北京市十一學(xué)校龍樾實(shí)驗(yàn)中學(xué)(100096)彭芳芳

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》明確指出:“創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù),應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過(guò)程之中.”[1]深度學(xué)習(xí)引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與思考,能夠有效幫助學(xué)生建立知識(shí)的系統(tǒng)性,培養(yǎng)學(xué)科思維和創(chuàng)新意識(shí),滲透核心素養(yǎng).筆者以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典幾何問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題為載體,呈現(xiàn)深度學(xué)習(xí)引領(lǐng)下的幾何應(yīng)用專題的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考,與讀者分享交流.

1 教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 內(nèi)容分析

最短路徑問(wèn)題是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)“軸對(duì)稱”這一章的應(yīng)用內(nèi)容,屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中“圖形與幾何”領(lǐng)域.最短路徑問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到,初中階段,主要以“兩點(diǎn)之間,線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短”為知識(shí)基礎(chǔ),有時(shí)還要借助軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究.

本課例以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題為載體,開展對(duì)“最短路徑問(wèn)題”的課題研究與深度學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)散情境,并通過(guò)類比轉(zhuǎn)化、遷移學(xué)習(xí),利用基本原理(“兩點(diǎn)之間線段最短”和“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短”)與基本變換(平移、軸對(duì)稱)解決問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)學(xué)科本質(zhì).

1.2 學(xué)習(xí)者分析

本班學(xué)生為我校分層教學(xué)理念指導(dǎo)下的數(shù)III 學(xué)生,學(xué)生基礎(chǔ)較好,認(rèn)知能力、學(xué)習(xí)能力和遷移能力較強(qiáng).在此之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)“幾何圖形初步”、“相交線與平行線”、“三角形”和“全等三角形”,已具備一定的空間觀念、幾何直觀、幾何推理能力和幾何思維.為提升課堂效率,本課主要采用開放性的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)策略.

1.3 學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)能夠建立幾何模型,將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)的最短路徑問(wèn)題;

(2)能夠利用軸對(duì)稱、平移等圖形變換,將線段和的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”問(wèn)題或“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短”問(wèn)題;

(3)能根據(jù)情境需求,分類討論,并完成復(fù)雜情境向簡(jiǎn)單情境的轉(zhuǎn)化,體會(huì)分類討論思想和類比、轉(zhuǎn)化思想,體會(huì)學(xué)科思維習(xí)慣,體驗(yàn)深度學(xué)習(xí)過(guò)程;

(4)積極參與問(wèn)題的探索活動(dòng),自主創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題,學(xué)會(huì)和他人合作交流,體會(huì)成功的快樂(lè),提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

1.4 教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)一:情境引入 模型建立

早在古羅馬時(shí)代,傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者,名叫海倫.一天,一位羅馬將軍專程去拜訪他,向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題:將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā),先到河邊飲馬,然后再去河岸B地開會(huì),應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?從此,這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問(wèn)題被廣泛流傳.

問(wèn)題1:同學(xué)們,你能借助于幾何圖形把這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎?

學(xué)生活動(dòng):學(xué)生分析畫圖,建立幾何模型,回答問(wèn)題:把軍營(yíng)A、河岸B抽象為A,B兩點(diǎn),河抽象為直線l,于是將軍飲馬問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線l上取一點(diǎn)P,使得AP與BP兩線段之和最小.

教師活動(dòng):引入情境,提出問(wèn)題,鼓勵(lì)學(xué)生展示建模過(guò)程.

設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題,即將最短路徑問(wèn)題抽象為“線段和最小問(wèn)題”.

環(huán)節(jié)二:條件開放 分類討論

問(wèn)題2:在直線上l取一個(gè)點(diǎn)P,使得線段AP與BP之和最小,有幾種不同的情形?

學(xué)生活動(dòng):畫圖分析、分類討論,并與同學(xué)交流討論,達(dá)成共識(shí):A,B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)和A,B兩點(diǎn)在直線l的異側(cè).

追問(wèn)1:哪一種情況比較簡(jiǎn)單?如何解決?你的依據(jù)是什么?

學(xué)生活動(dòng):思考判斷、互相交流、組織語(yǔ)言、回答問(wèn)題:若A,B在直線l的異側(cè),連接線段AB,線段AB與直線l的交點(diǎn)即為要求的P點(diǎn).依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短(三角形的兩邊之和大于第三邊),如圖1所示.

圖1

追問(wèn)2:如果A,B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè),如何解決?能否根據(jù)所學(xué)轉(zhuǎn)化為第一種情況?

追問(wèn)3:轉(zhuǎn)化的依據(jù)是什么?

學(xué)生活動(dòng):獨(dú)立思考,對(duì)比轉(zhuǎn)化,與同學(xué)交流討論,嘗試回答,相互補(bǔ)充:作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,將“同側(cè)”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“異側(cè)”問(wèn)題,如圖2所示,轉(zhuǎn)化的依據(jù)是“線段垂直平分線(對(duì)稱軸)上任一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”.

圖2

教師活動(dòng):以問(wèn)題串的形式引導(dǎo)學(xué)生分類討論,先易后難,并利用轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生全面分析問(wèn)題,針對(duì)不同情境進(jìn)行分類討論;關(guān)注學(xué)生思維生成的過(guò)程,通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué),搭建臺(tái)階,為學(xué)生探究問(wèn)題提供“腳手架”,將“同側(cè)”難于解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“異側(cè)”容易解決的問(wèn)題,滲透轉(zhuǎn)化思想;引導(dǎo)學(xué)生思考線段和最小問(wèn)題的依據(jù)和將“同側(cè)”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“異側(cè)”問(wèn)題的依據(jù),培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.

環(huán)節(jié)三:推理證明 語(yǔ)言規(guī)范

問(wèn)題3:你能用幾何語(yǔ)言證明線段和AP+BP最小嗎?

學(xué)生活動(dòng):思考分析,用圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言完成推理證明.

教師活動(dòng):關(guān)注學(xué)生的書寫過(guò)程,引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合,用圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言共同完成證明過(guò)程,必要時(shí)進(jìn)行思維點(diǎn)撥.

設(shè)計(jì)意圖:進(jìn)一步體會(huì)作法的科學(xué)性,訓(xùn)練解題規(guī)范,提高學(xué)生的邏輯思維能力.

環(huán)節(jié)四:思想總結(jié) 方法提煉

思考1:下面請(qǐng)同學(xué)們思考,將軍飲馬問(wèn)題中運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法和思想?

學(xué)生活動(dòng):回顧研究?jī)?nèi)容,再現(xiàn)思維生成的過(guò)程,獨(dú)立思考,總結(jié)提煉.

設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生回顧解題過(guò)程,把握研究問(wèn)題的基本策略、基本思路和基本方法,完成思想和方法提煉,養(yǎng)成總結(jié)思考的習(xí)慣,再次體會(huì)解題過(guò)程中的模型思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想和從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的數(shù)學(xué)研究方法.

環(huán)節(jié)五:情境開放 應(yīng)用拓展

思考2:在現(xiàn)實(shí)生活中,馬不能只喝水不吃草,如果將軍先到草地牧馬,再到河邊牧馬.你能不能據(jù)此創(chuàng)設(shè)情境,然后解決問(wèn)題呢?請(qǐng)小組交流完成.

學(xué)生活動(dòng):分析思考,小組交流,分類討論,自主創(chuàng)設(shè)情境,并嘗試解決新情境下的問(wèn)題.

教師活動(dòng):先給學(xué)生自己獨(dú)立思考的時(shí)間和空間,在必要時(shí)引導(dǎo)學(xué)生畫圖建模、分類討論,類比研究.

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)要素開放拓展學(xué)生的思維,引領(lǐng)開放性學(xué)習(xí),讓學(xué)生通過(guò)類比研究,體會(huì)總結(jié)的思想方法在新情境中的應(yīng)用,把握問(wèn)題核心,體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用,感悟轉(zhuǎn)化思想,鞏固應(yīng)用學(xué)習(xí)成果.

環(huán)節(jié)六:方向引領(lǐng) 深化研究

小組作業(yè),請(qǐng)各小組任選一個(gè)方向,完成研究性報(bào)告:

1.在以上問(wèn)題中,我們都把將軍的飲馬地(牧馬地)抽象為河邊(草地)的某個(gè)點(diǎn),實(shí)際情況是否是這樣?更一般地,如果把飲馬地(牧馬地)抽象為河邊(草地)的某條線段,如何解決?

2.為了保持馬的健壯,將軍決定牧馬、飲馬后,再去沙灘遛馬,你能否設(shè)計(jì)并完成研究報(bào)告?

設(shè)計(jì)意圖:在鞏固課堂所學(xué)的基礎(chǔ)上,培養(yǎng)學(xué)生深入研究和思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣,提升鉆研能力,培養(yǎng)學(xué)術(shù)規(guī)范,提高創(chuàng)新意識(shí).

2 深度學(xué)習(xí)拓展研究

在深度學(xué)習(xí)的引領(lǐng)下,我們對(duì)將軍飲馬問(wèn)題展開了如下的拓展研究:

將軍飲馬2.0:將軍從山腳下的A點(diǎn)出發(fā),先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬,最后再回到A點(diǎn)宿營(yíng).怎樣走才能使總的路程最短?

分析:將草地抽象為直線OM,河抽象為直線ON,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:在直線OM和ON上分別取一點(diǎn)P和Q,使得線段AP、PQ與QA之和最小.

情形1:點(diǎn)A在角∠MON外,如圖3所示.

圖3

作法:如圖4所示,過(guò)A點(diǎn)作AQ⊥ON交ON于Q,交OM于P,則點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是滿足要求的牧馬點(diǎn)和飲馬點(diǎn).

圖4

依據(jù):(1)兩點(diǎn)之間線段最短;(2)點(diǎn)到直線的線段中,垂線段最短.

情形2:A點(diǎn)在角∠MON內(nèi),如圖5所示.

圖5

作法:如圖6所示,(1)分別作點(diǎn)A關(guān)于直線OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)A′、A′′;

圖6

(2)連接A′A′′,交直線OM于點(diǎn)P,交直線ON于點(diǎn)Q,則點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是牧馬點(diǎn)和飲馬點(diǎn).

依據(jù):(1)垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等;(2)兩點(diǎn)之間線段最短.

總結(jié)將軍飲馬2.0 版本的問(wèn)題中,運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法和思想:以上兩個(gè)情形均屬于兩線一點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題,主要用到了

①模型思想:將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題;

②分類討論思想:根據(jù)A點(diǎn)在草地與河張成的角的外部還是內(nèi)部分類討論;

③類比和轉(zhuǎn)化思想:一、類比經(jīng)典的將軍飲馬問(wèn)題,我們很自然地想到分別作點(diǎn)A關(guān)于兩條直線的對(duì)稱點(diǎn),兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的連線與兩直線的交點(diǎn)分別就是我們要找的牧馬點(diǎn)和飲馬點(diǎn);二、兩線一點(diǎn)的將軍飲馬問(wèn)題,是三條線段和的最短路徑問(wèn)題:先固定點(diǎn)P,將三條線段AP、PQ與QA之和的最小值轉(zhuǎn)化為兩條線段PQ與QA之和的最小值,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)一線的將軍飲馬問(wèn)題,最小值為A′′P;接下來(lái)考慮P點(diǎn)的選取,P為直線OM上滿足PA+A′′P最小的點(diǎn),這又是一個(gè)兩點(diǎn)一線的將軍飲馬問(wèn)題.簡(jiǎn)言之,我們可以將兩線一點(diǎn)的將軍飲馬問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)兩點(diǎn)一線的將軍飲馬問(wèn)題.

將軍飲馬3.0:將軍從山腳下的A點(diǎn)出發(fā),先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬,最后回到B點(diǎn)宿營(yíng).怎樣走才能使總的路程最短?

分析:將草地抽象為直線OM,河抽象為直線ON,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:在直線OM和ON上分別取一點(diǎn)P和Q,使得線段AP、PQ與QB之和最小.

情形1:A、B兩點(diǎn)均在角∠MON外,如圖7所示.

圖7

作法:如圖8所示,連接AB交OM于P,交ON于Q,則點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是牧馬點(diǎn)和飲馬點(diǎn).

圖8

依據(jù):兩點(diǎn)之間線段最短.

情形2:A、B兩點(diǎn)一個(gè)在角∠MON外,一個(gè)在角∠MON內(nèi),如圖9所示.

圖9

作法:如圖10所示,作點(diǎn)B關(guān)于直線ON的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接AB′交OM于P,交ON于Q,則點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是牧馬點(diǎn)和飲馬點(diǎn).

圖10

依據(jù):(1)垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等;(2)兩點(diǎn)之間線段最短.

情形3:A、B兩點(diǎn)均在角∠MON內(nèi),如圖11所示.

圖11

作法:如圖12所示.

圖12

依據(jù):(1)垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等;(2)兩點(diǎn)之間線段最短.

將軍飲馬3.1:如圖13所示,將軍從A點(diǎn)出發(fā),先到草地某處牧馬,再到河邊飲馬,若將軍沿草地走a米,沿河邊走b米,最后回到B點(diǎn).怎樣走才能使總的路程最短?

圖13

分析:設(shè)將軍從A點(diǎn)出發(fā),先到草地的點(diǎn)P處牧馬,并沿草地走a米到達(dá)點(diǎn)P′處,然后到河邊的點(diǎn)Q′處飲水,并沿河邊走b米到達(dá)點(diǎn)Q處,最后回到B點(diǎn).于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)P、P′、Q′、Q在何處時(shí),AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB最小的問(wèn)題.

因?yàn)镻P′=a,Q′Q=b,所以AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB的最小值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為AP+P′Q′+QB的最小值問(wèn)題.

對(duì)比將軍飲馬3.0 版本,觀察到AP,P′Q′,QB是彼此不連接的三條線段,我們只需通過(guò)平移使三條線段首尾相接,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為3.0 版本.

作法:如圖14所示,

圖14

(1)過(guò)A點(diǎn)作草地的平行線,并在平行線上截取AA′=a;過(guò)B點(diǎn)作河邊的平行線,并在平行線上截取BB′=b;

(2)分別作點(diǎn)A′的關(guān)于草地的對(duì)稱點(diǎn)A′′;點(diǎn)B′的關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)B′′;

(3)連接A′′B′′,交草地于點(diǎn)P′,交河邊于點(diǎn)Q′;

(4)分別過(guò)點(diǎn)A作AP//A′P′交草地于P點(diǎn);過(guò)點(diǎn)B作BQ//B′Q′交河邊于Q點(diǎn),則AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB是最短路徑.

依據(jù):(1)平移的性質(zhì);(2)垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等;(3)兩點(diǎn)之間線段最短.

證明:由上述作法可知,四邊形AA′P′P和四邊形BB′Q′Q均為平行四邊形,由平行四邊形的性質(zhì)可知:PP′=AA′=a,Q′Q=BB′=b,AP=A′P′,QB=Q′B′,所以

AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB

=AP+P′Q′+QB+a+b

=A′P′+P′Q′+Q′B′+a+b

=A′′P′+P′Q′+Q′B′′+a+b

=A′′B′′+a+b.

由前面的分析,可得AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB是最短路徑.

將軍飲馬4.0:如圖15所示,將軍從A點(diǎn)出發(fā),先到草地某處牧馬,再到河邊飲馬,接著到沙灘遛馬,最后回到B點(diǎn).怎樣走才能使總的路程最短?

圖15

分析:設(shè)將軍從A點(diǎn)出發(fā),先到草地的點(diǎn)P處牧馬,再到河邊的點(diǎn)Q處飲馬,接著到沙灘的點(diǎn)R處遛馬,最后回到B點(diǎn).于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)P、Q、R在何處時(shí),AP+PQ+QR+RB最小的問(wèn)題.

類比之前的討論,可用軸對(duì)稱的知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”的問(wèn)題來(lái)解決.

作法:如圖16所示,

圖16

(1)作點(diǎn)A的關(guān)于草地的對(duì)稱點(diǎn)A′;作點(diǎn)A′的關(guān)于河邊的對(duì)稱點(diǎn)A′′;作點(diǎn)B的關(guān)于沙灘的對(duì)稱點(diǎn)B′;

(2)連接A′′B′,交河邊于點(diǎn)Q,交沙灘于點(diǎn)R;

(3)連接A′Q,交草地于點(diǎn)P,則AP+PQ+QR+RB是最短路徑.

依據(jù):(1)垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等;(2)兩點(diǎn)之間線段最短.

小結(jié):將軍飲馬最短路徑問(wèn)題總結(jié)如下表1所示.

現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言將軍飲馬1.0兩點(diǎn)一線最小值問(wèn)題兩條線段和的最小值將軍飲馬2.0兩線一點(diǎn)最小值問(wèn)題三條線段和的最小值(三角形三邊)將軍飲馬3.0兩點(diǎn)兩線最小值問(wèn)題三條線段和的最小值(首尾連接)將軍飲馬3.1兩點(diǎn)兩線最小值問(wèn)題三條線段和的最小值(彼此不連接)將軍飲馬4.0兩點(diǎn)三線最小值問(wèn)題四條線段和的最小值