張鑫浩，趙才友，張孝娟

（1.西南交通大學(xué) 唐山研究生院, 河北 唐山063000； 2. 西南交通大學(xué) 高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610031； 3.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都610031）

交通強(qiáng)國，鐵路先行。近二十年來，鐵路軌道在我國得到了持續(xù)快速發(fā)展，運(yùn)營線路、總里程以及投入總金額等均穩(wěn)居世界前列。與此同時(shí)，隨著中國鐵路交通線網(wǎng)不斷加密，列車速度不斷提高，由之誘發(fā)的振動(dòng)與噪聲問題愈發(fā)嚴(yán)重，越來越引起人們的注意，振動(dòng)和噪聲已被列為七大環(huán)境公害之一[1]。軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)與噪聲輻射的本質(zhì)原因可歸結(jié)于結(jié)構(gòu)中的彈性波波動(dòng)效應(yīng)[2]。已有研究表明周期結(jié)構(gòu)或聲子晶體具備特殊的力學(xué)特性，使得彈性波在某些頻段無法傳播，通常將上述頻率段稱之為“帶隙”或“禁帶”[3]?，F(xiàn)代鐵路軌道通常被設(shè)計(jì)成一些具有重復(fù)且相同的結(jié)構(gòu)單元，因此可參照聲子晶體或周期結(jié)構(gòu)的思路進(jìn)行研究。

迄今為止，針對(duì)周期結(jié)構(gòu)的理論研究正在不斷開展。Brilliouin對(duì)鏈?zhǔn)街芷诮Y(jié)構(gòu)中彈性波的波動(dòng)進(jìn)行研究，為周期結(jié)構(gòu)的研究建立了理論基礎(chǔ)[4]。Mead根據(jù)波動(dòng)方程研究了周期性梁、板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，證實(shí)了周期約束的梁、板結(jié)構(gòu)中的彈性波也存在帶隙特性，并提出了空間諧波法、傳遞矩陣法等帶隙計(jì)算方法[5]。Heckl 對(duì)質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的不同支承方式進(jìn)行討論分析，并研究了周期性支承Timoshenko梁中縱波、扭轉(zhuǎn)波、彎曲波的耦合振動(dòng)特性[6]。

在對(duì)周期結(jié)構(gòu)的工程實(shí)踐問題的研究中，Yu等采用傳遞矩陣法計(jì)算了周期性輸流管道中彎曲波傳播特性[7]。Yu 等根據(jù)城市軌道交通噪聲頻譜特性，通過引入周期結(jié)構(gòu)帶隙理論，提出了一維氣-固周期型隔聲聲屏障結(jié)構(gòu)[8]。馮青松等通過有限元法計(jì)算了歐拉梁中溫度力對(duì)帶隙的影響，但模型過于單一[9]。王平、易強(qiáng)等計(jì)算了單層點(diǎn)支撐、雙層點(diǎn)支撐軌道模型中的帶隙特性，研究了扣件剛度的影響，并從功率流的角度闡釋了帶隙特性，但并未考慮更為復(fù)雜的軌下基礎(chǔ)以及相應(yīng)的波動(dòng)模式[10-12]。此外上述研究多采用傳遞矩陣法（Transfer-Matrix Method簡稱TMM），僅能適用于一維周期結(jié)構(gòu)，且對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，傳遞矩陣法會(huì)出現(xiàn)矩陣病態(tài)甚至無法求解的問題，由此本文將聲子晶體研究方法中適用性更為廣泛的平面波展開法(Plane Wave Expansion 簡稱PWE)引入軌道周期結(jié)構(gòu)的帶隙計(jì)算中，以期應(yīng)用于計(jì)算復(fù)雜軌道結(jié)構(gòu)以及二維、三維頻散曲線?？傊?，周期性軌道結(jié)構(gòu)彈性波傳播的研究取得了很大的進(jìn)展，但更為細(xì)致的工作和技術(shù)革新還有待于進(jìn)一步深入的研究。

1 多層有砟軌道模型與波動(dòng)方程

基于平面波展開法的基本原理，將有砟軌道以離散點(diǎn)支撐模型進(jìn)行建模，見圖1，取軌枕間距l(xiāng)內(nèi)的鋼軌及其軌下各支撐部件為一基本元胞，根據(jù)Bloch 定理及Floquet 變換，求解無限周期結(jié)構(gòu)的頻散特性[13]。

圖1 多層有砟軌道結(jié)構(gòu)及基本元胞模型

在頻率波數(shù)域中的鋼軌位移解為：

軌枕和道床的位移解為：

建立多層有砟軌道基本元胞振動(dòng)方程式（5）、式（6）、式（7），將式（1）至式（4）代入振動(dòng)方程式（5）、式（6）、式（7），可得頻率波數(shù)域下的頻散方程式（8）、式（9）、式（10）：

其中：k是限制在一維Brillouin區(qū)的波矢，wGm是一維倒格矢G對(duì)應(yīng)的傅里葉系數(shù)。kr為扣件支撐剛度，ks為軌枕支撐剛度，kb為道床支撐剛度，Ir為鋼軌截面慣性矩，mr為單位長度鋼軌質(zhì)量，ms為軌枕質(zhì)量，mb為道床參振質(zhì)量，Er為鋼軌彈性模量。

Gm取遍整個(gè)倒格矢，而實(shí)際計(jì)算中為所得到的該問題近似數(shù)值解，將鋼軌平面波數(shù)設(shè)置為n，總倒格矢數(shù)則有m=2n+1 個(gè)，則上述方程可化簡為經(jīng)典平面波展開矩陣形式：

式中：P、Q均為（2m+1+2）階方陣，α為（2m+1+2）階列陣，從第一布里淵區(qū)選取波數(shù)k，即可得到軌道結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)。

2 頻散曲線與帶隙

本文鋼軌平面波數(shù)取為41，既可以充分保證解的收斂，又不會(huì)使計(jì)算繁瑣。多層有砟軌道結(jié)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 有砟軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)表

利用上述方法可以得到多層有砟軌道結(jié)構(gòu)頻散曲線，如圖2 所示，在0～57.4 Hz、72.14 Hz～122.2 Hz、141.9 Hz～243.5 Hz、1 454 Hz～1 490 Hz 出現(xiàn)帶隙特征，且與采用傳統(tǒng)的傳遞矩陣法計(jì)算得到的帶隙范圍相一致。

圖2 頻散曲線及帶隙圖

3 軌道參數(shù)的帶隙影響規(guī)律

多層有砟軌道結(jié)構(gòu)各部件的參數(shù)直接影響帶隙特征，如圖3所示，隨著扣件支撐剛度增加，1階帶隙帶寬增大，2階帶隙帶寬不變，并向高頻移動(dòng)，3階、4階帶隙的帶寬增大并向高頻移動(dòng)；隨著軌枕支撐剛度增加，1 階、2 階帶隙帶寬增大，3 階帶隙帶寬減小并向高頻移動(dòng)，4階帶隙保持不變；隨著道床支撐剛度增加，1 階帶隙截止頻率增大，2 階帶隙向高頻移動(dòng)，但帶寬不變，3階帶隙起始頻率增大，4階帶隙保持不變；隨著元胞尺寸增大，1、2、3階帶隙帶寬均逐漸減小，而4階帶隙帶寬不變，并向低頻移動(dòng)。根據(jù)上述規(guī)律，可以通過調(diào)控扣件、軌枕、道床的支撐剛度以及元胞間距等參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)軌道結(jié)構(gòu)彈性波傳播的控制。

圖3 軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙的影響

4 帶隙機(jī)理及帶隙邊界模式

現(xiàn)有研究表明，局域共振模型中依然存在Bragg帶隙，當(dāng)周期結(jié)構(gòu)的基本元胞長度為a時(shí)，Bragg 帶隙表征為元胞尺寸為半波長的整數(shù)倍，即：

經(jīng)驗(yàn)算可知，第4 階帶隙（1 454 Hz～1 490 Hz）為Bragg 帶隙，且符合上述公式計(jì)算結(jié)果。在多層有砟軌道結(jié)構(gòu)中，還存在局域共振帶隙，采用集中質(zhì)量模型來描述帶隙的邊界模式。令：

其中帶隙起始頻率模式滿足式(15)：

考慮到M＞＞m，即要求解：

且

帶隙截止頻率模式滿足公式：

考慮到M＞＞m，即要求解：

且

其中，起始頻率3 個(gè)正解對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模式如圖4 所示，截止頻率3 個(gè)正解對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模式如圖5 所示，其中實(shí)線代表初始位置，虛線代表變形后位置。

圖4 帶隙起始頻率振動(dòng)模式

圖5 帶隙截止頻率振動(dòng)模式

5 有限周期結(jié)構(gòu)振動(dòng)傳遞系數(shù)

為驗(yàn)證多層有砟軌道結(jié)構(gòu)的帶隙特性，分別建立5 周期與10 周期有限周期結(jié)構(gòu)模型，計(jì)算單位簡諧荷載下不同位置處的鋼軌響應(yīng)。激勵(lì)點(diǎn)位置響應(yīng)為u0，第n跨處的鋼軌響應(yīng)點(diǎn)響應(yīng)為un，鋼軌振動(dòng)傳遞系數(shù)為：

通過上述方法得到振動(dòng)傳遞曲線如圖6 所示，可以看出傳遞曲線在（0～130 Hz）頻段內(nèi)傳遞率均小于0，且最大衰減率達(dá)52 dB，彈性波無法傳遞，即存在帶隙特性。同理，在（72 Hz，122.4 Hz）、（142 Hz，245 Hz）存在明顯帶隙，且最大衰減率分別達(dá)到150 dB 和125 dB。而對(duì)于頻散曲線中的第四階帶隙頻段，由于其帶寬窄且衰減率較低，故傳遞曲線中的帶隙特征并不明顯。除上述頻段外，在其余頻率范圍內(nèi)傳遞系數(shù)均大于0，振動(dòng)無衰減，即為通帶。根據(jù)平面波展開法計(jì)算所得的帶隙特征，與根據(jù)振動(dòng)傳遞規(guī)律所得結(jié)果完全吻合。因此，驗(yàn)證了帶隙的存在以及計(jì)算的正確性。

圖6 有限周期振動(dòng)傳遞系數(shù)

6 通帶與帶隙范圍內(nèi)彈性波傳播特性

為進(jìn)一步分析多層有砟軌道結(jié)構(gòu)中彈性波傳播特性以及帶隙對(duì)鋼軌及環(huán)境振動(dòng)的影響，建立20個(gè)有限周期的元胞結(jié)構(gòu)，在元胞左端位置處施加單位簡諧荷載，分別提取位于帶隙范圍內(nèi)的60 Hz、90 Hz、200 Hz 以及位于通帶范圍內(nèi)的70 Hz、150 Hz 、2 000 Hz的鋼軌及道床位移分布。

如圖7至圖12所示，對(duì)于帶隙范圍內(nèi)的頻率，鋼軌及道床位移會(huì)沿著彈性波的波動(dòng)方向快速衰減，表現(xiàn)出帶隙特性。此外，不同帶隙范圍內(nèi)，衰減速度各不相同：60 Hz 位于第1 階帶隙內(nèi)，彈性波傳遞至第13個(gè)元胞時(shí)，完全衰減；90 Hz位于第2階帶隙內(nèi)，彈性波傳遞至第6個(gè)元胞時(shí)，完全衰減；200 Hz位于第3階帶隙內(nèi)，彈性波傳遞至第10個(gè)元胞時(shí)，達(dá)到完全衰減。這符合上文中所計(jì)算的振動(dòng)傳遞系數(shù)的大小關(guān)系。對(duì)于通帶范圍內(nèi)的頻率，鋼軌及道床位移沿著彈性波的波動(dòng)方向無明顯變化或衰減，即表現(xiàn)出通帶特性。

圖7 60 Hz（1階帶隙內(nèi)）鋼軌及道床位移分布

圖8 70 Hz（通帶內(nèi)）鋼軌及道床位移分布

圖9 90 Hz（2階帶隙內(nèi)）鋼軌及道床位移分布

圖10 150 Hz（通帶內(nèi)）鋼軌及道床位移分布

圖11 200 Hz（3階帶隙內(nèi)）鋼軌及道床位移分布

圖12 2 000 Hz（通帶內(nèi)）鋼軌及道床位移分布

由此進(jìn)一步證明有砟軌道結(jié)構(gòu)的帶隙特性，以及帶隙的出現(xiàn)可有效抑制彈性波在環(huán)境中的傳播擴(kuò)散。這為抑制軌道結(jié)構(gòu)中環(huán)境振動(dòng)、減少噪聲污染提供了新的思路和理論支撐。

7 結(jié)語

（1）本文基于平面波展開法，建立多層有砟軌道結(jié)構(gòu)基本元胞波動(dòng)方程，得出無限周期結(jié)構(gòu)的各階帶隙為：0～57.4 Hz、72.14 Hz～122.2 Hz、141.9 Hz～243.5 Hz、1 454 Hz～1 490 Hz。

（2）多層有砟軌道結(jié)構(gòu)中存在局域共振帶隙和Bragg 帶隙，局域共振帶隙主要受到扣件剛度、軌枕剛度、道床剛度等軌下支撐的影響；Bragg 帶隙主要受到扣件剛度及元胞長度的影響。垂向彎曲波局域共振帶隙的產(chǎn)生機(jī)理及振動(dòng)模式可用彈簧振子模型進(jìn)行描述，并分別給出了帶隙邊界解的方程；Bragg帶隙則由Bragg散射機(jī)理控制。

（3）求解有限周期數(shù)的多層有砟軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)傳遞系數(shù)，得到在各階帶隙范圍內(nèi)彈性波沿軌道方向的傳播明顯衰減，即dB值小于0，從而驗(yàn)證了帶隙的存在及計(jì)算的正確性。

（4）對(duì)于帶隙范圍內(nèi)的頻率，鋼軌及道床位移會(huì)沿著彈性波的波動(dòng)方向快速衰減，表現(xiàn)出帶隙特性，此外衰減速度與振動(dòng)傳遞系數(shù)大小相符；而對(duì)于通帶范圍內(nèi)的頻率，鋼軌及道床位移沿著彈性波的波動(dòng)方向無明顯變化或衰減，即表現(xiàn)出通帶特性。由此表明了帶隙對(duì)鋼軌及環(huán)境振動(dòng)具有抑制作用。