摘 要：《立體圖形的表面積和體積（復(fù)習(xí)）》是六年級(jí)的一節(jié)總復(fù)習(xí)課。復(fù)習(xí)課既要鞏固學(xué)生已學(xué)的知識(shí)與方法，又要優(yōu)化他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，幫助他們感悟數(shù)學(xué)思想方法。因此，復(fù)習(xí)立體圖形時(shí)要基于聯(lián)系的觀點(diǎn)，在圖形的運(yùn)動(dòng)和變化中探索面與體的關(guān)系，幫助學(xué)生全面、系統(tǒng)地理解與掌握立體圖形表面積和體積計(jì)算方法。

關(guān)鍵詞：《立體圖形的表面積和體積（復(fù)習(xí)）》；自主梳理；認(rèn)知結(jié)構(gòu)

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第94—95頁。

【課前思考】

蘇教版教材對(duì)“立體圖形”的編排有層次、有梯度：學(xué)生在第一學(xué)段初步認(rèn)識(shí)實(shí)際物體和幾何圖形，在第二學(xué)段了解立體圖形的特征，學(xué)習(xí)立體圖形表面積和體積的計(jì)算方法，并初步探究圖形間的關(guān)系。但在實(shí)際教學(xué)中，存在“就題論題、蜻蜓點(diǎn)水”的現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生缺少多途徑循證、多元化表征的機(jī)會(huì)，無法建立起知識(shí)之間的聯(lián)系，對(duì)立體圖形知識(shí)點(diǎn)的理解呈散點(diǎn)化、單一化，對(duì)表面積和體積計(jì)算方法的運(yùn)用較為形式化。因此，復(fù)習(xí)課要基于聯(lián)系的觀點(diǎn)，通過引導(dǎo)學(xué)生梳理立體圖形的特征、立體圖形表面積和體積計(jì)算公式等，滲透線、面、體之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生全面、系統(tǒng)地理解與掌握立體圖形的核心知識(shí)，搭建立體圖形知識(shí)框架。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.在觀察、操作、想象、交流等活動(dòng)中，豐富對(duì)立體圖形的認(rèn)識(shí)，理清它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，體驗(yàn)三維立體圖形與二維平面圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，發(fā)展空間觀念和極限思想。

2.在自主探索、合作交流等過程中系統(tǒng)地復(fù)習(xí)立體圖形知識(shí)，積累研究問題的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，滲透事物是相互聯(lián)系、發(fā)展變化的辯證思想。

【教學(xué)過程】

一、自主梳理，引發(fā)思考

課前學(xué)生完成“研究學(xué)習(xí)單”（如下頁圖1）。

二、交流展示，理清脈絡(luò)

（一）小組交流，回顧整理

師：同學(xué)們，今天這節(jié)課，我們來復(fù)習(xí)立體圖形的表面積和體積。課前，大家已經(jīng)通過“研究學(xué)習(xí)單”進(jìn)行了回顧和整理，下面請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)活動(dòng)要求，在小組內(nèi)交流。

出示活動(dòng)要求：（1）組員有序交流，介紹立體圖形的特征、立體圖形表面積和體積的計(jì)算方法，并做好補(bǔ)充或完善，準(zhǔn)備全班匯報(bào)；（2）在整理與反思的過程中，會(huì)產(chǎn)生一些新的發(fā)現(xiàn)或疑問，與小組成員進(jìn)行探討，并嘗試解決。

（二）全班交流，梳理整合

師：我們學(xué)習(xí)的這些立體圖形，它們都有什么特征？它們之間又有哪些聯(lián)系和區(qū)別？

師：你們會(huì)計(jì)算這些立體圖形的表面積和體積嗎？怎么算呢？

師：長方體、正方體和圓柱的表面積計(jì)算方法雖然不同，但它們之間有什么相似的地方呢？結(jié)合展開圖想一想，和同桌說一說你的發(fā)現(xiàn)。

師：長方體的體積公式是怎樣推導(dǎo)出來的呢？你能畫圖向全班同學(xué)解釋一下嗎？圓柱的體積公式又是怎樣推導(dǎo)出來的？計(jì)算圓錐體積時(shí)為什么要乘三分之一？

[設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)不是對(duì)單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的重復(fù)教學(xué)，而是對(duì)學(xué)生已有學(xué)習(xí)方法和知識(shí)的精準(zhǔn)概括和結(jié)構(gòu)化整理，需關(guān)注學(xué)生對(duì)復(fù)習(xí)內(nèi)容的深層次理解。因此，筆者設(shè)計(jì)了指向“探索圖形之間聯(lián)系”的活動(dòng)，先通過列舉立體圖形的表面積公式，幫助學(xué)生將腦海中的知識(shí)有序提取出來；再在交流、對(duì)比、補(bǔ)充的過程中，幫助學(xué)生明晰表面積計(jì)算方法的相通之處，形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維；最后，讓學(xué)生回憶、整理立體圖形的體積公式，將點(diǎn)狀的知識(shí)串聯(lián)成線，構(gòu)建立體圖形的體積計(jì)算方法體系。]

三、操作想象，溝通面與體的聯(lián)系

（一）研究立體圖形的表面積

師：上課前，我們思考了“一張長方形紙可以‘做出哪些立體圖形”，接下來，我們交流一下。

預(yù)設(shè)1：“卷”的方法。

師：（出示圖2）這是兩個(gè)“缺底”的圓柱，它們的表面積有什么關(guān)系？你會(huì)對(duì)比嗎？

預(yù)設(shè)2：“折”的方法。

師：（出示圖3）這兩個(gè)“缺底”的長方體的側(cè)面積有什么關(guān)系？你是怎樣比的？

師：折出來的長方體與原本的長方形紙有什么聯(lián)系？

師：還有其他的折法嗎？什么樣的長方形紙能折成正方體？

師：將長方形紙的一條邊分成四份，可以折出長方體，那分成三份會(huì)折出什么圖形？分成五份呢？八份呢？十二份呢？繼續(xù)不停地分下去，折成的立體圖形會(huì)接近什么圖形？

師：這些立體圖形有一個(gè)統(tǒng)一的名稱，叫作直柱體。它們的側(cè)面積都等于長方形紙的面積，可以用底面周“長×高”計(jì)算。

預(yù)設(shè)3：“轉(zhuǎn)”的方法

師：（出示圖4）將同一張紙繞不同的邊旋轉(zhuǎn)，得到兩個(gè)圓柱，它們的側(cè)面積相等嗎？

師：同一張紙，轉(zhuǎn)出來的圓柱形狀不同，側(cè)面積卻相等，這是為什么呢？

師：還能怎樣旋轉(zhuǎn)？怎樣旋轉(zhuǎn)體積最大？

師：如果將這張紙沿對(duì)角線剪開，得到直角三角形，旋轉(zhuǎn)這個(gè)三角形會(huì)得到怎樣的圖形？

師：旋轉(zhuǎn)后得到的圓錐，和剛才的圓柱之間有什么聯(lián)系？

[設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)側(cè)重通過操作幫助學(xué)生理解立體圖形側(cè)面積概念，梳理各種立體圖形側(cè)面積計(jì)算方法之間的聯(lián)系。通過“卷”，幫助學(xué)生明晰側(cè)面積的概念和計(jì)算方法；通過“折”，幫助學(xué)生理解側(cè)面積等于“底面周長×高”，統(tǒng)一側(cè)面積的計(jì)算公式；通過“轉(zhuǎn)”，加深學(xué)生對(duì)圓柱側(cè)面積計(jì)算公式的理解。從“卷”到“折”再到“轉(zhuǎn)”，學(xué)生逐步探索，在操作中了解立體圖形與平面圖形之間的關(guān)系，溝通不同立體圖形表面積的計(jì)算公式，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。]

（二）研究立體圖形的體積

師：（出示長方形從下向上平移的動(dòng)態(tài)過程）將長方形從下向上平移，平移留下的痕跡也是立體圖形。我們可以在頭腦中想象一下，平移留下的痕跡是什么圖形？（出示正方形、圓形從下向上平移的動(dòng)態(tài)過程）將正方形、圓從下向上平移，分別會(huì)形成什么立體圖形呢？

師：如果將三角形、梯形、正五邊形為從下向上平移，平移留下的痕跡又會(huì)形成什么樣的立體圖形呢？這些通過平移得到的立體圖形與平面圖形之間有什么聯(lián)系？

師：如果將正八邊形、正十二邊形向上平移，這個(gè)發(fā)現(xiàn)依然成立嗎？它們的體積應(yīng)該怎么算？

師：繼續(xù)想下去，當(dāng)被平移的正多邊形的邊數(shù)無限增多，我們會(huì)得到什么樣的立體圖形？

師：通過研究，我們發(fā)現(xiàn)這些直柱體的體積都可以用“底面積×高”來計(jì)算。在剛才的交流與分享中，我們又一次感受到了二維平面圖形和三維立體圖形之間的聯(lián)系。這也說明，解決問題時(shí)，我們要用聯(lián)系的眼光去分析。

[設(shè)計(jì)意圖：該環(huán)節(jié)意在引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化的角度復(fù)習(xí)立體圖形。學(xué)生通過想象平移留下的痕跡，感受立體圖形底面積不變的情況下，體積的大小與高有關(guān)。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生通過平移，在想象中了解立體圖形的特征，透過變化的表象去深究事物的本質(zhì)，猜想、探究直柱體體積的計(jì)算方法。最后，通過問題“當(dāng)被平移的正多邊形的邊數(shù)無限增多，我們會(huì)得到什么樣的立體圖形”，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)極限思想，逐步擴(kuò)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)。]

四、精選練習(xí)，鞏固應(yīng)用

全班交流推薦好題，分析解題策略。

師：立體圖形在生活中有很多應(yīng)用。你知道這些現(xiàn)象應(yīng)用了立體圖形的什么特征嗎？

課件出示：（1）為什么牛奶盒是長方體，可樂瓶卻是圓柱呢？（2）有關(guān)立體圖形的表面積（側(cè)面積）的實(shí)際問題中，有哪些典型的物體（比如通風(fēng)管、金魚缸）？可以怎么分類呢？（3）為什么要將快遞盒拆開存放呢？（4）餐巾紙的包裝有圓柱和長方體兩種，它們之間有聯(lián)系嗎？

師：你在生活中還觀察到了什么，愛思考的同學(xué)課后可以單獨(dú)研究，也可以小組合作研究。

[設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)課的練習(xí)需要幫助學(xué)生深刻理解問題的本質(zhì)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，獲得自主復(fù)習(xí)的策略。課前的“好題推薦”，讓學(xué)生分享他們認(rèn)為的“好題”，意在讓“不同學(xué)生得到不同的發(fā)展”，讓推薦者和被推薦者都能在復(fù)習(xí)過程中有新的收獲、新的認(rèn)識(shí)，增加課的“厚度”；課后的“課題研究”，讓學(xué)生帶著觀察的眼光、思辨的精神走出課堂，探索立體圖形在生活中的應(yīng)用，增加課的“長度”。這樣的學(xué)習(xí)才是具有生長性的。]

（魏俊晨，江蘇省南京玄武外國語學(xué)校附屬小學(xué)，郵編：210009）