于 博，余水淋，康小錄，趙 青

(1.電子科技大學(xué)信息地學(xué)研究中心，成都 611731；2.上?？臻g推進(jìn)研究所，上海 201112；3.上?？臻g發(fā)動(dòng)機(jī)工程技術(shù)研究中心，上海 201112)

0 引 言

超聲電噴推力器(Ultrasonically aided electros-pray thruster，UAET)是一種利用超聲波源對(duì)發(fā)射極液面振動(dòng)來產(chǎn)生帶電液滴，在電場(chǎng)作用下形成定向推力的一種推力器。與其他微推進(jìn)技術(shù)相比，UAET的性能一般覆蓋1～100 μN(yùn)推力、500～5000 s比沖的推進(jìn)性能范圍，并且在工作過程中可以隨時(shí)調(diào)整推進(jìn)性能(工況可調(diào)技術(shù))，是一種適用于微小衛(wèi)星的推進(jìn)技術(shù)。目前，實(shí)驗(yàn)室水平UAET樣機(jī)的工作性能距離工程化應(yīng)用階段尚有差距。因此，現(xiàn)階段關(guān)于UAET的研究依然集中在性能提升方面。

關(guān)于UAET的研究歷程始于2010年，最初的研究多集中于原理驗(yàn)證和工作特性的探索，例如，電場(chǎng)強(qiáng)度、超聲波頻率對(duì)液滴形成質(zhì)量、體積以及荷質(zhì)比的影響，以及駐波大小對(duì)發(fā)射液滴尺寸的影響等。同時(shí)，超聲振動(dòng)機(jī)制可以增益電噴液滴的發(fā)射。接著，發(fā)射極采用柵網(wǎng)設(shè)計(jì)時(shí)可提高放電電流密度，進(jìn)而提升推力和比沖，然而，這種設(shè)計(jì)方法會(huì)給柵極帶來一定的腐蝕以及在高電壓工況下的擊穿打火問題。除上述影響推進(jìn)性能的因素外，流體工質(zhì)的電導(dǎo)率和黏性也是影響推進(jìn)性能的因素之一：工質(zhì)電導(dǎo)率的提升可以令液滴充電速度增加，提高發(fā)射液滴的荷質(zhì)比，而工質(zhì)黏性的增加可以讓液滴在充電時(shí)有足夠的時(shí)間累積電荷，令液滴的帶電量達(dá)到一定數(shù)量時(shí)才能被牽引出駐波間斷，同樣可以提高發(fā)射液滴的荷質(zhì)比。此外，液滴的體積、黏性在羽流輸運(yùn)中會(huì)影響推進(jìn)性能，體積大、黏性小的液滴在羽流中更易發(fā)生破碎和對(duì)周圍環(huán)境的輻射散熱，導(dǎo)致液滴所持動(dòng)能下降，減小推力、比沖等性能參數(shù)。其次，UAET的液滴發(fā)射并不能完全等同于泰勒錐的發(fā)射機(jī)理，在高頻超聲波源的誘導(dǎo)下，細(xì)小駐波尖端只有很少的時(shí)間和很小的電荷容納空間來制造帶電液滴，并且駐波的細(xì)長(zhǎng)構(gòu)形可以觸發(fā)更高的液滴發(fā)射能力。

綜上，關(guān)于UAET性能參數(shù)的優(yōu)化與調(diào)整已存在較為完整的理論，但依然有一些未涉及的研究領(lǐng)域：駐波的形成過程對(duì)發(fā)射液滴存在顯著影響，而關(guān)于駐波相關(guān)尺寸參數(shù)的影響因素和調(diào)整方法尚處于研究不足的狀態(tài)，并且，超聲波頻率、振幅對(duì)駐波相關(guān)尺寸參數(shù)(陣列間距、高度以及駐波底面最大半徑)的影響直接關(guān)系到液滴發(fā)射能力，這也是現(xiàn)階段制約UAET性能優(yōu)化的關(guān)鍵問題。

為解決上述問題，本文將針對(duì)UAET的駐波尺寸特性進(jìn)行詳細(xì)研究。由于目前試驗(yàn)方法的局限，以試驗(yàn)方法無(wú)法揭示微秒時(shí)間尺度、微米空間尺度的駐波形成過程的細(xì)節(jié)，因此，需要采用數(shù)值方法與試驗(yàn)方法相結(jié)合來針對(duì)上述問題進(jìn)行研究。首先，建立柱坐標(biāo)下的液面振動(dòng)微分方程，使用有限差分方法進(jìn)行離散，設(shè)定振動(dòng)源項(xiàng)為發(fā)射面邊緣的等向心振動(dòng)分布，其次，以高速相機(jī)對(duì)駐波尺寸參數(shù)的測(cè)量數(shù)據(jù)驗(yàn)證數(shù)值模型的計(jì)算精度，驗(yàn)證數(shù)值方法的合理性。在此基礎(chǔ)上，利用該數(shù)值模型分析超聲頻率和振幅對(duì)駐波相關(guān)尺寸的影響規(guī)律和相應(yīng)機(jī)理，為UAET的駐波尺寸優(yōu)化提供理論參考。

1 數(shù)值模型

1.1 物理問題的微觀描述

UAET的發(fā)射極為圓盤狀金屬電極，發(fā)射極中心有細(xì)長(zhǎng)通道可對(duì)液滴工質(zhì)進(jìn)行補(bǔ)給，而發(fā)射極表面通常有工質(zhì)形成的液膜覆蓋。在推力器正常工作時(shí)，發(fā)射極會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，從而誘發(fā)液膜表面的駐波形成。因此，UAET的液膜表面振動(dòng)問題屬于液體工質(zhì)的振動(dòng)問題，式(1)描述了液膜空間內(nèi)各點(diǎn)的方向的振動(dòng)位移：

(1)

其中，表示垂直于面的振動(dòng)位移，(,,)為由發(fā)射極振動(dòng)所產(chǎn)生的令液面邊緣向上的張力源項(xiàng)，為液體工質(zhì)的剪切率，表征液面波傳遞過程的能量衰減效應(yīng)，系數(shù)可描述為

=

(2)

式中:為液面微元網(wǎng)格內(nèi)的表面張力，為與方向垂直的面網(wǎng)格面積，為液體工質(zhì)密度?？梢杂晌墨I(xiàn)[15]提出的CSF模型來進(jìn)行計(jì)算，

(3)

式中:為表面張力系數(shù)，其中為L(zhǎng)evel-Set函數(shù)，與所在空間位置有關(guān)，()為曲率矢量，()為Heaviside函數(shù)，可描述為

(4)

其中，為液-氣界面的過渡區(qū)域厚度，可取=15(為邊界處最小面網(wǎng)格尺寸)。

由于(,,)無(wú)法通過試驗(yàn)方法測(cè)得，故本文需要引入一些假設(shè)。首先，超聲波振源的振動(dòng)是比較復(fù)雜的，當(dāng)這種振動(dòng)作用傳遞到液膜時(shí)會(huì)產(chǎn)生2個(gè)方面的效果：對(duì)液膜產(chǎn)生橫向振動(dòng)及縱向振動(dòng)。但根據(jù)其他形式表面駐波的形成機(jī)理，表面駐波只能通過橫波干涉產(chǎn)生，故本文認(rèn)為縱向振動(dòng)作用對(duì)駐波形成可以忽略，此為第1個(gè)假設(shè)。其次，(,,)與波源的振動(dòng)參數(shù)有關(guān)，在圖1中，發(fā)射極、變幅桿以及振源是相互接觸的，因此發(fā)射極的振動(dòng)頻率與振源一致，但振幅會(huì)有所不同，故(,,)的頻率與振源一致，此為第2個(gè)假設(shè)。而張力的振幅應(yīng)添加經(jīng)驗(yàn)系數(shù)。

圖1 UAET推力器示意圖Fig.1 Schematic diagram of UAET

需要說明的是，振源的橫向振動(dòng)方向應(yīng)為平面上的某個(gè)方向，本文不妨取沿軸的方向。式(5)描述了發(fā)射極表面雙振點(diǎn)在任意時(shí)刻的源項(xiàng)力(,,)的變化規(guī)律：

(,,)=

(5)

其中，坐標(biāo)原點(diǎn)位于發(fā)射極表面的中心，為發(fā)射極半徑，為超聲波源的頻率，為微元體積元內(nèi)的液體質(zhì)量，取體網(wǎng)格內(nèi)的液體質(zhì)量，為超聲波波源的振幅，為修正振幅的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。在后文的驗(yàn)證試驗(yàn)中，計(jì)算結(jié)果對(duì)是比較敏感的，當(dāng)發(fā)生變化時(shí)，計(jì)算結(jié)果主要存在兩點(diǎn)變化特性：(1)計(jì)算結(jié)果數(shù)值與試驗(yàn)值會(huì)有差異；(2)計(jì)算結(jié)果的變化趨勢(shì)(分布曲線)與試驗(yàn)值的變化趨勢(shì)有差異。為了保證上述兩點(diǎn)都能夠達(dá)到吻合，經(jīng)多次嘗試，取0.18與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

1.2 離散化處理和網(wǎng)格劃分

如圖2所示，計(jì)算域分為液體計(jì)算域和真空計(jì)算域，內(nèi)部淺綠色透明部分為液體計(jì)算域，表征發(fā)射極表面上的液體工質(zhì)區(qū)域，其它區(qū)域?yàn)檎婵諈^(qū)域。在液體計(jì)算域內(nèi)，上表面與真空交界設(shè)為自由振動(dòng)邊界，只受液體內(nèi)部張力的影響；側(cè)周向表面與真空交界設(shè)為固定邊界，對(duì)振動(dòng)傳遞進(jìn)行完全彈性反射處理，同時(shí)約束整個(gè)液體內(nèi)部各點(diǎn)不發(fā)生徑向、周向位移振動(dòng)；底面與發(fā)射極交界設(shè)為固定補(bǔ)償邊界，在液體有進(jìn)出時(shí)自動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償或移除。

圖2 計(jì)算域內(nèi)的網(wǎng)格劃分Fig.2 Mesh generation in the computational domain

在進(jìn)行空間離散和時(shí)間離散處理后，式(1)可轉(zhuǎn)化為：

(6)

其中,為非負(fù)整數(shù)，取=0,1,2,3,…。式(6)屬于顯式格式下的計(jì)算方法，相比隱式來說，計(jì)算量較高，但易于收斂?？紤]本文算例的計(jì)算量相對(duì)較高，因此，使用顯式格式的方法比較實(shí)用。顯式格式下的時(shí)間步長(zhǎng)應(yīng)約束在式(7)的條件內(nèi)：

(7)

在第4節(jié)中，由于超聲波振頻在30～120 kHz范圍，駐波尺寸在10～100 μm量級(jí)，故空間步長(zhǎng)Δ和Δ取1 μm。那么，Δ應(yīng)不大于2.5×10s，本文取Δ=2×10s。然而，如果振頻有所降低，那么駐波尺寸會(huì)隨之升高，空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)也會(huì)隨之升高。

1.3 收斂條件

本文計(jì)算的輸入條件是從=0開始的，即整個(gè)液膜表面的駐波形成過程是從非穩(wěn)態(tài)到穩(wěn)態(tài)的收斂過程。那么，計(jì)算的收斂條件需要按照駐波到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)的狀態(tài)特點(diǎn)來確定。圖3給出一個(gè)典型工況(=0.2 m，=0.052 m，=1 kHz)下駐波的形成過程(在低頻時(shí)，駐波尺寸較大，展示效果較好)。

圖3給出了液膜表面在左右兩個(gè)振點(diǎn)擾動(dòng)下逐漸形成穩(wěn)態(tài)駐波的衍化過程，主要可分為4個(gè)階段：

(1)早期干涉階段(圖3(a)～(b))。在液面被振點(diǎn)擾動(dòng)的最初期，液面呈現(xiàn)少量波紋以及反射波紋，在此階段，波紋與反射波紋會(huì)進(jìn)行較為簡(jiǎn)單的單次或雙次干涉。

(2)振點(diǎn)波紋集中階段(圖3(c)～(e))。當(dāng)液面出現(xiàn)大量反射的波紋后，在振點(diǎn)附近的高能量波紋與大量發(fā)射而來的波紋開始產(chǎn)生多次干涉的疊加過程，導(dǎo)致振點(diǎn)附近的波紋開始變得密集，并且這種密集特性對(duì)振點(diǎn)向外發(fā)出的波紋會(huì)有一定程度的影響。

(3)正交波紋形成階段(圖3(f)～(g))。當(dāng)振點(diǎn)附近的波紋更加集中時(shí)，振點(diǎn)對(duì)外輻射的波紋開始逐漸受到影響，波紋開始由最初的環(huán)形波紋向正交直線波紋過渡，在這個(gè)過程中，正交波紋具有較大的振幅和能量，逐漸有少量的、不穩(wěn)定的駐波形成。

(4)駐波陣列形成階段(圖3(h))。在正交波紋區(qū)與振點(diǎn)附近的密集波紋區(qū)相互作用趨于穩(wěn)定時(shí)，密集波紋區(qū)將不再有大小和形態(tài)上的變化，且正交波紋區(qū)開始形成規(guī)則的、穩(wěn)定的駐波陣列，駐波的間距、高度和直徑等參數(shù)將趨于恒值。

圖3 不同時(shí)間步長(zhǎng)下的液面波紋衍化Fig.3 The ripple evolution on the liquid film at different time steps

根據(jù)圖3的計(jì)算結(jié)果，駐波相關(guān)的尺寸參數(shù)(間距、高度和直徑)應(yīng)該是收斂判定的核心因素：在駐波形成過程中，非穩(wěn)態(tài)駐波的間距、高度和直徑都會(huì)隨著時(shí)間步長(zhǎng)推移而發(fā)生變化，當(dāng)且僅當(dāng)計(jì)算進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過程時(shí)，上述參數(shù)可趨于恒值。因此，穩(wěn)態(tài)的判定條件應(yīng)基于上述參數(shù)是否能維持恒值。而在本文特定問題中，駐波高度是最容易判定收斂的幾何參數(shù)。原因?yàn)?，所有駐波陣列中最高駐波的頂點(diǎn)高度(,,)就是整個(gè)計(jì)算域內(nèi)在方向的最大位移(,,)(計(jì)算域內(nèi)的所有液體必然低于最高駐波的頂點(diǎn))，那么，只要針對(duì)(,,)進(jìn)行恒值判斷即可：

(8)

其中:從兩個(gè)方面對(duì)(,,)進(jìn)行恒值判斷：(1)當(dāng)前時(shí)間步長(zhǎng)的(Δ)與前一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的((-1)Δ)的計(jì)算殘差要小于0.01%，這表示當(dāng)前時(shí)刻的(,,)幾乎不變；(2)當(dāng)前時(shí)間步長(zhǎng)的(Δ)與前100個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)中(,,)平均值的殘差要小于0.1%，這表示一段時(shí)間內(nèi)的(,,)都必須保持穩(wěn)恒狀態(tài)。

2 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證數(shù)值模型的計(jì)算精度，開展對(duì)UAET駐波陣列的測(cè)量試驗(yàn)。試驗(yàn)布置如圖4所示，以高速像機(jī)來對(duì)液膜表面的駐波形貌進(jìn)行拍照捕捉，并測(cè)量駐波的相關(guān)尺寸參數(shù)，再以相同工況下駐波尺寸參數(shù)的計(jì)算值與試驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證模型的正確性。

圖4 駐波陣列測(cè)量試驗(yàn)布置Fig.4 The test layout of standing wave measurement

高速相機(jī)的具體設(shè)備參數(shù)如下：型號(hào)規(guī)格Memrecam HX-6，傳感器分辨率2560×1920，光感度Colours ISO 10000，最大拍攝頻率65000 Hz，覆蓋波長(zhǎng)250～1100 nm，但在此拍攝頻率下的分辨率較低(79×118)，而本文所采用的拍攝頻率為25000 Hz，對(duì)應(yīng)分辨率為 384×576(該分辨率可以勉強(qiáng)獲得清晰的駐波形貌)。需要說明的是，在高速相機(jī)鏡頭前需添加鏡前玻璃片(50 mm×100 mm，透光率94%)，以防UAET直接噴出的液滴對(duì)鏡頭造成腐蝕或沉積影響，玻璃片與發(fā)射極的距離為5 cm。那么，需在此距離上對(duì)高速相機(jī)進(jìn)行自標(biāo)定，即利用相機(jī)對(duì)消失點(diǎn)的捕捉來完成相機(jī)的標(biāo)定，計(jì)算相機(jī)的內(nèi)參矩陣、外參矩陣以及畸變參數(shù)。在標(biāo)定之后，縱向有效焦距和橫向有效焦距都在2個(gè)像素內(nèi)波動(dòng)，消失點(diǎn)的測(cè)量誤差在0.2%以內(nèi)，可基本滿足試驗(yàn)需要。

驗(yàn)證試驗(yàn)所使用的UAET具有3種規(guī)格的超聲波發(fā)生器，振幅均為0.052 m，頻率如下：80 kHz、90 kHz和120 kHz。推力器的工質(zhì)為HO，發(fā)射極半徑為1 cm。

駐波相關(guān)尺寸參數(shù)有3個(gè)：兩相鄰駐波間距(定義為：兩駐波中心距離)、駐波液錐的最大底面半徑以及駐波高度。然而，就目前的試驗(yàn)條件而言，只有駐波間距是可以準(zhǔn)確測(cè)量的尺寸參數(shù)。在駐波的周期性變化中，駐波液錐的底面半徑是隨著時(shí)間而發(fā)生變化的，而通過高速相機(jī)捕捉到的時(shí)刻未必是駐波達(dá)到波峰的時(shí)刻，只有每次捕捉到的駐波都處于波峰狀態(tài)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的駐波底面半徑才是最大半徑，因而照片中所示的駐波液錐半徑不能作為驗(yàn)證依據(jù)；此外，在側(cè)面拍攝駐波高度的過程中，由于側(cè)面霧化液滴逸出情況比俯視方向的液滴逸出情況更加惡劣，目前為止，本實(shí)驗(yàn)室尚無(wú)法拍攝到清晰的駐波高度照片，因而對(duì)駐波高度的驗(yàn)證也不可行。

關(guān)于駐波間距的試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)與相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果的對(duì)比如圖5所示。在駐波間距測(cè)量的照片中，任意選擇5組駐波進(jìn)行測(cè)距(每組包含11個(gè)相鄰駐波，共10個(gè)駐波間距)，每組測(cè)量結(jié)果除以10，獲得5組結(jié)果后再取平均值，以平均值作為最終的駐波間距測(cè)量結(jié)果與計(jì)算值對(duì)比，具體測(cè)距方法可參考圖5(a)、(c)、(e)。根據(jù)不同超聲頻率工況下的試驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果對(duì)比：在80 kHz時(shí)，計(jì)算誤差在5.35%；在90 kHz時(shí)，計(jì)算誤差在3.46%；在120 kHz時(shí)，計(jì)算誤差在4.72%。

圖5 駐波間距的拍攝照片與計(jì)算云圖對(duì)比Fig.5 Comparison of the photographed photos and calculated contours of standing wave intervals

誤差產(chǎn)生原因主要在于兩個(gè)方面：(1)測(cè)量?jī)x器、方法的誤差；(2)計(jì)算模型的誤差。首先，就測(cè)量?jī)x器而言，由消失點(diǎn)所產(chǎn)生的誤差在0.2%，由拍攝像素不清晰所產(chǎn)生的誤差在2像素(轉(zhuǎn)化為圖中距離為0.34 μm)，但在本文測(cè)量方法“10個(gè)為一組進(jìn)行成組測(cè)量”下，每測(cè)10個(gè)間距誤差為0.34 μm，那么每個(gè)間距的誤差在0.034 μm，相對(duì)誤差在0.94%～1.01%之間。那么，試驗(yàn)所帶來的最大誤差約為1.21%。

綜上，本模型的最大誤差約6.55% (5.34%+1.21%)，且計(jì)算值與試驗(yàn)值在變化趨勢(shì)上一致，在一定程度上可證明后文計(jì)算結(jié)果的有效性，以及表征了駐波相關(guān)參數(shù)的計(jì)算誤差范圍。

需要說明的是，在當(dāng)前試驗(yàn)條件下，駐波的高度和半徑是無(wú)法直接通過試驗(yàn)進(jìn)行定量驗(yàn)證的，只能通過駐波間距的驗(yàn)證來間接證明高度和半徑計(jì)算的正確性，而在圖5的照片/云圖對(duì)比中，可以看出計(jì)算結(jié)果中的駐波的高度、半徑的大小變化趨勢(shì)與試驗(yàn)值基本一致，這可以從定性角度說明高度和半徑計(jì)算的正確性。當(dāng)然，在未來試驗(yàn)條件達(dá)到一定水平時(shí)，將再次對(duì)高度和半徑進(jìn)行驗(yàn)證。

3 計(jì)算結(jié)果與分析

本節(jié)將針對(duì)波源頻率、振幅對(duì)駐波尺寸的影響規(guī)律和機(jī)理進(jìn)行研究。計(jì)算輸入條件：波源振幅取0.12～0.8 m(目前能夠滿足UAET內(nèi)部空間尺寸的振源的最大振幅在0.72 m以下)；波源頻率取20 kHz～2.4 MHz；發(fā)射極半徑1 cm。

3.1 波源頻率

在本節(jié)中，波源振幅取固定值0.52 m。駐波間距關(guān)于波源頻率的變化規(guī)律如圖6所示。隨著超聲波源頻率的升高，駐波間距呈現(xiàn)出逐漸降低的趨勢(shì)，曲線呈Rational函數(shù)分布。圖7針對(duì)不同頻率下波紋的傳輸速度進(jìn)行了對(duì)比：波紋的傳輸速度幾乎不會(huì)隨著頻率的升高而發(fā)生變化，從數(shù)值計(jì)算的角度來看，在液膜表面振動(dòng)的微分方程(式(2))中，波源頻率與波速?zèng)]有產(chǎn)生影響，因而，根據(jù)經(jīng)典的波速與波長(zhǎng)的關(guān)系=(為波長(zhǎng)，為波速，為波的頻率)，隨著頻率的升高，確實(shí)將導(dǎo)致波長(zhǎng)(即駐波間距)降低。

圖6 駐波間距隨波源頻率的分布曲線Fig.6 The curve of the standing wave interval as a function of the wave source frequency

圖7 波紋傳輸速度隨波源頻率的分布曲線Fig.7 The curve of the wave velocity with respect to the wave source frequency

駐波高度和底面半徑隨波源頻率的變化規(guī)律見圖8，隨著頻率升高，駐波高度和半徑均呈現(xiàn)逐漸降低的趨勢(shì)，服從指數(shù)函數(shù)分布。由于駐波是由若干波紋進(jìn)行干涉疊加而形成的，因此駐波高度與駐波半徑應(yīng)和單個(gè)波紋的形成過程有關(guān)。圖11給出不同頻率下液膜表面形成一個(gè)波紋的所需時(shí)間、形成過程中令波紋上升的平均應(yīng)力以及波紋截面輪廓。隨著波源頻率的升高，形成波紋的平均應(yīng)力幾乎不變，但所需時(shí)間會(huì)降低，導(dǎo)致單個(gè)波紋的整體尺寸減小，進(jìn)而導(dǎo)致波紋疊加后的駐波的尺寸減小。

圖8 駐波尺寸隨波源頻率的變化規(guī)律Fig.8 Variation of the standing wave sizes with respect to the wave source frequency

3.2 波源振幅

在本節(jié)中，波源頻率取固定值120 kHz。駐波間距關(guān)于振幅的依變規(guī)律如圖9所示，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，隨振幅升高，駐波間距幾乎不發(fā)生變化。據(jù)波速計(jì)算公式=，波紋波長(zhǎng)(即駐波間距)與振幅無(wú)相互作用關(guān)系，因此，調(diào)整波源振幅幾乎不影響駐波間距。

圖9 駐波間距隨波源振幅的分布曲線Fig.9 The curve of the standing wave interval as a function of the wave source amplitude

駐波高度和半徑隨振幅的變化規(guī)律如圖10所示，隨振幅升高，駐波高度和半徑均呈現(xiàn)逐漸升高的趨勢(shì)，并服從指數(shù)函數(shù)分布。這里同樣給出不同振幅下液膜表面制造一個(gè)波紋的所需時(shí)間及波紋截面輪廓，如圖12所示。隨著波源振幅的升高，波紋的形成時(shí)間幾乎不變，但形成波紋的平均應(yīng)力在升高，導(dǎo)致單個(gè)波紋整體尺寸升高，進(jìn)而駐波尺寸升高。

圖10 駐波尺寸隨波源振幅的變化規(guī)律Fig.10 Variation of the standing wave sizes with respect to the wave source amplitude

圖11 形成一個(gè)波紋的所需時(shí)間、平均應(yīng)力以及波紋輪廓(不同頻率)Fig.11 Time and average stress required to form a wave and wave profiles (at different frequencies)

圖12 形成一個(gè)波紋的所需時(shí)間、平均應(yīng)力以及波紋輪廓(不同振幅)Fig.12 Time and average stress required to form a wave and wave profiles (at different amplitudes)

綜上，波源頻率和振幅對(duì)駐波尺寸的影響機(jī)制是不同的，頻率影響駐波尺寸主要通過影響形成單個(gè)波紋的時(shí)間，而振幅影響駐波尺寸主要通過影響形成單個(gè)波紋的平均應(yīng)力。值得注意的是，這兩種機(jī)制對(duì)波紋輪廓的影響也有不同：盡管提高頻率或降低振幅都可以減小波紋的整體尺寸，但不同振幅所對(duì)應(yīng)的波紋截面幾何形狀服從圖形相似(在視覺上呈現(xiàn)按比例的放大或縮小)，并且可以保持駐波的細(xì)長(zhǎng)構(gòu)形；而頻率對(duì)波紋截面輪廓的改變則不服從圖形相似規(guī)律，且隨著頻率升高，駐波構(gòu)形逐漸從“細(xì)長(zhǎng)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤鞍珜挕?。至此，可得到一個(gè)對(duì)液滴發(fā)射性能提高的優(yōu)化思路：若要在保持細(xì)長(zhǎng)駐波構(gòu)形(細(xì)長(zhǎng)構(gòu)形的駐波具有更高的液滴發(fā)射能力)的基礎(chǔ)上提高液滴發(fā)射能力，最好的調(diào)整方式則是提高波源振幅。

4 結(jié) 論

超聲電噴推力器的波源頻率、振幅對(duì)駐波形成過程以及尺寸特性存在顯著影響，通過數(shù)值方法研究，獲得波源頻率與振幅對(duì)駐波三個(gè)相關(guān)尺寸的影響規(guī)律：(1)隨著波源頻率升高，駐波間距降低，降低趨勢(shì)服從Rational函數(shù)分布(見圖6)，駐波高度和半徑降低，降低趨勢(shì)服從指數(shù)函數(shù)分布(見圖8)；(2)波源振幅對(duì)駐波間距幾乎不產(chǎn)生影響，但隨著振幅升高，駐波高度和半徑均升高，升高趨勢(shì)服從無(wú)理函數(shù)分布(見圖10)。

同時(shí)，通過計(jì)算結(jié)果，揭示波源頻率和振幅對(duì)駐波尺寸特性的影響機(jī)制不同：頻率主要通過改變波紋形成的所需時(shí)間；而振幅主要通過改變波紋形成的平均應(yīng)力，這兩種不同機(jī)制會(huì)影響駐波構(gòu)形的變化規(guī)律，例如，不同振幅下的駐波變化可保持“細(xì)長(zhǎng)”構(gòu)形。