycentric interpolation function R(x)

圖2 誤差函數(shù)f(x)-R(x)Fig.2 Error function f(x)-R(x)

f(x)=1.183 215 957+0.422 577 127(x-0.4)-0.075 460 201 32(x-0.4)2+…

f(x)=1.341 640 786+0.372 677 996 1(x-0.8)-0.051 760 832 79(x-0.8)2+…

f(x)=1.378 404 875+0.362 738 125(x-0.9)-0.047 728 700 66(x-0.9)2+…

取V(x)=1-x和m=4，根據(jù)上述得到的冪級數(shù)展開式分別計算得：

將其代入式(14),即得基于Padé-type逼近的復合重心有理插值(取ui=(-1)i,i=0,1,2,…,n)：

計算插值區(qū)間內(nèi)的最大誤差，并分別求出新的插值方法在點x=0.12、x=0.33、x=0.57、x=0.86處的插值誤差f(x)-R(x)，見表1.由表1可以看出，復合重心有理插值具有很高的精度.

表1 函數(shù)f(x)-R(x)在x=0.12、0.33、0.57、0.86處的誤差

4 結(jié) 論

本文給出了基于Padé-type逼近的復合重心插值新方法.在給定的有理函數(shù)中，首先適當選取有理函數(shù)的極點，根據(jù)所有插值點的冪級數(shù)確定生成多項式，求得所有插值點的Padé-type逼近式的分母、分子，再將它們與重心有理函數(shù)復合，得到一種新的復合重心有理插值.該方法滿足插值條件，在區(qū)間內(nèi)函數(shù)不會出現(xiàn)極點，具有較好的逼近效果.數(shù)值實例也證明了新的復合重心有理插值的有效性.