劉曉莉，孫興華

(東北師范大學(xué) 教育學(xué)部，吉林 長(zhǎng)春 130024)

視覺空間推理是一種創(chuàng)造和操作視覺圖像的過(guò)程，對(duì)兒童幾何思維的發(fā)展起著不可替代的作用，它不僅是人類智能結(jié)構(gòu)的重要組成部分，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，是學(xué)生必須掌握的關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力。要想進(jìn)一步促進(jìn)小學(xué)生幾何思維的發(fā)展，就需要發(fā)展他們的視覺空間推理，把推理、視覺表象及可視化思維植入進(jìn)小學(xué)生數(shù)學(xué)思考過(guò)程中。隨著義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程改革的不斷深入及新一輪小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂，將空間觀念、幾何直觀和推理能力作為義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容無(wú)疑會(huì)成為關(guān)注的焦點(diǎn)。雖然新課程中并未明確提出視覺空間推理，但其作為空間觀念的發(fā)展，是世界各國(guó)數(shù)學(xué)課程改革的新動(dòng)向，也是我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革應(yīng)關(guān)注的熱點(diǎn)話題。因此，需要增進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)視覺空間推理的關(guān)注，這對(duì)促進(jìn)學(xué)生空間想象能力和創(chuàng)新能力的發(fā)展都有著重要意義。

目前國(guó)外有較多的實(shí)證研究對(duì)其進(jìn)行了探討，并取得了一定的研究成果，但是，由于研究視角不同，對(duì)視覺空間推理的內(nèi)涵還沒有形成統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)。目前，我國(guó)從心理學(xué)視角進(jìn)行的探討多一些，從數(shù)學(xué)教育視角的研究還不夠豐富?；诖?，本研究嘗試在梳理相關(guān)概念的基礎(chǔ)上，探討小學(xué)生視覺空間推理能力的內(nèi)涵，嘗試建構(gòu)小學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)的測(cè)評(píng)框架，以小學(xué)高年級(jí)學(xué)生為研究對(duì)象，編制測(cè)評(píng)工具并開展測(cè)評(píng)實(shí)踐，以期為小學(xué)數(shù)學(xué)教師如何評(píng)價(jià)學(xué)生視覺空間推理能力的表現(xiàn)，以及如何發(fā)展小學(xué)生的視覺空間推理能力提供參考。

一、 視覺空間推理概念的意蘊(yùn)

視覺空間推理由“視覺空間”和“推理”兩個(gè)詞組成，視覺空間(即空間)是物質(zhì)存在的客觀形式，即由長(zhǎng)、寬、高所構(gòu)成的三維空間；推理不僅僅是人們?nèi)粘Ｉ詈蛯W(xué)習(xí)中經(jīng)常使用的思維方式，也是數(shù)學(xué)的基本思維方式之一(1)中華人民共和國(guó)教育部：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》，北京師范大學(xué)出版社2012年版，第6頁(yè)。。作為把空間觀念和幾何推理有機(jī)結(jié)合的一種幾何思維和能力形式，視覺空間推理的相關(guān)概念涉及心理學(xué)和數(shù)學(xué)兩個(gè)方面。

如表1所示，從心理學(xué)的視角來(lái)看，與視覺空間推理有密切聯(lián)系的概念有：空間知覺(spatial sense)、空間表象(spatial imaginary)、空間想象(spatial visualization)和空間能力(spatial ability)。其中，空間知覺以空間表象為基礎(chǔ)，空間想象是空間表象的發(fā)展，而空間能力是一個(gè)總的概念，涵蓋上述幾種能力，它不同于一般的形象思維和抽象思維能力(2)劉曉玫：《小學(xué)生空間觀念的發(fā)展規(guī)律及特點(diǎn)研究》，東北師范大學(xué)2007年碩士學(xué)位論文。，主要是特定領(lǐng)域內(nèi)的思維能力。

表1 視覺空間推理相關(guān)概念梳理

從數(shù)學(xué)的視角來(lái)看，與視覺空間推理有密切聯(lián)系的概念有：空間觀念、幾何思維、幾何直觀和幾何推理。其中，空間觀念以空間表象為主要表征形態(tài)，還包括一定的命題表征，并涉及空間知覺和初步的空間想象。所以當(dāng)提到“空間觀念”一詞時(shí)，不可避免地會(huì)將其與空間想象聯(lián)系起來(lái)。然而在小學(xué)階段，空間想象對(duì)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的要求較高，盡管如此，培養(yǎng)小學(xué)生的空間想象能力是完全有可能的，只是對(duì)于大多數(shù)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，空間觀念更有普遍意義(3)史寧中：《通過(guò)度量，巧用技術(shù)，發(fā)展空間觀念——評(píng)析“讓畫出的圖形轉(zhuǎn)起來(lái)”一課》，《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》2019年第9期，第42-43頁(yè)。，因而只需要發(fā)展作為空間想象基礎(chǔ)的空間觀念即可(4)孔凡哲，曾崢：《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)》，北京大學(xué)出版社2009年版，第199頁(yè)。。此外，在培養(yǎng)空間觀念的過(guò)程中，還需要同時(shí)關(guān)注幾何直觀和幾何推理(5)史寧中：《人是如何認(rèn)識(shí)和表達(dá)空間的》，《小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版)》2019年第3期，第13-16頁(yè)。?？臻g觀念和幾何直觀是互為基礎(chǔ)的，直觀感知是建立空間觀念的基礎(chǔ)，而直觀洞察是空間觀念的發(fā)展與升華。然而二者也各有側(cè)重，空間觀念傾向于即使脫離了背景也能想象出圖形的形狀、大小及其關(guān)系的能力；幾何直觀更強(qiáng)調(diào)借助一定的直觀背景條件而進(jìn)行整體把握的能力(6)孔凡哲，史寧中：《關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式——對(duì)〈義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)〉的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)》，《課程·教材·教法》2012年第7期，第92-97頁(yè)。。同時(shí)，幾何直觀與幾何推理也有著密切的關(guān)系：一方面，幾何推理需要借助幾何直觀來(lái)發(fā)現(xiàn)幾何規(guī)律；另一方面，幾何推理可以驗(yàn)證幾何直觀的發(fā)現(xiàn)。如果把幾何推理視為演繹推理，幾何直觀則可以視為合情推理。

以上關(guān)于視覺空間推理的諸多概念間存在著緊密的關(guān)系，是視覺空間推理內(nèi)涵下不同層次水平的再現(xiàn)?？臻g觀念和空間想象是視覺空間推理的重要組成，空間觀念是發(fā)展的基礎(chǔ)，空間想象則是空間觀念的發(fā)展和提升。此外，空間想象是幾何思維的重要方面，是空間能力的主要因素之一，而空間能力又是視覺空間推理的一部分。但相較于空間觀念或空間能力來(lái)說(shuō)，視覺空間推理有著更加廣泛的含義，它不僅指能力，也是一種活動(dòng)化的思維過(guò)程，即是一種關(guān)于對(duì)物體的視覺空間信息得出結(jié)論的心理活動(dòng)(7)Kho R. Penjenjangan Penalaran Visuospasial Siswa dalam Menyelesaikan Masalah Geometri.SEMINAR NASIONAL. 2016, 1(1).。

二、 小學(xué)生視覺空間推理能力的內(nèi)涵

在視覺空間推理過(guò)程中，主要包含兩種核心成分：一是可視化思維，即內(nèi)部(心理)表征或外部表征，這是最一般的能力因素，主要體現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)、反射、組合圖形、多重變換圖形、復(fù)雜圖形的折疊等活動(dòng)中。二是視覺表象，表象是客觀事物在個(gè)體頭腦里留下的概括形象，而視覺表象主要用于在頭腦中儲(chǔ)存信息，并創(chuàng)造和操作視覺圖像，是視覺空間推理的重要基礎(chǔ)。這種可視化和視覺表象可以幫助人們將問題的相關(guān)要素聯(lián)系起來(lái)以促進(jìn)問題解決，在建立幾何知識(shí)的概念理解和空間理解方面都具有重要的作用(8)Steenpaβ A, Steinbring H. Young Students’ Subjective Interpretations of Mathematical Diagrams: Elements of the Theoretical Construct Frame-based Interpreting Competence. ZDM, 2014, 46(1)，pp.3-14.。

目前，更多的研究是從心理學(xué)或數(shù)學(xué)方向出發(fā)來(lái)考察學(xué)生幾何思維的發(fā)展水平。人們最熟知的是皮亞杰的研究，皮亞杰等人(Piaget et al.)關(guān)于兒童空間概念的理論主要包括兩個(gè)觀點(diǎn)：第一，空間感是通過(guò)兒童主動(dòng)或內(nèi)化行為逐漸組織而構(gòu)建起來(lái)的，進(jìn)而形成運(yùn)算系統(tǒng)。因此，兒童的空間感是從以前的操作活動(dòng)中積累起來(lái)的，需要同化和順應(yīng)的過(guò)程，而不是直觀識(shí)別空間環(huán)境。第二，兒童在幾何方面的發(fā)展順序同歷史上所發(fā)現(xiàn)幾何的順序正好相反，經(jīng)歷了拓?fù)潢P(guān)系(3—6歲)、射影幾何(6—8歲)以及歐式幾何(9歲以后)三個(gè)階段(9)Piaget J , Inhelder B , Szeminska A , et al. The Child’s Conception of Geometry. Basic Books, 1960.。范希爾夫婦(Pierre Van Hiele & Dina Van Hiele)基于皮亞杰的數(shù)學(xué)理解水平，結(jié)合幾何教學(xué)過(guò)程中所遇到的問題，提出幾何思維的五個(gè)水平，包括視覺(visualization)、分析(analysis)、非形式化演繹(informal deduction)、形式化演繹(formal deduction)、嚴(yán)密性(rigor)，這五個(gè)水平有著一定的順序，學(xué)生在進(jìn)入某一水平學(xué)習(xí)之前，必須掌握之前水平的大部分內(nèi)容(10)Van Hiele P M. Structure and Insight: A Theory of Mathematics Education. 1986.。對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們的幾何思維主要處于前三個(gè)水平。

在此基礎(chǔ)上，很多學(xué)者又進(jìn)行了大量相關(guān)的研究。本研究關(guān)注了與視覺空間推理能力關(guān)聯(lián)較多的研究，比如皮塔利斯和克里斯托(Pittalis & Christou)提出學(xué)生的幾何思維應(yīng)包括表征三維物體、空間結(jié)構(gòu)、測(cè)量和概念化數(shù)學(xué)屬性四種類型，而空間能力包括空間可視化、空間定位和空間關(guān)系三種因素(11)Pittalis M, Christou C. Types of Reasoning in 3D Geometry Thinking and Their Relation with Spatial Ability. Educational Studies in Mathematics. 2010, 75(2),pp.191-212.。同時(shí)，他們還建立了一個(gè)模型來(lái)描述學(xué)生表征三維圖形的能力，包括識(shí)別和構(gòu)建視圖、從二維向三維轉(zhuǎn)換、構(gòu)建三維圖形的平面表示、解釋三維圖形的結(jié)構(gòu)要素以及解釋三維圖形的幾何屬性五種(12)Pittalis M, Christou C. Coding and Decoding Representations of 3D Shapes. The Journal of Mathematical Behavior. 2013, 32(3),pp.673-689.。另外，在數(shù)學(xué)教育研究中，我國(guó)有的學(xué)者從空間觀念的內(nèi)涵出發(fā)，將空間觀念的表現(xiàn)形式分為形狀識(shí)別、運(yùn)動(dòng)變換、方位距離、幾何度量、圖形繪制五個(gè)維度(13)宋乃慶，王詩(shī)夢(mèng)，羅士琰：《小學(xué)生空間觀念：內(nèi)涵、價(jià)值及表現(xiàn)形式》，《教育與教學(xué)研究》2021年第6期，第44-54頁(yè)。；還有研究者根據(jù)課標(biāo)中有關(guān)空間觀念具體表現(xiàn)的闡述將其確定為四個(gè)維度：軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、視圖和方向與位置(14)劉曉玫：《小學(xué)生空間觀念的發(fā)展規(guī)律及特點(diǎn)研究》，東北師范大學(xué)2007年碩士學(xué)位論文。；也有小學(xué)數(shù)學(xué)教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容與實(shí)踐將空間觀念分為實(shí)物幾何化、想象物體的方位和相互之間的位置關(guān)系、描述圖形運(yùn)動(dòng)與變化以及語(yǔ)言理解和幾何直觀四個(gè)方面(15)徐云鴻：《小學(xué)高年段空間觀念測(cè)評(píng)體系研究》，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》2019年第5期，第9-13頁(yè)，第97頁(yè)。。后續(xù)更多的研究一部分關(guān)注對(duì)學(xué)生某一方面能力的測(cè)試，另一部分關(guān)注對(duì)學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)，并沒有涉及對(duì)學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)的具體考察。

綜上所述，盡管目前對(duì)視覺空間推理還沒有形成統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，但主要是從心理學(xué)和數(shù)學(xué)視角對(duì)其內(nèi)涵做了界定：心理學(xué)中，視覺空間推理是在頭腦中形成圖像和概念并對(duì)這些視覺圖像進(jìn)行改造和分析的心理過(guò)程；數(shù)學(xué)中，視覺空間推理指的是創(chuàng)造性地運(yùn)用視覺圖像來(lái)解決數(shù)學(xué)問題(16)Owens K. Visuospatial Reasoning: An Ecocultural Perspective for Space, Geometry and Measurement Education. Springer. 2014.。由于小學(xué)生視覺空間推理能力是視覺空間推理能力在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)，我們可以明確小學(xué)生視覺空間推理能力是把空間觀念和幾何推理有機(jī)結(jié)合起來(lái)，基于直觀和表象進(jìn)行推理，解決幾何問題(17)孔企平：《從空間觀念到視覺空間推理——小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革新動(dòng)向》，《小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版)》2019年第9期，第8-12頁(yè)。。小學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)指的是學(xué)生在幾何問題解決過(guò)程中，借助幾何直觀與空間想象相結(jié)合的方式，對(duì)頭腦中形成的表象進(jìn)行表征的能力，包括兩種能力形式：識(shí)別和構(gòu)建視圖以及運(yùn)用視圖解決問題。

三、 小學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)測(cè)評(píng)框架的探索

(一) 小學(xué)生視覺空間推理能力測(cè)評(píng)維度的構(gòu)成

基于前面的分析，我們認(rèn)為小學(xué)生視覺空間推理能力的測(cè)評(píng)維度應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生對(duì)頭腦中形成的有關(guān)圖形的數(shù)學(xué)性質(zhì)的表象進(jìn)行識(shí)別、理解、判斷和操作的能力，以及運(yùn)用圖形描述、分析和解決問題的能力。

測(cè)評(píng)維度的確立經(jīng)歷了兩個(gè)階段：首先，基于對(duì)已有研究的梳理和分析，結(jié)合新一輪課標(biāo)修訂中的一些表述，篩選項(xiàng)目提煉出小學(xué)生視覺空間推理能力測(cè)評(píng)維度的核心要素，編制形成初步的小學(xué)生視覺空間推理能力測(cè)評(píng)維度的調(diào)查問卷；其次，采用德爾菲法進(jìn)行三輪專家意見咨詢，根據(jù)專家提出的意見不斷調(diào)整完善，主要包括對(duì)含義重疊、上下維度關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)的維度進(jìn)行刪除和修改，以及對(duì)維度內(nèi)涵描述部分的語(yǔ)句表述進(jìn)行修正等。

通過(guò)向10位專家發(fā)放“小學(xué)生視覺空間推理能力測(cè)評(píng)維度的調(diào)查問卷”來(lái)咨詢專家對(duì)測(cè)評(píng)維度的意見，專家組成員包括小學(xué)數(shù)學(xué)教育專家、小學(xué)數(shù)學(xué)教師和小學(xué)數(shù)學(xué)教研員。對(duì)專家的反饋結(jié)果進(jìn)行整理和分析后發(fā)現(xiàn)，比較集中認(rèn)可的維度有兩個(gè)：一是識(shí)別和構(gòu)建視圖；二是運(yùn)用視圖解決問題。其中，識(shí)別和構(gòu)建視圖維度認(rèn)可度較高的有三個(gè)方面：圖形的展開與折疊、圖形的二維與三維轉(zhuǎn)化以及圖形的旋轉(zhuǎn)；運(yùn)用視圖解決問題維度認(rèn)可度較高的有兩個(gè)方面：空間組合和空間測(cè)量。再結(jié)合訪談，確認(rèn)了五個(gè)方面的含義及要素如下：

1. 圖形的展開與折疊

圖形的展開與折疊主要指在圖形展開或折疊過(guò)程中，對(duì)頭腦中形成的表象進(jìn)行判斷和操作的能力?！罢J(rèn)識(shí)一些簡(jiǎn)單幾何體的展開圖以及能正確進(jìn)行幾何體與其展開圖之間的轉(zhuǎn)化”(18)中華人民共和國(guó)教育部：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》，第18-19頁(yè)，第23-25頁(yè)。，這要求學(xué)生不僅要了解立體圖形和平面圖形的基本特征，還要理解二維和三維圖形間的差異，能夠進(jìn)行立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化。

2. 圖形的二維與三維轉(zhuǎn)化

圖形的二維與三維轉(zhuǎn)化主要指能從不同方向觀察立體圖形，形成準(zhǔn)確感知視圖的能力，并能根據(jù)不同方向觀察到的視圖還原立體圖形?！氨嬲J(rèn)從不同方向看到的幾何體的形狀、想象出幾何體的方位和相互之間的位置關(guān)系”，這要求學(xué)生針對(duì)呈現(xiàn)的立體圖形，識(shí)別并畫出它在不同方向呈現(xiàn)的不同視圖，或者根據(jù)某個(gè)方向看到的視圖建立整個(gè)立體圖形的結(jié)構(gòu)。

3. 圖形的旋轉(zhuǎn)

圖形的旋轉(zhuǎn)主要指想象平面或立體圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后所得到新圖形的能力?！白R(shí)別圖形的旋轉(zhuǎn)、畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，以及能用不同方式描述圖形的運(yùn)動(dòng)與變化”，這要求學(xué)生根據(jù)所給平面或立體圖形的特征以及旋轉(zhuǎn)概念，通過(guò)想象對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)后的狀態(tài)進(jìn)行判斷，或用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎境鰣D形旋轉(zhuǎn)后的狀態(tài)。而從平面圖形旋轉(zhuǎn)得到立體圖形，是二維向三維的過(guò)渡，學(xué)生需要在頭腦中清晰界定二維和三維圖形間的區(qū)別與聯(lián)系。

4. 空間組合

空間組合主要指能識(shí)別立體圖形中的基本要素及其關(guān)系，從復(fù)雜立體圖形中分解出基本圖形，又能把基本圖形組合成復(fù)雜立體圖形。這對(duì)學(xué)生空間結(jié)構(gòu)化以及圖形分解與組合的能力要求較高，需要在拆解或拼組立體圖形的過(guò)程中，對(duì)形成的表象進(jìn)行操作和推理，想象或預(yù)測(cè)即將出現(xiàn)的結(jié)果。

5. 空間測(cè)量

空間測(cè)量主要指根據(jù)立體圖形表面積與體積的性質(zhì)建立有關(guān)表象，感知立體圖形表面積與體積的大小。空間測(cè)量是視覺空間推理的重要表現(xiàn)形式，是對(duì)圖形大小的理解和判斷，側(cè)重學(xué)生在頭腦中建立的有關(guān)立體圖形表面積與體積的表象，及對(duì)表面積和體積實(shí)際意義的理解，并不涉及計(jì)算，計(jì)算屬于代數(shù)部分。

(二) 小學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)測(cè)評(píng)框架的確立

經(jīng)分析，圖形的展開與折疊、圖形的二維與三維轉(zhuǎn)化和圖形的旋轉(zhuǎn)側(cè)重想象層面，即在頭腦中形成有關(guān)圖形的表象，并對(duì)形成的表象進(jìn)行加工和操作，構(gòu)造新的表象，是后兩個(gè)方面的基礎(chǔ)。空間組合和空間測(cè)量側(cè)重推理層面，即基于表象進(jìn)行幾何抽象和推理，分析和解決問題，是前三個(gè)方面的進(jìn)一步延伸與發(fā)展。因此，在綜合數(shù)學(xué)教育專家和一線數(shù)學(xué)教師的意見后，初步構(gòu)建了小學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)的測(cè)評(píng)框架，包括2個(gè)一級(jí)維度和5個(gè)二級(jí)維度，且每個(gè)二級(jí)維度包括2～3個(gè)具體的評(píng)價(jià)要素。

為探究測(cè)評(píng)框架構(gòu)建的合理性，編制了“小學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)的測(cè)評(píng)框架調(diào)查問卷”，并邀請(qǐng)30位專家(包括小學(xué)數(shù)學(xué)教育專家、小學(xué)數(shù)學(xué)教研員和小學(xué)優(yōu)秀教師)對(duì)測(cè)評(píng)框架進(jìn)行評(píng)價(jià)。該問卷采用Likert五級(jí)量表形式進(jìn)行計(jì)分，從“非常不同意”到“非常同意”，依次賦分為1～5，得分越高，表明對(duì)小學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)的測(cè)評(píng)框架越認(rèn)同，問卷總體信度Cronbach’sα=0.832，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。

表2 專家對(duì)小學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)測(cè)評(píng)框架的認(rèn)同度情況

由表2可知，專家對(duì)一級(jí)維度的認(rèn)同度“非常同意”和“同意”之和分別為87.5%、86.25%，對(duì)二級(jí)維度的認(rèn)同度“非常同意”和“同意”之和分別為93.75%、93.75%、81.25%、87.5%、93.75%。由此可以判斷，專家對(duì)小學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)測(cè)評(píng)框架的整體認(rèn)同度較高，此外，與上述群體中部分專家進(jìn)行訪談的結(jié)果也較好地驗(yàn)證了測(cè)評(píng)框架的科學(xué)性。大部分專家認(rèn)為該測(cè)評(píng)框架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)合理，部分專家認(rèn)為“基于抽象進(jìn)行推理對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)難度較高”，應(yīng)增加“多個(gè)圖形的位置關(guān)系”。也有專家建議二維與三維轉(zhuǎn)化不僅僅是簡(jiǎn)單地抽象出平面圖形或者還原立體圖形，還應(yīng)根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)所提出的要求，增加“考察學(xué)生確定搭成立體圖形所需要小正方體的數(shù)量范圍”的評(píng)價(jià)要素。從這些質(zhì)性描述可知，該測(cè)評(píng)框架能有效評(píng)價(jià)小學(xué)生視覺空間推理能力的表現(xiàn)，符合專家們的經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知。根據(jù)專家們提出的意見進(jìn)行調(diào)整與修改，最終確定小學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)的測(cè)評(píng)框架(具體如表3所示)。

表3 小學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)的測(cè)評(píng)框架

四、 小學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)測(cè)評(píng)框架的應(yīng)用

(一) 小學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)測(cè)評(píng)工具的編制

測(cè)評(píng)工具的編制是測(cè)評(píng)實(shí)施的前提條件，它既體現(xiàn)了對(duì)視覺空間推理能力內(nèi)涵的理解，也希望通過(guò)題目很好地反映小學(xué)生視覺空間推理能力的具體表現(xiàn)。因此，在參閱國(guó)內(nèi)外視覺空間推理相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》和北師版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中圖形與幾何內(nèi)容進(jìn)行深入細(xì)致的分析，并按照上述測(cè)評(píng)框架的維度劃分進(jìn)行問卷的編制。經(jīng)過(guò)與專家三輪的討論，以及預(yù)測(cè)試與修改，刪除其中5個(gè)題目，并對(duì)詞句不適切的題目進(jìn)行調(diào)整，最終得到一份有16個(gè)題項(xiàng)的正式問卷。下面根據(jù)每一維度的指向，選出5個(gè)具體的樣例進(jìn)行闡述：

【樣例1】

如圖所示，從無(wú)色的正方形中選出一個(gè)，使其與圖中5個(gè)有色的正方形一起可以折成一個(gè)正方體的紙盒。有幾種不同的選法？在圖中用數(shù)字標(biāo)出來(lái)。

設(shè)計(jì)意圖：該題目是在“圖形的展開與折疊”上考察學(xué)生對(duì)正方體及其展開圖的理解，以及進(jìn)行立體圖形與平面圖形相互轉(zhuǎn)化的能力。學(xué)生需要根據(jù)題目所給的線索準(zhǔn)確識(shí)別出能折成正方體的小正方形，在頭腦中操作展開圖以形成正方體的表象。此外，學(xué)生還需要掌握正方體的11種展開圖。

【樣例2】

設(shè)計(jì)意圖：該題目是在“圖形的二維與三維轉(zhuǎn)化”上考察學(xué)生由不同方向視圖想象和還原立體圖形的能力，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷從二維到三維的過(guò)程。不僅要有一定的空間想象力，還要具備解決此類問題所用的方法，即在由三視圖構(gòu)建立體圖形結(jié)構(gòu)時(shí)，要先看俯視圖，在此基礎(chǔ)上采用加法策略想象哪個(gè)位置上方有小正方體，進(jìn)一步體會(huì)根據(jù)從兩個(gè)方向看到的視圖并不能確定唯一一個(gè)立體圖形，而是會(huì)有不同的情況。

【樣例3】

一張紙片被一個(gè)圖釘固定在桌面上，可以繞圖釘旋轉(zhuǎn)這個(gè)紙片。下面哪個(gè)圖形是紙片繞圖釘旋轉(zhuǎn)后得到的？( )

設(shè)計(jì)意圖：該題目是在“圖形的旋轉(zhuǎn)”上考察學(xué)生對(duì)平面圖形旋轉(zhuǎn)后狀態(tài)的判斷。需要改變觀察的位置或在頭腦中感知并形成圖形運(yùn)動(dòng)的表象，以判斷圖形在平面上經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后能否與自身重合，對(duì)學(xué)生空間想象力的要求大于對(duì)旋轉(zhuǎn)概念的理解。

【樣例4】

笑笑想利用1cm3的小正方體做一個(gè)積木模型(如圖)，并在積木模型的表面涂上顏色。

(1) 有一面、兩面、三面被涂上顏色的小正方體各有多少個(gè)？

(2) 有多少個(gè)小正方體六個(gè)面都沒有涂上顏色？

設(shè)計(jì)意圖：該題目是在“空間組合”上考察學(xué)生將三維空間的“體”抽象成二維空間的“面”的能力，需在建立3×3×5長(zhǎng)方體表象的基礎(chǔ)上，探尋表面涂色的規(guī)律。解決涂色問題學(xué)生需要經(jīng)歷“想象—分解—還原—分類”的過(guò)程：想象是通過(guò)對(duì)立體圖形的觀察想象出各個(gè)面的平面圖形；分解是要清楚每個(gè)面的平面圖形是由哪些小正方形組成；還原是在想象和分解的基礎(chǔ)上，觀察每個(gè)小正方形所在的小正方體，以及這個(gè)小正方體所在長(zhǎng)方體的位置；分類是基于想象、分解和還原，計(jì)算不同位置的小正方體各有多少個(gè)。而沒有涂色的小正方體需要將每個(gè)面逐層剝離所得，側(cè)重考察學(xué)生空間結(jié)構(gòu)化的能力。

【樣例5】

笑笑買了一套故事書(上、下兩冊(cè))送給好朋友，每本書長(zhǎng)26cm，寬18cm，厚1cm，如果要將這套故事書包起來(lái)，至少需要多大面積的包裝紙？

設(shè)計(jì)意圖：該題目是在“空間測(cè)量”上考察學(xué)生對(duì)表面積概念和意義的理解，以及能否根據(jù)語(yǔ)言描述將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題。學(xué)生需要清楚求“至少需要多大面積的包裝紙”實(shí)際上就是求長(zhǎng)方體各個(gè)面的面積和，根據(jù)題目描述抽象出故事書這個(gè)長(zhǎng)方體表象，用表面積概念去思考和探索應(yīng)如何疊放長(zhǎng)方體，以推導(dǎo)出新長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，并運(yùn)用公式解決問題。

(二) 小學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)測(cè)評(píng)結(jié)果分析

為了解小學(xué)高年學(xué)生視覺空間推理能力的具體表現(xiàn)，本研究以問卷形式對(duì)小學(xué)六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，選取長(zhǎng)春市S小學(xué)六年級(jí)6個(gè)班學(xué)生進(jìn)行正式測(cè)試，共發(fā)放問卷225份，其中有效問卷210份，有效回收率為93.34%。對(duì)問卷進(jìn)行信、效度檢驗(yàn)，結(jié)果如下：KMO=0.824，Bartlett球形檢驗(yàn)p=0.000<0.001，這表明各變量間相關(guān)程度較高，可以做探索性因子分析。問卷總體信度Cronbach’s α=0.861，具體五個(gè)維度的信度水平詳見表4。通過(guò)信度檢驗(yàn)，問卷的信度指標(biāo)有了明顯的改善，各個(gè)維度之間具有較高的一致性，可以作為研究工具使用。

表4 正式問卷信度分析表

經(jīng)測(cè)試結(jié)果統(tǒng)計(jì)分析，學(xué)生視覺空間推理能力的整體均值為23.96(總分為40分)，得分較低，才達(dá)到總分的一半。對(duì)學(xué)生視覺空間推理能力進(jìn)行描述性分析，結(jié)果如表5所示：

表5 小學(xué)六年級(jí)學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)描述統(tǒng)計(jì)分析

由表5可知，六年級(jí)學(xué)生已具備一定的視覺空間推理能力，但在不同維度上的能力表現(xiàn)有所差異。得分均值由高到低排序?yàn)椋簣D形的旋轉(zhuǎn)、圖形的二維與三維轉(zhuǎn)化、圖形的展開與折疊、空間組合、空間測(cè)量。圖形的旋轉(zhuǎn)維度均值為5.65，較其他維度表現(xiàn)略好?？臻g測(cè)量維度均值偏低為3.90，較其他維度表現(xiàn)不佳。這表明基于表象進(jìn)行抽象和推理對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)難度還是較大的，因?yàn)檫@不僅涉及將視覺和空間的想法具體地在大腦中呈現(xiàn)出來(lái)，還需要借助幾何直觀與空間想象相結(jié)合的方式，利用視圖進(jìn)行幾何抽象和推理。

(三) 小學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)測(cè)評(píng)框架的使用

經(jīng)上述分析可以得出，按照測(cè)評(píng)框架編制的問卷能在大范圍內(nèi)進(jìn)行測(cè)試，具有可操作性，能反映小學(xué)生在視覺空間推理能力不同維度上的具體表現(xiàn)，可以為教師評(píng)價(jià)學(xué)生的視覺空間推理能力提供參考，但是，教師在運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意該測(cè)評(píng)框架適用于小學(xué)高年級(jí)學(xué)生(5—6年級(jí))。同時(shí)，構(gòu)建小學(xué)生視覺空間推理能力表現(xiàn)測(cè)評(píng)框架的主要目的是為教師如何發(fā)展和評(píng)價(jià)學(xué)生的視覺空間推理能力提供參考，以促進(jìn)教師改進(jìn)教學(xué)方式，因此，可與單元學(xué)習(xí)評(píng)估、日常練習(xí)等其他評(píng)價(jià)方法結(jié)合起來(lái)使用，或在課堂教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行即時(shí)評(píng)價(jià)，以更好地促進(jìn)小學(xué)生視覺空間推理能力的發(fā)展。