管 萍，吳希巖，戈新生，曹彧騰

(北京信息科技大學(xué)自動化學(xué)院，北京 100192)

0 引 言

隨著航天技術(shù)的進(jìn)步和航天任務(wù)的多樣化，現(xiàn)代航天器需要搭載多種有效載荷。為了控制航天器的質(zhì)量以降低發(fā)射成本，這些有效載荷大都是輕質(zhì)的超大型撓性結(jié)構(gòu)，如空間太陽能電站、太陽帆航天器等，主要由大型撓性結(jié)構(gòu)組成，其尺寸、體積和重量在航天器整體中占絕大比例，航天器的平臺部分所占比例非常小。當(dāng)撓性結(jié)構(gòu)質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量超過航天器剛體平臺的占比時，航天器姿態(tài)運(yùn)動與其大型撓性結(jié)構(gòu)振動的耦合效應(yīng)將變得十分突出。航天器在軌工作時，大型撓性結(jié)構(gòu)的彈性振動易于發(fā)生且很難衰減，并顯著影響航天器姿態(tài)穩(wěn)定，從而導(dǎo)致航天器工作性能下降。因此，提出既能滿足航天器姿態(tài)穩(wěn)定要求，又能抑制其撓性結(jié)構(gòu)復(fù)雜振動的有效控制方案，是大型撓性航天器姿態(tài)控制研究中必須解決的科學(xué)難題。

眾多學(xué)者對撓性航天器姿態(tài)控制做了不斷研究，取得了許多重要成果。文獻(xiàn)[2]設(shè)計了一種新型預(yù)設(shè)性能姿態(tài)控制器，可使撓性航天器的姿態(tài)跟蹤誤差在預(yù)設(shè)時間內(nèi)收斂到平衡范圍。文獻(xiàn)[3]針對撓性航天器姿態(tài)控制問題，設(shè)計了非奇異終端滑模控制器，使姿態(tài)角快速趨于穩(wěn)定。文獻(xiàn)[4]針對一類撓性多體衛(wèi)星的姿態(tài)控制問題，提出一種新型滑模變結(jié)構(gòu)控制算法，控制器采用了遞歸學(xué)習(xí)控制結(jié)構(gòu)，能夠有效解決傳統(tǒng)滑?？刂萍夹g(shù)的抖振問題。文獻(xiàn)[5]提出了一種將非線性狀態(tài)觀測器和轉(zhuǎn)動慣量辨識相結(jié)合的精確補(bǔ)償控制方法，提高了姿態(tài)控制的響應(yīng)速度，滿足了撓性衛(wèi)星機(jī)動過程的快速性和穩(wěn)定性。上述文獻(xiàn)所設(shè)計的撓性航天器姿態(tài)控制器，已取得了較好的控制效果。然而，上述文獻(xiàn)針對的撓性航天器均屬于大中心剛體-小撓性附件的耦合形式，即撓性附件的轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)量占整星的比重非常小，撓性結(jié)構(gòu)的振動對中心剛體運(yùn)動的影響相對較小，采用約束模態(tài)法建立的動力學(xué)模型構(gòu)造簡單，能直觀反應(yīng)中心剛體與撓性結(jié)構(gòu)之間的耦合特性。而對于安裝有大型撓性附件的航天器，屬于小中心剛體-大撓性附件的耦合形式，撓性附件的尺寸、體積和重量在航天器整體中占絕大比例，航天器的中心剛體部分所占比例非常小，撓性結(jié)構(gòu)的振動對中心剛體姿態(tài)運(yùn)動具有較大影響，被稱為大撓性航天器。對于這類大撓性航天器，如仍采用約束模態(tài)法建模就會產(chǎn)生較大誤差。Hablani在文獻(xiàn)[6]中指出非約束模態(tài)法建模的精度和約束模態(tài)法建模的精度與撓性體和剛體之間的慣量比有關(guān)，當(dāng)中心剛體占比較小時，采用約束模態(tài)法建立動力學(xué)模型將有較大誤差。非約束模態(tài)法描述的撓性航天器整體動力學(xué)系統(tǒng)的頻率特性，更接近航天器在軌實(shí)際飛行狀況。非約束模態(tài)法也被稱為全局模態(tài)法，所建立的大撓性航天器動力學(xué)模型較為精確，具有高精度和低維度的特點(diǎn)，適宜于姿態(tài)控制器的設(shè)計。文獻(xiàn)[10]考慮了航天器的快速機(jī)動，采用全局模態(tài)法建立了大型撓性航天器的解耦模型，通過與有限元法計算結(jié)果的比較，驗(yàn)證了模型的正確性。文獻(xiàn)[11]通過全局模態(tài)法建立了具有多塊太陽能帆板的大型柔性航天器動力學(xué)模型，與有限元法得到的固有頻率進(jìn)行了對比，驗(yàn)證了所建立模型的有效性。文獻(xiàn)[12]針對安裝有一對大型太陽能帆板的三軸姿態(tài)穩(wěn)定航天器，進(jìn)行了全局模態(tài)建模，利用ANSYS軟件進(jìn)行分析，結(jié)果表明了該方法具有精度高、收斂性好、效率高等優(yōu)點(diǎn)。近年來，在全局模態(tài)法建立的更為精確的大型撓性航天器動力學(xué)模型基礎(chǔ)上，一些專家和學(xué)者開展了大型撓性航天器姿態(tài)控制的研究。文獻(xiàn)[13-14]采用全局模態(tài)法建立了大型撓性航天器動力學(xué)模型，并針對單軸姿態(tài)穩(wěn)定問題，分別設(shè)計了PD姿態(tài)控制器和LQR姿態(tài)控制器，取得了較好的控制效果。文獻(xiàn)[15]針對裝有大型太陽帆板的航天器，采用全局模態(tài)法建立了剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型，并設(shè)計了LQR協(xié)同控制器實(shí)現(xiàn)了單軸姿態(tài)穩(wěn)定和振動抑制。上述研究采用全局模態(tài)法建立了準(zhǔn)確的動力學(xué)模型，然而僅設(shè)計了大型撓性航天器的單軸姿態(tài)控制器，到目前為止，鮮少有大型撓性航天器的三軸姿態(tài)控制研究，且未考慮控制輸入約束問題。由于航天器的執(zhí)行器、傳感器等硬件資源有限，在考慮系統(tǒng)約束限制的同時需確保精確的姿態(tài)指向，這些對控制器的設(shè)計提出了更高的要求。在眾多的控制方法中，模型預(yù)測控制(Model predictive control,MPC)為有各種約束的控制問題提供了很好的解決方案。MPC基于系統(tǒng)在每個采樣時刻的當(dāng)前狀態(tài)，在線求解有限時域開環(huán)優(yōu)化問題，得到最優(yōu)控制序列，序列的第一部分在每次執(zhí)行器更新時應(yīng)用于系統(tǒng)。由于撓性振動模態(tài)是無法精確測量的，進(jìn)行全狀態(tài)已知的控制器設(shè)計具有一定困難，在姿態(tài)控制器設(shè)計中可將撓性振動作為對姿態(tài)系統(tǒng)的未知擾動。為了更好地降低撓性附件振動對中心剛體的影響，所設(shè)計的姿態(tài)控制器需具有較強(qiáng)的抗干擾能力。魯棒模型預(yù)測控制(Robust model predictive control，RMPC)可以較好地處理實(shí)際系統(tǒng)中出現(xiàn)的各種不確定性和擾動。RMPC方法一般分為三種：第一種采用標(biāo)稱MPC算法的內(nèi)在魯棒性對抗擾動；第二種采用min-max MPC方法，保證在最差的情況下性能指標(biāo)是最優(yōu)的，與標(biāo)稱MPC的內(nèi)在魯棒性相比，min-max MPC在犧牲計算量的前提下提高了系統(tǒng)的魯棒性；而第三種是基于“管道”(Tube)的RMPC方法，在具有擾動的情況下，基于Tube的RMPC可使被控系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)保持在以標(biāo)稱軌跡為中心的Tube不變集內(nèi)，并驅(qū)使實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)沿著標(biāo)稱軌跡到達(dá)平衡點(diǎn)，故能有效抑制擾動，且降低了在線計算量。因此，設(shè)計基于Tube的RMPC姿態(tài)控制器可有效處理大型撓性附件振動對中心剛體姿態(tài)的影響。

基于以上分析，針對大型撓性航天器的三軸姿態(tài)控制問題，采用RMPC進(jìn)行姿態(tài)控制器設(shè)計。首先通過求解帶有約束的標(biāo)稱MPC問題，生成標(biāo)稱軌跡，在此基礎(chǔ)上采用輔助反饋控制設(shè)計RMPC姿態(tài)控制器，以有效抑制系統(tǒng)中的各種擾動。對于大撓性航天器，當(dāng)大型撓性附件振動對中心剛體姿態(tài)產(chǎn)生擾動時，可使航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的狀態(tài)保持在以標(biāo)稱軌跡為中心的Tube不變集內(nèi)，并驅(qū)使實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)標(biāo)稱軌跡上，最終沿著標(biāo)稱軌跡到達(dá)平衡點(diǎn)。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計的基于Tube的RMPC可有效減少大撓性振動對中心剛體姿態(tài)的影響，實(shí)現(xiàn)航天器三軸姿態(tài)的精確跟蹤。

1 大型撓性航天器的數(shù)學(xué)模型

本文所研究的被控對象為帶有大型橫向太陽帆板的航天器，由中心剛體和安裝在兩側(cè)的太陽帆板組成，太陽帆板受驅(qū)動可定向旋轉(zhuǎn)。如圖1所示：

圖1 雙太陽帆板航天器坐標(biāo)系示意圖Fig.1 The sketch of coordinate frames for spacecraft with two solar arrays

其中,-為慣性參考坐標(biāo)系，-為中心平臺的固連坐標(biāo)系，-為太陽帆板的固連坐標(biāo)系，為太陽帆板所在平面與水平面之間的預(yù)設(shè)角度。

基于哈密頓原理和全局模態(tài)方法建立的大型撓性航天器的動力學(xué)模型為：

(1)

其中，∈(6+)×(6+)為質(zhì)量矩陣，∈(6+)×(6+)為阻尼矩陣,∈(6+)×(6+)為剛度矩陣，為撓性振動模態(tài)的階數(shù)。∈6+為自由度變量，∈6+為外力變量，分別為：

(2)

=

(3)

其中，和為航天器平動位移；,,為航天器轉(zhuǎn)動角度；為太陽帆板轉(zhuǎn)動角度；為撓性振動模態(tài)；,,,為控制力矩；,,,為模態(tài)函數(shù)。,,的表達(dá)式分別為

(4)

(5)

式中變量的詳細(xì)含義可見文獻(xiàn)[21]。

假設(shè)航天器已到達(dá)軌道預(yù)定位置，完成定向?qū)θ蘸?，太陽帆板與航天器本體的相對偏轉(zhuǎn)角鎖定，忽略軌道動力學(xué)的影響，取前兩階撓性振動模態(tài)，則式(1)轉(zhuǎn)化為

(6)

(7)

(8)

系統(tǒng)所受控制力矩約束

(9)

實(shí)際狀態(tài)和期望狀態(tài)的誤差為

=-

(10)

對式(10)求導(dǎo)

(11)

本文的控制目標(biāo)為：針對大型撓性航天器系統(tǒng)(式(8))，將三軸姿態(tài)角和太陽帆板轉(zhuǎn)動角度作為狀態(tài)變量，在滿足控制輸入約束條件下設(shè)計姿態(tài)控制器，使航天器三軸姿態(tài)既可快速跟蹤指定角度，又可保持太陽帆板位置穩(wěn)定，同時有效減少撓性振動對中心剛體的影響。

2 魯棒模型預(yù)測姿態(tài)控制器

RMPC姿態(tài)控制器的設(shè)計步驟為：首先，將模型預(yù)測控制應(yīng)用到不考慮擾動的標(biāo)稱撓性航天器系統(tǒng)中，通過求解優(yōu)化問題推導(dǎo)預(yù)測控制律，從而得到三軸姿態(tài)的標(biāo)稱軌跡。然后，為有效降低大型撓性附件振動對中心剛體姿態(tài)的擾動影響，針對帶有擾動的大撓性航天器實(shí)際系統(tǒng)，設(shè)計由標(biāo)稱系統(tǒng)狀態(tài)與實(shí)際姿態(tài)控制系統(tǒng)狀態(tài)的誤差構(gòu)成的輔助反饋控制器。當(dāng)大型撓性附件振動對中心剛體姿態(tài)產(chǎn)生擾動時，可使實(shí)際姿態(tài)控制系統(tǒng)狀態(tài)維持在以標(biāo)稱軌跡為中心的“管道”(Tube)不變集內(nèi)，并驅(qū)使實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)標(biāo)稱軌跡上，最終沿著標(biāo)稱軌跡到達(dá)平衡點(diǎn)，使三軸姿態(tài)準(zhǔn)確跟蹤指定角度。

不考慮擾動，則系統(tǒng)(8)為標(biāo)稱系統(tǒng)：

(12)

(13)

則標(biāo)稱軌跡的優(yōu)化目標(biāo)為

((+)-)

(14)

(15)

其中,表示的下一時刻狀態(tài)。則標(biāo)稱軌跡的優(yōu)化問題為

(16)

求解(,)得到的控制序列和對應(yīng)的狀態(tài)序列為

(,)={,(+1;,),…,(+-1;,)}

(17)

(,)={(;,),(+1;,),…,

(+;,)}

(18)

其中,第一個元素=(;,)是用于標(biāo)稱系統(tǒng)當(dāng)前時刻的控制輸入。則輔助反饋控制器的目標(biāo)狀態(tài)和對應(yīng)的控制輸入為：

(,)=(;,)

(19)

(,)=

(20)

(21)

(22)

(23)

()-()≤-(,)

(24)

針對標(biāo)稱系統(tǒng)(12)，采用所設(shè)計的MPC控制律(17)，選取滿足優(yōu)化問題(16)的正定權(quán)值矩陣,,，則控制律(17)可使標(biāo)稱系統(tǒng)(12)在滿足控制輸入約束(13)的條件下對于原點(diǎn)指數(shù)穩(wěn)定。

(25)

其中>0,{}表示的最小特征值。

當(dāng)=1時，由式(15)可得

(26)

(27)

則

(28)

(29)

當(dāng)=+1時，由式(15)可得

(30)

由于不一定為+1(,)的最優(yōu)解，那么可得

(31)

由式(29)可推出

(32)

(33)

其中,>>0,{}表示的最大特征值。

(+)-)+((+),)

(34)

其中

(,)=((;,),(+1;,),…,

(+-1;,))

(35)

(,)=((;,),(+1;,),…,

(+;,))

(36)

由式(34)可得

(-,-)-((+),)

(37)

)+((+),)

(38)

其中

(,)=((;,),(+1;,),…,

(+-1;,))

(39)

(,)=((;,),(+1;,),…,

(+;,))

(40)

(+-1;,),)

(41)

(+;,),(+))

(42)

則

((+),)+((+)-,-)+

((+),)

(43)

由式(24)可得

(44)

定義實(shí)際狀態(tài)和標(biāo)稱系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)的誤差為

=-

(45)

對式(45)求導(dǎo)，將式(8)和式(12)代入可得

(46)

則RMPC姿態(tài)控制器為

=(+K)

(47)

其中,為反饋增益。

針對系統(tǒng)(式(11))，如果存在(·)和(·)函數(shù)，使系統(tǒng)狀態(tài)滿足如下條件：

(48)

那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的。其中為初始時間，為擾動的界限。

將式(47)代入到式(46)

(49)

求解式(49)

(50)

(51)

因此定義集合()為

(52)

則為

(53)

由=+和∈可得

∈⊕

(54)

針對系統(tǒng)(式(11))，采用所設(shè)計的RMPC姿態(tài)控制器(式(47))，選取合適的反饋增益，則控制器(47)可使系統(tǒng)(11)穩(wěn)定。

由式(44)、(25)和(33)可得

(55)

通過不斷迭代式(55)可得

(56)

由式(25)和(33)可得

(57)

則存在函數(shù)(·)使得

(58)

由于∈，因此存在函數(shù)(·)使得

(59)

由于

(60)

則

(61)

因此，由引理2可知，RMPC姿態(tài)控制器(47)可使系統(tǒng)(11)穩(wěn)定。

3 仿真校驗(yàn)

將所設(shè)計的基于Tube的RMPC控制應(yīng)用于大撓性航天器三軸姿態(tài)控制中，進(jìn)行仿真驗(yàn)證與分析，以說明所提出的RMPC控制算法的有效性。本文針對的被控對象為大型撓性航天器，太陽帆板的轉(zhuǎn)動慣量較大，中心剛體的質(zhì)量占比較小。太陽帆板的長度為8 m，寬度為1 m，厚度為0.01 m，鋁合金質(zhì)量密度為2.7×10kg·m,中心剛體轉(zhuǎn)動慣量為=diag(20,20,20)kg·m，質(zhì)量為120 kg。主要模型參數(shù)為：

其余模型參數(shù)可見文獻(xiàn)[21]。

初始姿態(tài)角為=3°、=4°、=5°，期望值均為0°；初始太陽帆板轉(zhuǎn)動角為0°，撓性振動模態(tài)初始值均為0，預(yù)測時域?yàn)?5。

控制力矩約束為

控制參數(shù)為

為了加以比較，姿態(tài)控制器分別采用所設(shè)計的RMPC和經(jīng)典的模型預(yù)測控制(Model predictive control，MPC)方法，使航天器從初始姿態(tài)穩(wěn)定地到達(dá)期望姿態(tài)，對這兩類控制系統(tǒng)做仿真研究，仿真結(jié)果如圖2～5所示。在MPC控制下的航天器三軸姿態(tài)穩(wěn)定時間和太陽帆板轉(zhuǎn)動角的穩(wěn)定時間分別為50 s、120 s、120 s、120 s，在姿態(tài)角變化初始階段，撓性附件振動被激發(fā)，前兩階撓性振動模態(tài)分別為0.009、0.06，撓性振動模態(tài)隨時間增加衰減較慢，姿態(tài)角跟蹤精度相對較低；而在RMPC控制下的航天器三軸姿態(tài)穩(wěn)定時間和太陽帆板轉(zhuǎn)動角的穩(wěn)定時間分別為20 s、80 s、80 s、80 s，控制力矩在約束范圍內(nèi)并較快趨于穩(wěn)定，初始階段的前兩節(jié)撓性振動模態(tài)分別為0.005、0.03，撓性振動模態(tài)隨時間增加衰減較快，可有效降低大型撓性附件振動對中心剛體姿態(tài)的影響，從而使姿態(tài)角跟蹤精度較高，提高了系統(tǒng)的魯棒性。

圖2 姿態(tài)角和太陽帆板轉(zhuǎn)動角響應(yīng)曲線Fig.2 Attitude angle and rotation angle of the solar panel response curves

圖3 姿態(tài)角速度和太陽帆板轉(zhuǎn)動角速度響應(yīng)曲線Fig.3 Attitude angular velocity and rotation angular velocity of the solar panel response curves

圖4 控制力矩響應(yīng)曲線Fig.4 Control torque response curves

圖5 撓性振動模態(tài)η1和η2響應(yīng)曲線Fig.5 Flexible vibration mode η1 and η2 response curves

仿真結(jié)果表明，在大撓性振動對中心剛體姿態(tài)的影響下，由于經(jīng)典MPC固有的魯棒性有限，因此在MPC控制器下的航天器系統(tǒng)的控制性能相對較差。而本文所設(shè)計的RMPC姿態(tài)控制器，通過航天器實(shí)際姿態(tài)控制系統(tǒng)狀態(tài)與標(biāo)稱系統(tǒng)狀態(tài)誤差構(gòu)成的輔助反饋控制器，驅(qū)使航天器實(shí)際姿態(tài)控制系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動到標(biāo)稱軌跡上，并最終到達(dá)原點(diǎn)。較好地解決了大型撓性航天器姿態(tài)運(yùn)動中由大型撓性附件結(jié)構(gòu)的撓性振動導(dǎo)致的姿態(tài)失穩(wěn)問題，使航天器能夠快速準(zhǔn)確地執(zhí)行預(yù)定的動作，控制效果良好。

4 結(jié) 論

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，撓性附件的尺寸和質(zhì)量逐漸增大，振動模態(tài)頻率也越來越低。由于航天器本體和撓性結(jié)構(gòu)之間的耦合動力學(xué)，大撓性結(jié)構(gòu)的振動會嚴(yán)重影響航天器本體的姿態(tài)控制精度，尤其會對姿態(tài)和角速度控制穩(wěn)定度產(chǎn)生較大的影響。為此，本文設(shè)計了RMPC姿態(tài)控制器以解決大型撓性航天器的高精度姿態(tài)控制問題。首先將MPC控制律應(yīng)用到無擾動的標(biāo)稱系統(tǒng)中生成標(biāo)稱軌跡。然后在此基礎(chǔ)上，利用得到的最優(yōu)系統(tǒng)狀態(tài)與實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)之間的誤差構(gòu)建輔助反饋控制。當(dāng)大型撓性附件振動對航天器本體姿態(tài)運(yùn)動產(chǎn)生擾動影響時，所設(shè)計的RMPC姿態(tài)控制器可使航天器實(shí)際姿態(tài)控制系統(tǒng)狀態(tài)保持在以標(biāo)稱軌跡為中心的Tube不變集內(nèi)，并沿著標(biāo)稱軌跡最終到達(dá)平衡點(diǎn)，從而使航天器三軸姿態(tài)控制具有較高的穩(wěn)定度和精度。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計的RMPC姿態(tài)控制器可使航天器三軸姿態(tài)快速穩(wěn)定地到達(dá)期望狀態(tài)，有效處理大型撓性附件振動對中心剛體姿態(tài)產(chǎn)生的擾動，具有良好的魯棒性。