【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第47-49頁(yè)。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.進(jìn)一步認(rèn)識(shí)因數(shù)與倍數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)，感悟聯(lián)系，初步建立結(jié)構(gòu)性的認(rèn)知。

2.在整理與交流活動(dòng)中，認(rèn)識(shí)“好的整理”，初步掌握整理的方法，提升整理的意識(shí)與能力。

【教學(xué)過程】

課前，學(xué)生獨(dú)立、自主完成“因數(shù)與倍數(shù)”整理復(fù)習(xí)（如圖1）。

一、揭示課題

師：這節(jié)課是一節(jié)復(fù)習(xí)課，我們復(fù)習(xí)什么？

生：（齊）因數(shù)與倍數(shù)。

二、學(xué)習(xí)“整理”

（一）展評(píng)學(xué)生所做的整理

師：課前，同學(xué)們已經(jīng)做了小研究。這節(jié)課，我想先請(qǐng)一位同學(xué)展示一下。誰(shuí)來展示？（學(xué)號(hào)為38號(hào)的張靜遠(yuǎn)展示材料，如圖2）大家快速地看或者讀一遍，想一想，你覺得張靜遠(yuǎn)哪里整理得好，待會(huì)兒要怎么表?yè)P(yáng)她；哪里可以整理得更好，你要給她什么建議。聽懂了嗎？

師：看完了張靜遠(yuǎn)的材料，和你自己的材料對(duì)照。你要如何表?yè)P(yáng)張靜遠(yuǎn)？

生：張靜遠(yuǎn)把每一點(diǎn)都列出來了，怎么找因數(shù)、倍數(shù)的方法也都列出來了。

師：看張靜遠(yuǎn)的整理，我們學(xué)的因數(shù)與倍數(shù)的內(nèi)容，是不是都呈現(xiàn)在上面？剛才表?yè)P(yáng)的內(nèi)容，如果用一個(gè)詞來概括，是什么？（板書：全面）如果整理得“不全面”，應(yīng)該怎么辦？翻開數(shù)學(xué)書，從前往后再看一看，對(duì)照著補(bǔ)充完整。繼續(xù)，還有其他表?yè)P(yáng)嗎？

生：我覺得他列得很完整，而且字跡很工整。

師：整理得工整，也就是有序。我們看，她先整理了什么，然后整理了什么，再整理了什么……用一個(gè)詞來形容，就是有序。（板書：有序）還有其他表?yè)P(yáng)嗎？如果暫時(shí)沒有其他表?yè)P(yáng)，我們就一起來看張靜遠(yuǎn)整理的優(yōu)點(diǎn)，一是全面，二是有序。張靜遠(yuǎn)的材料，值得我們學(xué)習(xí)。

（二）教師帶領(lǐng)學(xué)生整理

師：看了張靜遠(yuǎn)的整理，有沒有覺得這一單元的概念很多？有一個(gè)字出現(xiàn)了很多次，是哪個(gè)字？（學(xué)生回答：數(shù)）誰(shuí)能說說你想到哪些“數(shù)”？（學(xué)生回答：因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)、質(zhì)因數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、公因數(shù)、公倍數(shù)。教師根據(jù)學(xué)生回答，將相應(yīng)板貼貼在黑板右側(cè)）你覺得這些“數(shù)”中，哪兩個(gè)“數(shù)”是最重要的？

生：最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。

生：我覺得應(yīng)該是因數(shù)和倍數(shù)。這一單元的題目是什么？

生：因數(shù)和倍數(shù)。

生：那你覺得最重要的是什么？

生：因數(shù)和倍數(shù)。

師：剛才的對(duì)話很有意思，為什么最重要的是“因數(shù)”和“倍數(shù)”呢？（教師將“因數(shù)”“倍數(shù)”板貼移到黑板左側(cè)）我們一起來體會(huì)。在說到因數(shù)和倍數(shù)的時(shí)候，首先會(huì)想到一個(gè)提醒，是什么提醒呢？

生：誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)。舉個(gè)例子，比如說3是12的因數(shù)，12是3的倍數(shù)。

師：（板書：12=3×4）12等于3乘4，我們還可以怎么說？

生：3是12的因數(shù)，4是12的因數(shù)，12是3的倍數(shù)，12是4的倍數(shù)。

師：說得非常好！我們?cè)谙氲揭驍?shù)和倍數(shù)的時(shí)候，就要想到因數(shù)和倍數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)。不能說3是因數(shù)，12是倍數(shù)。知道了因數(shù)和倍數(shù)，大家想想，哪些概念和因數(shù)與倍數(shù)有關(guān)系？我們可以先找一找，哪個(gè)數(shù)和“因數(shù)”的關(guān)系最密切？（學(xué)生回答：公因數(shù)）因數(shù)前面加了一個(gè)“公”字?？吹搅恕肮毕氲搅耸裁矗浚▽W(xué)生回答：公有）因數(shù)是一個(gè)數(shù)的因數(shù)，公因數(shù)呢？（學(xué)生回答：兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)的公有因數(shù)。教師將“公因數(shù)”的板貼移至“因數(shù)”后）有了公因數(shù)，后面要找什么？（學(xué)生回答：最大公因數(shù)）為什么不找最小公因數(shù)呢？（學(xué)生回答：所有數(shù)的最小公因數(shù)都是1，不要找了。教師將“最大公因數(shù)”板貼移至“公因數(shù)”后，將“公倍數(shù)”板貼移至“倍數(shù)”后）一個(gè)數(shù)有倍數(shù)，那兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)以上的數(shù)就有——（學(xué)生回答：公倍數(shù)）公倍數(shù)有了，我們要找最小公倍數(shù)，馬上想到什么問題？（學(xué)生回答：沒有最大公倍數(shù)）找不到最大公倍數(shù)，那我們就找——（學(xué)生回答：最小公倍數(shù)）剛才由公因數(shù)想到最大公因數(shù)，現(xiàn)在由公倍數(shù)想到了最小公倍數(shù)。（教師將“最小公倍數(shù)”板貼移至“公倍數(shù)”后）還有誰(shuí)和誰(shuí)之間是有關(guān)聯(lián)的？

生：奇數(shù)、偶數(shù)和倍數(shù)有關(guān)系。

師：奇數(shù)、偶數(shù)，和幾的倍數(shù)有關(guān)系？

生：2。

師：這個(gè)單元還學(xué)了什么內(nèi)容？

生：2、3、5的倍數(shù)。

師：這個(gè)內(nèi)容剛才沒說（教師板貼“2、5、3的倍數(shù)特征”）你們說的是2、3、5的倍數(shù)的特征，老師的板貼是2、5、3的倍數(shù)特征，這是怎么回事呢？

生：因?yàn)?和5的公倍數(shù)末尾是0。

生：因?yàn)槲覀兿葘W(xué)了2和5的倍數(shù)，又學(xué)了3的倍數(shù)。

生：因?yàn)?和5的倍數(shù)特征都是看個(gè)位，而3的倍數(shù)是看各個(gè)數(shù)位上數(shù)的和。

師：幾個(gè)同學(xué)都說了自己的想法，你覺得哪種想法最合理？（學(xué)生指最后發(fā)言的女生）她說，2和5的倍數(shù)都是看個(gè)位，這個(gè)方法是一樣的，而判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)，需要看各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和。所以，老師的板貼是“2、5、3的倍數(shù)的特征”，這樣排是有學(xué)問的。回顧一下，剛才說的什么數(shù)和倍數(shù)特征有關(guān)系？

生：（齊）奇數(shù)和偶數(shù)。

師：（移動(dòng)“奇數(shù)”“偶數(shù)”板貼）什么叫奇數(shù)？

生：不能被2整除的數(shù)。

師：也就是說不是2的倍數(shù)，如果是2的倍數(shù)呢？

生：那就是偶數(shù)。

師：我們把自然數(shù)分成奇數(shù)和偶數(shù)是按照什么來分的？

生：按照是不是2的倍數(shù)分的。

師：我們繼續(xù)來看，質(zhì)數(shù)和合數(shù)之間什么有關(guān)系？

生：只有一個(gè)因數(shù)的數(shù)是質(zhì)數(shù)，還有別的因數(shù)的數(shù)是合數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

生：你說錯(cuò)了，應(yīng)該是除了1和它本身，沒有其他因數(shù)的數(shù)，叫作質(zhì)數(shù)。除了1和它本身，還有別的因數(shù)的數(shù)，叫作合數(shù)。

師：下次發(fā)言之前，你可以先問一問前面回答的同學(xué)是不是口誤了。什么叫質(zhì)數(shù)？

生：只有1和它本身作為因數(shù)的數(shù)是質(zhì)數(shù)。

師：什么叫合數(shù)？

生：除了1和它本身還有其他因數(shù)的數(shù)叫作合數(shù)。

師：第一個(gè)同學(xué)雖然口誤了，但有一點(diǎn)說對(duì)了——一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，要看它因數(shù)的個(gè)數(shù)。所以質(zhì)數(shù)、合數(shù)和誰(shuí)有關(guān)系？

生：和因數(shù)有關(guān)系。

師：（將“質(zhì)數(shù)”“合數(shù)”板貼移至“因數(shù)”后，并在“質(zhì)數(shù)”后板書“2”）我在這里寫了個(gè)“2”，你知道是什么意思嗎？

生：質(zhì)數(shù)有2個(gè)因數(shù)，一個(gè)是1，還有一個(gè)是它本身。

師：那合數(shù)有幾個(gè)因數(shù)呢？

生：3個(gè)及以上。

師：（在“合數(shù)”后板書“≥3”“>2”）有人說大于等于3，還有人說大于2。掌聲送給他們，說得真好！（全班鼓掌）說到這里，馬上就有個(gè)提醒，還有一個(gè)特殊的數(shù)——（學(xué)生回答：1）1怎么了？

生：1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，它的因數(shù)只有1這一個(gè)。

師：（板書“1（1）”）自然數(shù)是按照什么分成了質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1呢？

生：因數(shù)的個(gè)數(shù)。

師：（指“質(zhì)數(shù)”“合數(shù)”與“1”，再指“奇數(shù)”“偶數(shù)”）大家有沒有發(fā)現(xiàn)，自然數(shù)有兩種分類，一種是把自然數(shù)一分為三，還有一種是把自然數(shù)一分為二?！耙环譃槿笔欠殖闪耸裁?？（學(xué)生回答：質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。教師板書，如圖3）“一分為二”呢？（學(xué)生回答：奇數(shù)和偶數(shù)。教師補(bǔ)充板書，如圖4）這樣分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

生：按照因數(shù)的個(gè)數(shù)，可以把自然數(shù)分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1；按照是否是2的倍數(shù)，可以把自然數(shù)分成奇數(shù)和偶數(shù)。

師：（指“質(zhì)因數(shù)”板貼）質(zhì)因數(shù)和什么有關(guān)系？

生：質(zhì)因數(shù)和因數(shù)有關(guān)系，質(zhì)因數(shù)還和質(zhì)數(shù)有關(guān)系。

師：質(zhì)因數(shù)，從名字來看，它既要是質(zhì)數(shù)又要是因數(shù)。比如12=3×4，3是12的質(zhì)因數(shù)。3是質(zhì)數(shù)，又是12的因數(shù)，所以3是12的質(zhì)因數(shù)。4是不是12的質(zhì)因數(shù)？

生：不是。4雖然是12的因數(shù)，但它是一個(gè)合數(shù)。質(zhì)因數(shù)既要是一個(gè)因數(shù)，又要是質(zhì)數(shù)。

師：（把“質(zhì)因數(shù)”板貼移至左側(cè)，并在“質(zhì)因數(shù)”與“質(zhì)數(shù)”“因數(shù)”之間連線）質(zhì)因數(shù)和因數(shù)有關(guān)系，又和質(zhì)數(shù)有關(guān)系。質(zhì)因數(shù)和合數(shù)有沒有關(guān)系？

生：合數(shù)可以分解成幾個(gè)質(zhì)因數(shù)的乘積。比如說12可以寫成12=2×2×3，就是把12=3×4中的4分解成了2×2。分解質(zhì)因數(shù)就是把一個(gè)合數(shù)分解成幾個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的積。

（教師在“質(zhì)因數(shù)”與“合數(shù)”之間連線，最終的板書與板貼如圖5所示。）

（三）認(rèn)識(shí)“好的整理”

師：（指圖5）看看黑板上整理的內(nèi)容，再看看屏幕上張靜遠(yuǎn)整理的內(nèi)容，最后看看你在課前做的整理，對(duì)照一下，你覺得怎樣整理更好？黑板上寫了兩個(gè)詞“全面”“有序”，你說說整理時(shí)還要注意什么？

生：我覺得還可以整理得再簡(jiǎn)單一些，體現(xiàn)簡(jiǎn)潔美。

師：大家從他的發(fā)言中提取出一個(gè)詞。

生：（齊）簡(jiǎn)潔。

（教師板書：簡(jiǎn)潔。）

生：還可以把有關(guān)系的內(nèi)容整理到一起，列成一個(gè)表格。

師：是的，有的時(shí)候，可以畫表格整理，會(huì)更有序。（指圖3和圖4）再看黑板上這兩個(gè)圖，叫作集合圖，用集合圖畫出來，也很清楚有序，對(duì)嗎？有時(shí)候，我們可以列個(gè)表格，畫個(gè)圖。（指圖5）再看看黑板上畫的這些，老師用線連起來了，為什么？

生：有關(guān)系，有關(guān)聯(lián)。

（教師板書：關(guān)聯(lián)。）

師：之前也有同學(xué)說到把有關(guān)系的整理到一起。如果我用繩子把這些概念卡片連接起來，然后我這么一拎，會(huì)發(fā)生什么？卡片會(huì)被一起拎走吧？也就是說，這些概念之間有緊密的聯(lián)系。今天這節(jié)課，我們不僅整理了因數(shù)與倍數(shù)的知識(shí)，還學(xué)會(huì)了怎樣整理。（指板書）好的整理，用4個(gè)詞來概括就是——全面、有序、簡(jiǎn)潔、關(guān)聯(lián)。今天下課之后，大家把因數(shù)、倍數(shù)的內(nèi)容再整理一次，要體現(xiàn)出全面、有序、簡(jiǎn)潔、關(guān)聯(lián)。

三、課堂練習(xí)

師：接下來我們看整理復(fù)習(xí)的第2題，同桌之間交流一下，你們整理出的容易出錯(cuò)的題目是什么？

（教師邀請(qǐng)學(xué)號(hào)為19的學(xué)生展示。學(xué)生出示圖6，并讀題。）

生：這是一道分解質(zhì)因數(shù)——

師：（打斷學(xué)生）等一下，如果是分解質(zhì)因數(shù)，那這里應(yīng)該是幾個(gè)質(zhì)數(shù)怎樣？

生：相乘。

師：但是這里是質(zhì)數(shù)——相加，你有什么解題想法？

生：46=3+43；46=5+41。

生：50=3+47。

師：我們先來看“46”。46=3+43，對(duì)不對(duì)？（學(xué)生回答：對(duì)）46=5+41，對(duì)不對(duì)？（學(xué)生回答：對(duì)）有沒有發(fā)現(xiàn)兩位同學(xué)思考中的“有序”？他們是從哪個(gè)數(shù)找起的？先找3，就找到了43；再找5，就找到了41。接著往下找，是哪兩個(gè)數(shù)？（學(xué)生回答：7和39）39是質(zhì)數(shù)嗎？（學(xué)生回答：不是）7+39不符合，再往下找，有人說9——（學(xué)生回答：9不是質(zhì)數(shù)）找到了9加幾，不符合，接下來應(yīng)該找哪兩個(gè)數(shù)？

生：11+35。

生：35不是質(zhì)數(shù)。

生：13+33。

生：33是合數(shù)。

生：17+29。

師：有序思考，堅(jiān)持不懈，我們又找到了一組數(shù)。用這種方法，50等于多少加多少？

生：3+47；7+43；13+37。

師：（根據(jù)學(xué)生回答板書，如圖7）通過這道題，我們體會(huì)到了要有序思考。

師：（指圖7）觀察一下，你整理的題目和黑板上的這道題有沒有聯(lián)系？

（教師邀請(qǐng)學(xué)號(hào)為40的學(xué)生展示。學(xué)生出示圖8。）

師：注意看，他的題目和黑板上的題目有沒有聯(lián)系？他找的是一道判斷題。給的答案是“錯(cuò)”，真的是錯(cuò)的嗎？

生：3+5=8，3和5都是質(zhì)數(shù)，但是和是合數(shù)。

師：請(qǐng)把掌聲送給他。（全班鼓掌）他剛才是怎么判斷這道題是錯(cuò)的？

生：舉例子。

師：想說明它是錯(cuò)的，那就舉個(gè)反例，舉出一個(gè)反例就可以判斷它是錯(cuò)的了。黑板上有沒有例子呢？

生：46和50都是合數(shù)，（指圖7）這里都是兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加得到的。

師：（指圖8）誰(shuí)能把這道題目改一下，改成正確的呢？

生：兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加的和可能是質(zhì)數(shù)。

師：和是合數(shù)的例子有了，誰(shuí)能找出一個(gè)和是質(zhì)數(shù)的例子嗎？

生：2+3=5。

師：看來兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加的和可能是質(zhì)數(shù)，也可能是合數(shù)。剛才是怎么改的？

生：把“一定”改成了“可能”。

師：還有不同的改法嗎？

生：兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加的和一定是合數(shù)。

師：這樣改，這道題是對(duì)的還是錯(cuò)的？

生：錯(cuò)的，因?yàn)?+3=5，5是質(zhì)數(shù)，所以兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加的和可能是質(zhì)數(shù)。

師：還可以改成什么？

生：兩個(gè)合數(shù)相加的和一定是質(zhì)數(shù)。

（全班鼓掌。）

師：改完之后不能只顧著鼓掌，還要判斷對(duì)錯(cuò)?！皟蓚€(gè)合數(shù)相加的和一定是質(zhì)數(shù)”是對(duì)的還是錯(cuò)的？

生：兩個(gè)合數(shù)相加，4+4=8，得到的是一個(gè)合數(shù)，所以不對(duì)。

師：他是把什么改成了什么？

生：把“兩個(gè)質(zhì)數(shù)”改成了“兩個(gè)合數(shù)”。

師：“相加”可以改嗎？（學(xué)生回答：可以改成“相減”）還可以改成什么？（學(xué)生回答：相乘）那兩個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的積一定是什么？

生：兩個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的積一定是合數(shù)。

師：舉個(gè)例子吧。

生：2×3=6，6就是合數(shù)。

師：舉了一個(gè)例子，就能說明這句話是對(duì)的嗎？

生：5×3=15，15也是合數(shù)。

生：5×7=35，35也是合數(shù)。

生：3×31=93，93也是合數(shù)。

師：剛才舉了這么多例子，都在說明什么？

生：兩個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的積是合數(shù)。

師：有沒有想過，雖然你們舉了這么多例子，但會(huì)不會(huì)有一個(gè)反例沒有找到呢？

生：幾乘幾等于幾，那幾就是其中一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

（學(xué)生紛紛表示沒聽懂。）

師：給你一個(gè)提示，你可以換一種說法，讓大家一聽就明白了。

生：2×3=6，（教師板書：2×3=6）6是2的倍數(shù)，6也是3的倍數(shù)，所以6肯定是合數(shù)。

師：我們也可以換成字母。一個(gè)質(zhì)數(shù)是a，另一個(gè)質(zhì)數(shù)是b，它們的積是ab。ab的因數(shù)有1，ab，a和b。（教師板書：a×b=ab→1，ab，a，b）所以，ab這個(gè)數(shù)一定是合數(shù)，也就是說，哪句話是對(duì)的？

生：（齊）兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積一定是合數(shù)。

師：我們回顧一下剛剛這道題。兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和一定是質(zhì)數(shù)，對(duì)還是錯(cuò)？（學(xué)生回答：錯(cuò)）我們舉了什么例子？（學(xué)生回答：3+5=8）想要證明一句話是錯(cuò)的，一個(gè)反例就夠了；但如果想要說明一句話是對(duì)的，一個(gè)例子、兩個(gè)例子、三個(gè)例子……都不夠，我們可以用字母表示來說明。剛才，我們從這道題（指圖6）出發(fā)，找到了和它有聯(lián)系的這道題（指圖8），我們發(fā)現(xiàn)題目和題目之間是有關(guān)系的。接著，我們改題目，把“一定”改成了“可能”，把“質(zhì)數(shù)”改成了“合數(shù)”，把“相加”改成了“相減”“相乘”，把“兩個(gè)質(zhì)數(shù)”改成了“兩個(gè)合數(shù)”，變出了更多的題目。最后，老師也來改一下題目，把“一定是質(zhì)數(shù)”改成“一定是偶數(shù)”，改之后的題目變成了什么？

生：兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和一定是偶數(shù)。

生：我可以舉出一個(gè)反例，2+3=5，所以這道題是錯(cuò)的。

師：我們發(fā)現(xiàn)有個(gè)數(shù)蠻“壞”的，你知道是幾嗎？（學(xué)生回答：2）我把題目再改一下。一個(gè)大于2的偶數(shù)可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。誰(shuí)能把我剛才說的題目再說一遍？

生：（齊）一個(gè)大于2的偶數(shù)可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。

師：這道題對(duì)不對(duì)呢？感覺——對(duì)了，感覺——又不對(duì)了。沒關(guān)系，這個(gè)題目留到課后，大家好好地研究一下。這節(jié)課就到這兒，下課！

【教學(xué)思考】

這是一節(jié)復(fù)習(xí)課，復(fù)習(xí)“因數(shù)與倍數(shù)”。我們知道，《因數(shù)與倍數(shù)》單元的概念特別多，而且比較抽象。在促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)、理解所學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)過程中，“不能讓知識(shí)僵化，而要讓它生動(dòng)活潑起來”。當(dāng)然，復(fù)習(xí)課的功能不僅僅是這些，但一定要讓學(xué)生在知識(shí)生動(dòng)活潑起來的過程中，得到豐富全面、生動(dòng)活潑的發(fā)展。

復(fù)習(xí)課通常有“整理”和“練習(xí)”兩個(gè)環(huán)節(jié)，如何在這兩個(gè)環(huán)節(jié)讓“知識(shí)”和“人”都生動(dòng)活潑起來？

一、整理，重在化零為“整”

常見的復(fù)習(xí)課，教師通常先讓學(xué)生獨(dú)立整理已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容，然后組織同桌或小組交流，再在全班展示并交流幾位學(xué)生所做的整理，最后開展練習(xí)。這節(jié)《因數(shù)與倍數(shù)（復(fù)習(xí)）》與常見的復(fù)習(xí)課的不同在于，并未組織學(xué)生同桌或小組交流，僅隨機(jī)安排了一位學(xué)生在全班展示交流。為什么這樣安排？

從學(xué)生課前所做的“因數(shù)與倍數(shù)”整理復(fù)習(xí)來看，學(xué)生的整理大多都是條目式的——將在《因數(shù)與倍數(shù)》單元學(xué)習(xí)的內(nèi)容一一列舉出來，且?guī)缀鯖]有大的差異，即使有所差異，也只是有些寫得齊全、詳細(xì)些，有些寫得不齊全、簡(jiǎn)略些。當(dāng)學(xué)生的差異僅僅是在同一層次有所波動(dòng)，課堂中的交流也就難以引發(fā)思維沖突，正如“白蘿卜炒黃蘿卜，還是蘿卜”，于是，這節(jié)課教師沒有組織學(xué)生同桌或小組交流，也沒有邀請(qǐng)不同的學(xué)生和全班展示交流。教師在教學(xué)時(shí)，不應(yīng)機(jī)械沿用熟悉的“教學(xué)套路”，而應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)情、教學(xué)目標(biāo)的定位，靈活安排和組織學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

整理什么，如何整理，是需要教師指導(dǎo)的。這節(jié)復(fù)習(xí)課，不是帶領(lǐng)學(xué)生把所學(xué)的因數(shù)、倍數(shù)等概念“過”一遍，而要引導(dǎo)他們尋找概念之間的聯(lián)系，對(duì)學(xué)科內(nèi)容進(jìn)行深層次的智力加工。教師對(duì)因數(shù)、倍數(shù)等原先看似零散的內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的梳理，幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知，并逐漸走向深層思考與深層理解。

如何指導(dǎo)？這節(jié)課中，教師結(jié)合“因數(shù)與倍數(shù)”的整理，先呈現(xiàn)了學(xué)生張靜遠(yuǎn)所做的整理，并引導(dǎo)學(xué)生評(píng)析。學(xué)生評(píng)析的過程，不僅是將自己的想法與展示者的想法進(jìn)行對(duì)照與比較的過程，也是教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“好的整理”的過程。接著，教師帶領(lǐng)學(xué)生整體回顧因數(shù)與倍數(shù)相關(guān)內(nèi)容，溝通聯(lián)系、建立結(jié)構(gòu)。這個(gè)過程中，教師既是與學(xué)生平等的“整理者”，與學(xué)生交流、分享整理的經(jīng)驗(yàn)；又是平等中的“首席”，通過示范“如何整理”，為學(xué)生提供了對(duì)照與比較的另一個(gè)“版本”。在這個(gè)過程中，教師的指導(dǎo)由“硬”向“軟”轉(zhuǎn)變，學(xué)生在自主參與的過程中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

復(fù)習(xí)課，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)整理，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到什么是“好的整理”，否則，學(xué)生的整理水平只會(huì)徘徊在原有水平。這節(jié)課，呈現(xiàn)了“好的整理”的4個(gè)方面——全面、有序、簡(jiǎn)潔、關(guān)聯(lián)。這是基于師生的整理，在互動(dòng)交流中總結(jié)、概括出來的。當(dāng)零散的數(shù)學(xué)內(nèi)容通過整理展現(xiàn)出其獨(dú)有特征時(shí)，也就是被“理”成“整”的了。

“好的整理”，一定是學(xué)生在整理的過程中，慢慢地學(xué)會(huì)的。

二、練習(xí)，重在撬動(dòng)思維

再說練習(xí)。

這節(jié)課中，教師在學(xué)生整理的題目中選擇了一道看似不難的普通題目：把一個(gè)合數(shù)寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加的形式。這道題既鞏固了學(xué)生對(duì)50以內(nèi)質(zhì)數(shù)的識(shí)記，又讓學(xué)生經(jīng)歷了有序思考的過程。接著，讓學(xué)生把自己整理的題目與展示的題目進(jìn)行比較，增強(qiáng)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中“關(guān)聯(lián)想法”的意識(shí)。之后，呈現(xiàn)一道學(xué)生整理的、內(nèi)容與之前的題目有所關(guān)聯(lián)的判斷題，通過“能把這道題目改一下嗎？”“還有不同的改法嗎？”“還可以改成什么？”一題多改，學(xué)生的思維牽一發(fā)而動(dòng)全身，一子落而全盤活。改后的題目，如何判斷，學(xué)生的方法是“舉例子”，教師在學(xué)生舉例的過程中，需要幫助學(xué)生體驗(yàn)并認(rèn)識(shí)到“想要證明一句話是錯(cuò)的，一個(gè)反例就夠了；但如果想要說明一句話是對(duì)的，一個(gè)例子、兩個(gè)例子、三個(gè)例子……都不夠”。在回顧題目如何“改”的過程中，逐步引出教師在課堂中未揭開面紗的“哥德巴赫猜想”問題。

綜上所述，練習(xí)，可以從學(xué)生的一道題出發(fā)，通過師生共同改編題目，對(duì)質(zhì)數(shù)、合數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等進(jìn)行再認(rèn)識(shí)與鞏固，綜合整個(gè)單元中容易混淆的概念，促使學(xué)生體驗(yàn)、學(xué)習(xí)“對(duì)稱”的思維方式。

復(fù)習(xí)課中的練習(xí)，不能僅是題目數(shù)量的堆砌，而要把“靜態(tài)”的題目通過一題多改、一題多問、一題多比、一題多解、多題一解等方式變得“動(dòng)”起來，這樣才能讓學(xué)生的思維活起來。復(fù)習(xí)課中的練習(xí)，不能僅簡(jiǎn)單地追求難度的疊加，而要以“一”聯(lián)“多”，以“活化”促提升，思維的含量與質(zhì)量步步“驚心”，拾級(jí)而上。

由此可見，這節(jié)課中無論是“整理”還是“練習(xí)”，教師的組織和安排，都是為了讓學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)生，讓深度學(xué)習(xí)發(fā)生。學(xué)生的學(xué)習(xí)，我們可能觀察到的是聽、說、做等外顯的學(xué)習(xí)行為，因此更需要關(guān)注他們內(nèi)隱的思維活動(dòng)。讓學(xué)生在沖突、疑惑中啟動(dòng)思維，在對(duì)照、比較中運(yùn)行思維，在回顧、梳理中提升思維。

課堂，要避免機(jī)械形式化，一切要從學(xué)生的學(xué)習(xí)出發(fā)，讓知識(shí)和人都生動(dòng)活潑起來。知識(shí)，因?yàn)槿硕鷦?dòng)活潑；人在生動(dòng)活潑地學(xué)習(xí)、在知識(shí)探究過程中更加生動(dòng)活潑。這樣的過程，著眼于學(xué)生的自我發(fā)展。而這些，又不僅僅是復(fù)習(xí)課教學(xué)要做的。

（賁友林，特級(jí)教師，正高級(jí)教師，南京師范大學(xué)附屬小學(xué)，郵編：210018）