廣東省廣州市第十六中學(xué)(510631)梁鎮(zhèn)輝

章建躍教授提出了“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)是課改的三大基石”[1].2021年,新一輪高考、中考改革中,對(duì)教師的教學(xué)提出了更高的要求,也對(duì)學(xué)生養(yǎng)成“核心素養(yǎng)”的能力提出了明確的指向.“三理解”啟迪了教師尋找到解決教學(xué)“途徑”問題的新辦法[2].

1 教學(xué)設(shè)計(jì)說明

理解教材,把握教學(xué)主線.人教版九下“相似三角形判定”[3]與八年級(jí)上冊(cè)“全等三角形”判定定理在內(nèi)容安排順序上是一樣的,可以說相似三角形判定定理是以全等三角形判定定理為生長點(diǎn)和固著點(diǎn)的.教材對(duì)三邊情況作了完整學(xué)習(xí)過程安排.教材在定理生成的策略和方法是:類比判定三角形全等的“SSS”方法,讓學(xué)生再次經(jīng)歷定理2 的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和證明過程.而對(duì)于“兩邊和夾角”則采取學(xué)生類比的方法直接給出結(jié)論自行證明.這也說明教學(xué)主線是:相似三角形判定定理生成過程是突出了“三邊”情況的探究過程,然后以此為要點(diǎn)和模板,進(jìn)一步激勵(lì)學(xué)生類比探究其它判定定理.

理解學(xué)生,突出學(xué)生主位.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了全等三角形、相似三角形判定預(yù)定定理,具有相似三角形判定方法的認(rèn)知基礎(chǔ).但是學(xué)生不善于把新舊知識(shí)進(jìn)行類比,因此會(huì)在探究“三邊”情況(特別是證明定理的過程中),表現(xiàn)出薄弱的概括聯(lián)想能力等.同時(shí)學(xué)生普遍活躍好動(dòng),動(dòng)手操作等感性直觀能力比靜態(tài)思維能力強(qiáng).因此可以在教學(xué)過程中,揚(yáng)學(xué)生“感性操作”的興趣,激“理性思維”的火花,突出學(xué)生主體地位.

尋找教學(xué)新途徑.基于對(duì)教材和學(xué)生的理解,可以確定本節(jié)課在課堂教學(xué)過程中要突出“類比全等三角形判定定理”這一特點(diǎn).在突破“三邊”情況這一教學(xué)重點(diǎn)時(shí),筆者根據(jù)學(xué)生特征,采取操作性更簡便的“拼接三角形”的方式,讓學(xué)生初步經(jīng)歷判定定理2 的發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證過程,借助幾何畫板控制三角形縮放大小、三角形形狀,讓學(xué)生深入驗(yàn)證結(jié)論正確性和概括定理2 的特征是“三邊成比例”.而在證明定理2 時(shí),引領(lǐng)學(xué)生回憶定理驗(yàn)證的過程,自然想到添加“平行線”輔助線,突破教學(xué)中證明定理的難點(diǎn).最后回歸“全等是特殊的相似”,類比全等判定定理進(jìn)行相似判定定理的進(jìn)一步探究.

2 教學(xué)過程呈現(xiàn)

2.1 復(fù)習(xí)鞏固

問:什么是相似三角形?(抓定義:形狀相同.對(duì)應(yīng)角相等且對(duì)應(yīng)邊成比例)

問:我們已經(jīng)掌握了哪些判斷兩個(gè)三角形相似的方法?(法一:定義;法二:平行型,A 型,X 型)

導(dǎo)入:研究兩個(gè)三角形相似,我們主要從角和邊這兩個(gè)幾何元素入手.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí),我們還會(huì)找到其它判定兩個(gè)三角形相似的方法.

設(shè)計(jì)意圖:從相似三角形定義出發(fā),回顧已經(jīng)掌握相似三角形判定方法,為定理2 證明過程輔助線的啟發(fā)作出知識(shí)鋪墊.

2.2 探究判定定理2

活動(dòng)1:動(dòng)手拼三角形.PPT 展示小組拼接三角形的要求以及實(shí)驗(yàn)器材說明.

A 組:①邊長為4、5、6 的三角形;②邊長為12、15、18 的三角形.

B 組:①邊長為4、5、8 的三角形;②邊長為8、10、16 的三角形.

C 組:①邊長為5、6、8 的三角形;②邊長為6、6、10 的三角形.

1.提問:每個(gè)小組派代表說拼出的三角形邊長之間有什么關(guān)系?

2.學(xué)生反饋:A 組邊長放大3 倍;B 組邊長放大2 倍;C組邊長沒有放大縮小規(guī)律.

3.教師小結(jié):A、B 組的三角形對(duì)應(yīng)邊成比例關(guān)系,而C組的三角形邊長之間沒有成比例關(guān)系.

活動(dòng)2:觀察、操作,驗(yàn)證兩個(gè)三角形相似.

1.提問:你們拼出來的兩個(gè)三角形相似嗎?如果不相似,請(qǐng)說明理由.

2.A、B 組(提問學(xué)生):相似.

3.C 組(提問學(xué)生):不相似.理由是兩個(gè)三角形的形狀不相同,(老師引導(dǎo))一個(gè)為不等邊三角形,一個(gè)為等腰三角形.

4.提問:對(duì)于A、B 組的兩組三角形,能否按照定義驗(yàn)證相似呢(老師提示學(xué)生三邊已成比例,只差對(duì)應(yīng)角相等)?

學(xué)生舉手:度量角度.或者把角疊放在一起.

5.導(dǎo)入:下面我們要研究“三邊成比例的兩個(gè)三角形”是否相似的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生操作體驗(yàn),獲得三邊成比例的兩個(gè)三角形相似的初步感性認(rèn)識(shí).讓學(xué)生初步經(jīng)歷體驗(yàn)幾何結(jié)論的發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證過程.

活動(dòng)3:幾何畫板探究一般情形.

1.教師啟迪:A、B 組的三角形是把三角形邊長分別放大3 倍、2 倍后,三角形形狀不變(相似),那么我們改變放大的倍數(shù)或者固定倍數(shù)后改變?nèi)切蔚男螤?對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形是否相似?(教師展示幾何畫板.演示1:固定三角形形狀,控制放大的倍數(shù),顯示對(duì)應(yīng)角的測(cè)量數(shù)值;演示2:固定放大倍數(shù)后,改變?nèi)切蔚男螤?顯示對(duì)應(yīng)角的測(cè)量數(shù)值.)

2.學(xué)生嘩然:如果兩個(gè)三角形三條邊成比例(則他們的對(duì)應(yīng)角相等),兩個(gè)三角形相似.

設(shè)計(jì)意圖:以幾何畫板探究一般情形下,三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.加深學(xué)生對(duì)判定定理的理解.讓學(xué)生深入經(jīng)歷體驗(yàn)幾何結(jié)論的發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證過程.

活動(dòng)4:提出數(shù)學(xué)猜想.

1.提問:經(jīng)過上述探究,我們能否得到兩個(gè)三角形相似的判定方法?

2.學(xué)生:三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.(老師寫在黑板)

活動(dòng)5:探尋定理2 的證明與方法.

1.師生互動(dòng):老師引導(dǎo)學(xué)生證明定理(命題)的基本步驟有①根據(jù)題意作出圖形.②根據(jù)題設(shè)、結(jié)論、圖形,寫出已知和求證.③寫出證明過程.并畫圖、板書：已知?ABC和?A′B′C′中,,求證?ABC∽?A′B′C′.

2.教師啟迪:顯然按照相似定義,需證明三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等就可以證明命題正確.回憶活動(dòng)2 的過程,同學(xué)們是如何操作驗(yàn)證對(duì)應(yīng)角相等的?(學(xué)生拿起兩個(gè)三角形疊放在一起,老師按照學(xué)生的反應(yīng)在PPT 演示疊放三角形的動(dòng)態(tài)過程和靜態(tài)結(jié)果.)

3.教師啟迪:兩個(gè)三角形移動(dòng)重疊后,?ABC和?A′DE,?A′DE和?A′B′C,?ABC和?A′B′C′分別有什么關(guān)系?

4.學(xué)生:?ABC和?A′DE全等,?A′DE和?A′B′C′相似,?ABC和?A′B′C′相似.

5.提問:我們?nèi)绾螌?shí)現(xiàn)把?ABC“移動(dòng)到”?A′DE呢?(作出輔助線DE)

6.提問:思考作出的輔助線DE具有什么性質(zhì)?(DE//B′C′,且A′D=AB)

(師生一起寫出證明過程,略.考慮到學(xué)生能力一般,教學(xué)時(shí)效,忽略其它證法介紹)

7.小結(jié):我們發(fā)現(xiàn)判定兩個(gè)三角形相似,只需從邊的角度考慮三邊是否成比例,比起定義法要簡便得多.在證明過程中注意這條平行線DE輔助線的作用.

設(shè)計(jì)意圖:啟迪學(xué)生回憶探究定理的操作過程,自然產(chǎn)生了作平行線輔助線的方法,發(fā)現(xiàn)?A′DE的“中介”[3]作用,突破定理證明過程中的難點(diǎn).讓學(xué)生經(jīng)歷完整的“提出問題—分析問題—解決問題”的學(xué)習(xí)過程,體現(xiàn)學(xué)生是探究學(xué)習(xí)過程的主體地位.

2.3 探究判定定理3

提問:全等是特殊的相似,類比全等判定方法,我們可能得到哪些相似判定方法嗎?(同時(shí)PPT 展示全等和相似定義、判定方法對(duì)比表格)

學(xué)生:(教師啟發(fā)學(xué)生相似中,邊是對(duì)應(yīng)成比例,角是對(duì)應(yīng)相等)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.......

師生互動(dòng):對(duì)“兩邊和夾角”的情況進(jìn)行猜想(教師通過幾何畫板輔助學(xué)生觀察驗(yàn)證結(jié)論的正確性).

師生互動(dòng):類比判定定理2 對(duì)判定定理3 作出證明.(過程略)

設(shè)計(jì)意圖:啟發(fā)學(xué)生類比全等三角形判定定理的研究思路,模仿相似判定定理2 的證明過程,自主證明判定定理3.

2.4 判定定理2、3 的辨析與理解

提問:如果兩個(gè)三角形的兩條邊成比例,請(qǐng)你增加一個(gè)條件,讓這兩個(gè)三角形相似.那么可以增加什么條件呢?為什么?

學(xué)生甲:可以第三條邊也成比例,此時(shí)按判定定理2 得證.

學(xué)生乙:可以增加一個(gè)角相等,此時(shí)按判定定理3 得證(教師提問這個(gè)角有特殊要求嗎?從而引起學(xué)生的討論).

思辨:兩邊成比例、一角相等的兩個(gè)三角形不一定相似.同時(shí)PPT 展示圖片.

學(xué)生驚訝:這是個(gè)坑.這個(gè)角一定是對(duì)應(yīng)邊的夾角.

學(xué)生丙:這個(gè)跟全等三角形SAS 判定定理的圖(八上課本)是一樣的.

老師小結(jié):同學(xué)們要注意了,判定定理3 中,這個(gè)等角的位置要求為對(duì)應(yīng)邊的夾角.

設(shè)計(jì)意圖:及時(shí)幫助學(xué)生梳理所學(xué)知識(shí),判定定理3 的角是否夾角很容易忽略,需要學(xué)生注意加深印象和理解.

2.5 練習(xí)與鞏固

練習(xí)1.根據(jù)下列條件,判斷?ABC與?A′B′C′是否相似,并說明理由:

①AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm,A′B′=12cm,B′C′=18cm,A′C′=24cm.

②∠B=120?,AB=7cm,AC=14cm,∠B′=120?,A′B′=3cm,A′C′=6cm.

設(shè)計(jì)意圖:運(yùn)用判定定理證相似時(shí),要注意是對(duì)應(yīng)邊的比.練習(xí)從給出已知圖形,到?jīng)]有給出幾何圖形,這就需要學(xué)生在尋找對(duì)應(yīng)邊的過程中注意“長對(duì)長,短對(duì)短,中對(duì)中”.

練習(xí)2.要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架,其中一個(gè)三角形框架的三邊長分別為4cm,5cm 和6cm,另一個(gè)三角形框架的一邊長為2cm,它的另外兩條邊長應(yīng)當(dāng)是多少?你有幾種制作方案?

設(shè)計(jì)意圖:因?yàn)闆]有給出具體的三角形形狀,也沒法確定邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系,需要學(xué)生訓(xùn)練分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.

練習(xí)3.【拓展提升】已知將軍從辦公室A點(diǎn)牽馬到直線MN的河邊P處飲馬,然后回到將軍府B處休息.A、B分別到MN的距離為3km 和4km,MN長10.問題(1)當(dāng)MP多少時(shí),AP+BP最小?問題(2)是否存在某處P的位置,使得?AMP和?PNB相似?如果存在,求出MP的長度;如果不存在,請(qǐng)說明理由.(留作課后探討)

設(shè)計(jì)意圖:綜合檢測(cè)學(xué)生本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的掌握程度,將軍飲馬新情境中發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.

3 教后反思

3.1 “三個(gè)理解”喚醒課堂活力

教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過程[4].以教學(xué)引入角度看,筆者查閱資料后,發(fā)現(xiàn)各教學(xué)設(shè)計(jì)大體以“類比全等判定方法”切入,讓學(xué)生類比提出其它判定定理,比較枯燥;也有的是從“測(cè)量某工具的內(nèi)孔直徑”這一生活例子切入,但是學(xué)生缺乏這樣活生生的生活場(chǎng)景,完全有可能不能“共鳴”.因此,本人從研究幾何的核心對(duì)象(邊、角)入手,以拼接三角形切入,把學(xué)生帶到“引人入勝”的動(dòng)手操作情境中,激活學(xué)生的主體精神,釋放學(xué)生學(xué)習(xí)能動(dòng)性,讓學(xué)生在三維空間中重合、移動(dòng)、對(duì)比兩個(gè)三角形,讓抽象的探究過程充滿“生氣”.由于學(xué)生性格好動(dòng)外向,學(xué)生普遍接受這種動(dòng)態(tài)操作探究的學(xué)習(xí)方式.不同于課本[3]用畫圖和度量角度的方式,利用幾何畫板動(dòng)態(tài)觀察相似三角形的判定定理2、3 就更有“生氣”了.也許這種教學(xué)安排降低了學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的要求,讓每一位孩子都能在定理發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證的過程當(dāng)中,體驗(yàn)到參與之樂、思維之趣、成功之愉,散發(fā)課堂活力.

3.2 “三個(gè)理解”激發(fā)學(xué)習(xí)能力

有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是教師教與學(xué)生學(xué)的統(tǒng)一,應(yīng)體現(xiàn)“以人為本”的理念,促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展[4].本節(jié)課的難點(diǎn)是證明過程中構(gòu)造?A′DE,學(xué)生要體味和運(yùn)用這個(gè)三角形在證明過程中的中介作用.筆者對(duì)此安排了“重疊三角形驗(yàn)證相似”的動(dòng)手操作過程,也安排了幾何畫板演示,目的就是幫助學(xué)生從中體會(huì)輔助線的由來,自然對(duì)?ABC和?A′DE,?A′DE和?A′B′C′,?ABC和?A′B′C′之間的關(guān)系進(jìn)行聯(lián)想,體會(huì)證明方法的來龍去脈.相比較“灌輸式”的知識(shí)植入方法,學(xué)生普遍接受程度高,并在探究“兩邊和一角”情況的證明中,因有前面的探究經(jīng)歷,就可以依葫蘆畫瓢,有能力自行探究判定定理3 的發(fā)生、驗(yàn)證以及證明過程.

3.3 “三個(gè)理解”促進(jìn)教學(xué)方案的實(shí)施

教學(xué)方案[4]的實(shí)施,就是把“預(yù)設(shè)”轉(zhuǎn)化為實(shí)際的教學(xué)活動(dòng).在這個(gè)過程中,師生雙方的互動(dòng)往往會(huì)“生成”一些新的教學(xué)資源如果教師能夠在理解教材、理解學(xué)生、理解教學(xué)后,容易及時(shí)把握這種“課堂生成”,并作因勢(shì)利導(dǎo),邊教邊適當(dāng)調(diào)整教學(xué)預(yù)想,我們的教學(xué)活動(dòng)就能收到更好的效果.

3.4 “三個(gè)理解”有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

本課堂展開了多個(gè)教學(xué)活動(dòng),一定程度上豐富了學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)[4].”本課以“拼三角形——觀察三角形——幾何畫板觀察三角形——提出猜想——作出證明——合作交流——自主證明定理3——課堂練習(xí)——課堂小結(jié)——課后作業(yè)與交流”等環(huán)節(jié)作為積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要載體,為什么要安排這些教學(xué)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)就是考慮到學(xué)生理解知識(shí)的基本規(guī)律,安排這樣的教學(xué)順序就是考慮到教材內(nèi)容的安排合理性,安排多個(gè)圍繞判定定理主題的活動(dòng)就是考慮到本節(jié)課需要突出“幾何定理的再現(xiàn)和證明”過程,并且?guī)椭鷮W(xué)生逐步積累運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的經(jīng)驗(yàn).“學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過程中,通過獨(dú)立思考、合作交流,逐步感悟數(shù)學(xué)思想[4]”.