廣東省廣州市南海中學(xué)(510000)廖小琴

數(shù)學(xué)建模在2017年頒布的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中被列為六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.課程內(nèi)容將數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動作為四條主線之一,可見數(shù)學(xué)建模成為此次數(shù)學(xué)課程改革特色與亮點(diǎn)之一,并為數(shù)學(xué)建模教學(xué)向走進(jìn)課堂提供強(qiáng)有力的文件支撐與操作指引.與此同時,課程內(nèi)容明確要求數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動以主題的形式展開教學(xué)并規(guī)定了相應(yīng)的學(xué)時,具體是必修學(xué)時6 課時,選修學(xué)時4 課時[1].雖然新課標(biāo)中明確規(guī)定了數(shù)學(xué)建模的地位與課時,但仍然存在課時少、設(shè)備不足、教師教學(xué)經(jīng)驗缺乏等實施難的問題.這些問題往往只變成要不就是回避不教;要不就是變成去建模過程的應(yīng)用題訓(xùn)練;要不就布置空洞的建模作業(yè)等.建模到底是什么?怎么建?建模的目的與作用等問題沒有具體的指引,學(xué)生是一概不知,更談何素養(yǎng)的提升?故此,學(xué)科核心素養(yǎng)生根落地,必須變革教師的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.在培養(yǎng)建模素養(yǎng)的同時,要實現(xiàn)學(xué)生的生活經(jīng)驗與教學(xué)活動的有效聯(lián)結(jié),讓學(xué)生不僅獲得知識,更獲得思想與素養(yǎng)的深化.故此,要提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),除了關(guān)注建模課程,還要關(guān)注課程以外的作業(yè)設(shè)計.在建模學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生究竟應(yīng)該經(jīng)歷哪些學(xué)習(xí)過程、采取哪些學(xué)習(xí)方式,是建模課程及作業(yè)設(shè)計的重要問題.

1 建模任務(wù)規(guī)約的定義與特征

深度教學(xué)提出任務(wù)性規(guī)約是課程履歷的重要內(nèi)容之一.任務(wù)性規(guī)約是指對達(dá)成課程目標(biāo)或教學(xué)目標(biāo)學(xué)生必須完成的學(xué)習(xí)任務(wù)規(guī)定或約定.任務(wù)性規(guī)約所約定的學(xué)習(xí)任務(wù)直接指向課程目標(biāo)或教學(xué)目標(biāo),是課程目標(biāo)或教學(xué)目標(biāo)的本質(zhì)要求,是在教學(xué)過程層面對目標(biāo)的操作化或表現(xiàn)性要求[2].

建模的任務(wù)規(guī)約就是達(dá)成相關(guān)模型建模素養(yǎng)的學(xué)習(xí)任務(wù)約定.要充分引導(dǎo)學(xué)生用模而不套模,在任務(wù)約定的前提下,學(xué)生要結(jié)合實際靈活使用模型.在任務(wù)完成的過程中形成用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界,用數(shù)學(xué)思維分析世界的素養(yǎng).故此,學(xué)習(xí)所約定的任務(wù)是以達(dá)成建模素養(yǎng)為最終目標(biāo)而設(shè)計的,對學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)方式有具體的指引,在完成任務(wù)過程中能充分體現(xiàn)同類問題的不同情境、不同對象,同一模型的不同解決工具、步驟和途徑等,具有可操作性、靈活性和多元性特征.

2 建模任務(wù)規(guī)約的設(shè)計與實施

下面以“獨(dú)立性檢驗”的統(tǒng)計建模教學(xué)為例,通過指定任務(wù)、多元任務(wù)到反思任務(wù)的三步引導(dǎo)闡述對建模作業(yè)進(jìn)行任務(wù)規(guī)約的設(shè)計與實施,從而達(dá)成建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

2.1 指定任務(wù)構(gòu)建模型認(rèn)知,自主搭建模型框架從而達(dá)成知識意義的理解、思想的內(nèi)化

本課首先給定兩個指定任務(wù):預(yù)習(xí)任務(wù)和探究任務(wù).通過這兩個任務(wù)的細(xì)化布置讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)模型案例,同時通過新情境的指引讓其自行搭建解決問題的腳手架,促其感知模型所運(yùn)用的情境及模型背后的思想方法.

預(yù)習(xí)任務(wù)以課本“肺癌與吸煙是否有關(guān)系”為例,預(yù)習(xí)并完成以下作業(yè)任務(wù).

(1)了解分類變量的概念,并能舉出多個分類變量;

(2)學(xué)會看圖或數(shù)據(jù)分析兩個分類變量是否有關(guān)系;

(3)自行推導(dǎo)卡方K2公式中(ad ?bc)2的意義,從而推導(dǎo)出卡方統(tǒng)計量的基本原理.

探究任務(wù)根據(jù)以下數(shù)據(jù)使用excel 的圖表功能,選擇一種圖或一組數(shù)據(jù)分析高中生拍拖對成績是否有影響.

問題提出:高中生拍拖對成績是否有影響?(以全年級排名前50 為優(yōu)秀)

優(yōu)秀不優(yōu)秀總計在拍拖7 15 22不在拍拖39 38 77總計46 53

設(shè)計意圖:以預(yù)習(xí)任務(wù)規(guī)約的方式,按步提出預(yù)習(xí)的目標(biāo)要求.并通過給出學(xué)生“高中生拍拖對成績是否有影響”的校園熱議話題,吸引學(xué)生運(yùn)用預(yù)習(xí)成果解決問題,為后續(xù)自主建模做后好知識基礎(chǔ)和方法解決的鋪墊.

實施報告:針對以上任務(wù),分為二維條形圖、等高柱狀圖、三維柱狀圖和數(shù)據(jù)估計四類學(xué)生報告.

學(xué)生報告1:二維條形圖

右側(cè)柱狀代表不優(yōu)秀人數(shù),左側(cè)柱狀代表優(yōu)秀人數(shù).從圖中可看出,在拍拖的學(xué)生中,不優(yōu)秀的人占比更高.通過直觀地圖表分析,我們可以認(rèn)為高中生拍拖對成績有影響.

學(xué)生報告2:等高條形圖

學(xué)生報告2:等高條形圖

前側(cè)的是在拍拖的學(xué)生所占比例,后側(cè)的是不在拍拖的學(xué)生所占比例.從圖中可以看出,不拍拖的學(xué)生比拍拖的學(xué)生優(yōu)秀率高.

學(xué)生報告3：三維柱狀圖

從圖中可以看出,各個頻數(shù)的相對大小,直觀的反映出相關(guān)數(shù)據(jù)的總體狀況.其中前側(cè)藍(lán)色條高表示在拍拖的人數(shù),后側(cè)紅色條高表示不在拍拖的人數(shù).拍拖中優(yōu)秀的比例遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于不拍拖中優(yōu)秀的比例,也低于拍拖中不優(yōu)秀的比例.因此,直觀上可以得到結(jié)論:拍拖對成績有影響.

學(xué)生報告4:數(shù)據(jù)估計分析

由拍拖情況和成績優(yōu)秀情況的列表可以粗略估計出,在拍拖者中有13.6%的學(xué)生成績優(yōu)秀,在不拍拖者中有50.6%的學(xué)生成績優(yōu)秀,因此直觀數(shù)據(jù)上得出結(jié)論,成績優(yōu)秀的同學(xué)中,不拍拖的比拍拖的多,所以高中生拍拖對成績有影響.通過報告4 的數(shù)據(jù)可知,當(dāng)時兩個分類變量關(guān)系很小,反之則大.變形整理可得|ad ?bc|越趨近0,說明兩個分類變量關(guān)系越小,反之則就越大.

卡方公式的推導(dǎo)是本課的教學(xué)難點(diǎn).由于其推導(dǎo)過程與學(xué)生的知識儲備不符,所以學(xué)生是不能完全推導(dǎo).但深度教學(xué)強(qiáng)調(diào)對知識意義的理解,需要對知識所承載的思維方式、學(xué)科思想及所表達(dá)的情感、態(tài)度加以理解和內(nèi)化.故此,運(yùn)用任務(wù)規(guī)約從學(xué)生已有的統(tǒng)計知識出發(fā),讓學(xué)生先行運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想與方法深入思考,然后引導(dǎo)數(shù)據(jù)分析理解統(tǒng)計原理,最后轉(zhuǎn)化為卡方公式中核心部分的推導(dǎo),使學(xué)生在最大程度上產(chǎn)生對公式和獨(dú)立性檢驗思想的理解.避免了去過程、去證據(jù)、去背景的學(xué)習(xí)而導(dǎo)致學(xué)生對新知識的理解斷層.

2.2 多元任務(wù)引導(dǎo)模型運(yùn)用,自主選擇情境建模從而獲得知識的意義增值、思維的轉(zhuǎn)化

模型適用的情境應(yīng)該是多元的,調(diào)查的對象也可以是多方的,解決問題的工具也能夠是多種的.故此,在不限情境、不限對象的范圍和數(shù)量、不限解決問題的工具前提下,創(chuàng)設(shè)多元任務(wù)有助于促進(jìn)學(xué)生對模型的深入思考.

多元任務(wù):以小組為單位選擇一個你們感興趣的主題進(jìn)行獨(dú)立性研究,并按要求給出研究報告.

(1)主題參考:可以參考以下主題或自主選擇主題,但是所研究的主題必須是關(guān)于兩個分類變量的關(guān)系問題.有多大的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)與物理有關(guān)系;有多大的把握認(rèn)為喜歡甜食與性別有關(guān)系;有多大的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)系.

(2)數(shù)據(jù)收集工具參考:問卷星、QQ 數(shù)據(jù)收集等(學(xué)校、年級、物理優(yōu)/不優(yōu);數(shù)學(xué)優(yōu)/不優(yōu).要注意給出各分類變量的定義)

(3)報告要素參考:調(diào)查對象范圍及數(shù)量;調(diào)查的圖表分析(問卷星圖、二維聯(lián)表等);調(diào)查的數(shù)據(jù)分析;調(diào)查的結(jié)論等.

設(shè)計意圖:學(xué)生的深度學(xué)習(xí),需要教師深度教學(xué)的引導(dǎo).通過以上三點(diǎn),把建模任務(wù)的要求和操作步驟細(xì)化,讓小組研究工作更切實可行.學(xué)生在多元情境的選擇中,選擇自己感興趣的情境進(jìn)行建模,建模過程實際就是書本知識的“自我加工”,從而促成書本知識向個人知識的轉(zhuǎn)化,即是對書本知識的個人化理解、自我建構(gòu)并獲得知識的意義增值.同時讓學(xué)習(xí)思維從認(rèn)知理解到理性思辨、創(chuàng)造性思維、問題解決等相對復(fù)雜的高階思維轉(zhuǎn)化,達(dá)成知識向核心素養(yǎng)的提升.

在多元任務(wù)的布置下,學(xué)習(xí)小組不再做同一個研究,而是根據(jù)自己小組的興趣選擇不同的研究來完成.研究可以多方解答、百花齊放,但與此同時也暴露出對模型認(rèn)知的缺漏.下面給出兩份存在問題的報告案例:

學(xué)生報告1:主題研究數(shù)學(xué)和物理的學(xué)習(xí)是否存在關(guān)系

定義以級前100 名為數(shù)學(xué)優(yōu)秀;級前70 名為物理優(yōu)秀,抽取高一級3、4 班的數(shù)學(xué)和物理成績.

建立二維聯(lián)表如下:

?

統(tǒng)計圖:略

查表可得:只有50%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和物理學(xué)習(xí)有關(guān)系.

學(xué)生報告2:主題課外閱讀對語文成績是否存在關(guān)系

定義從本學(xué)期到期中考,課外閱讀書籍大于或等于3 本為閱讀充分;語文成績在本次期中考位于班級前十為優(yōu)秀.抽樣范圍:本班同學(xué).

建立二維聯(lián)表如下:

?

統(tǒng)計圖:略

查表可得:只有50%的把握認(rèn)為課外閱讀對語文成績有影響

2.3 反思任務(wù)觸發(fā)模型檢驗,自主完善建模問題從而導(dǎo)向知識意義的升華、素養(yǎng)的深化

根據(jù)多元任務(wù)中出現(xiàn)的問題,布置反思任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生重新審視建模過程,從樣本抽樣、建模、解模到驗?zāi)５拿總€環(huán)節(jié)的知識要點(diǎn)、思想方法進(jìn)行梳理對比,追蹤歸納.

反思任務(wù):結(jié)合實際和經(jīng)驗分析得出的結(jié)論是否正確;如不正確請認(rèn)真分析每個環(huán)節(jié)找出問題出在哪里?從中能夠得出什么規(guī)律?發(fā)現(xiàn)什么問題?可參考以下方面分析.

(1)獨(dú)立性檢驗的是兩個分類變量是否有關(guān)系,重新回顧分類變量的概念,重新分析報告中的變量是否分類變量?

(2)采用何種抽樣方式,抽樣的對象、范圍和層次是否有針對性和充分性?

(3)數(shù)據(jù)計算是否有誤?

設(shè)計意圖:驗?zāi)Ｈ蝿?wù)布置,讓學(xué)生查找模型問題,修改模型并重新建模.針對以上兩個案例的問題,學(xué)生報告如下.

學(xué)生報告1:主題研究數(shù)學(xué)和物理的學(xué)習(xí)是否存在關(guān)系

發(fā)現(xiàn)問題:只有50%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)與物理學(xué)習(xí)有關(guān)系,也就是沒關(guān)系.但根據(jù)生活經(jīng)驗可感知數(shù)學(xué)與物理應(yīng)該是有關(guān)系的.問題出在哪里?

小組反思:分類變量概念理解不清,數(shù)學(xué)和物理不是一個分類變量.本研究的兩個分類變量應(yīng)該是數(shù)學(xué)是否優(yōu)秀與物理是否優(yōu)秀,并要先定義出數(shù)學(xué)和物理優(yōu)秀的排位.

學(xué)生報告2:主題課外閱讀對語文成績是否存在關(guān)系

發(fā)現(xiàn)問題:據(jù)生活經(jīng)驗可感知課外閱讀應(yīng)該是對語文成績有影響的.問題出在哪里?

小組反思:

(1)只收集了13 位同學(xué)的數(shù)據(jù),樣本少,不具有代表性；

(2)分類變量界定不清:課外書的厚度各有不同,閱讀量大于或等于3 本課外書不能作為閱讀充分的依據(jù).

在前面的指定任務(wù)中,學(xué)生以為自己已經(jīng)明白了獨(dú)立性檢驗的原理與應(yīng)用.但在建模過程中,有小組發(fā)現(xiàn)建模結(jié)果與自己生活經(jīng)驗不一致.通過查找在建模中出現(xiàn)的問題,從而反思自己對知識點(diǎn)的認(rèn)知和統(tǒng)計實踐中存在的缺漏.以上兩個案例在小組反思發(fā)現(xiàn)問題后,均要求重新調(diào)整,重新建模,從而引導(dǎo)學(xué)生研究中充分經(jīng)歷了從樣本抽樣、數(shù)據(jù)統(tǒng)計、識模、建模、解模到驗?zāi)５耐暾＿^程.

結(jié)語:以任務(wù)規(guī)約的建模作業(yè)設(shè)計有助于克服單一知識訓(xùn)練的局限性,有助于保證教學(xué)目標(biāo)的多維達(dá)成.所以,任務(wù)性規(guī)約的建模作業(yè)設(shè)計就是模型的自我完善,方法的自我形成和自我導(dǎo)向性的深度學(xué)習(xí),讓建模學(xué)習(xí)不再紙上談兵! 當(dāng)學(xué)生能把生活經(jīng)驗與知識相遇時;當(dāng)學(xué)生能用數(shù)學(xué)眼光觀察問題時;當(dāng)學(xué)生能運(yùn)用知識解決生活問題時,建模素養(yǎng)才真正達(dá)成!