吳淑娟

[摘? 要] 數(shù)學(xué)是一門高度抽象的學(xué)科，在面向初中學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，抽象往往意味著一對矛盾：從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度來看，正是因?yàn)槌橄?，?shù)學(xué)才能用最簡潔的語言與符號去描述最復(fù)雜的規(guī)律;從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看，也正是因?yàn)槌橄?，學(xué)生才感覺到數(shù)學(xué)難學(xué). 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展路徑概括為：結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，研究學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，選擇與學(xué)生生活關(guān)系密切的素材作為課程資源，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象的過程中，通過對數(shù)與形及其關(guān)系的研究，得到與學(xué)習(xí)內(nèi)容相一致的數(shù)學(xué)認(rèn)識，且最終能夠用數(shù)學(xué)語言將這種認(rèn)識表述出來.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)抽象;數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);發(fā)展途徑

不可否認(rèn)的一個(gè)事實(shí)是，數(shù)學(xué)是一門高度抽象的學(xué)科，數(shù)學(xué)所研究的數(shù)與形都是十分抽象的. 在面向初中學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，這種抽象往往意味著一對矛盾：從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度來看，正是因?yàn)槌橄?，?shù)學(xué)才能用最簡潔的語言與符號去描述最復(fù)雜的規(guī)律. 事實(shí)上，小到一個(gè)人的生活，大到國計(jì)民生，都可以用各種各樣的數(shù)學(xué)模型去描述，而這正是數(shù)學(xué)抽象的最終產(chǎn)物，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程本就應(yīng)當(dāng)是一個(gè)體會數(shù)學(xué)抽象的過程. 從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看，也正是因?yàn)槌橄?，學(xué)生才感覺到數(shù)學(xué)難學(xué). 初中學(xué)生的思維方式多數(shù)以形象思維為主，在面對抽象的數(shù)與形時(shí)，學(xué)生思維加工出現(xiàn)困難幾乎是必然的事情. 通過這樣一個(gè)矛盾的分析就可以發(fā)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師的一個(gè)主要任務(wù)就是協(xié)調(diào)好這個(gè)矛盾，既要讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)必然是抽象的，又要讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程不完全是抽象的. 從形象到抽象，應(yīng)當(dāng)是建立數(shù)學(xué)概念或規(guī)律的一個(gè)基本途徑，而這本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程. 當(dāng)前的學(xué)科教學(xué)強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)然就是為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 有人將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)界定為“學(xué)生通過學(xué)習(xí)要逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力”. 在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素中，數(shù)學(xué)抽象名列第一，從某種程度上講，數(shù)學(xué)抽象實(shí)際上是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要基礎(chǔ)，因此數(shù)學(xué)教師要想方設(shè)法去發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，而這顯然離不開一個(gè)具體的途徑.

數(shù)學(xué)抽象是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容

什么是數(shù)學(xué)抽象？從科學(xué)定義的角度來看，數(shù)學(xué)抽象是對空間形式和數(shù)量關(guān)系的抽象. 這樣一個(gè)定義與數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征是吻合的，因?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)原本就是研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的，而對這兩者的研究過程都是從形象走向抽象的過程. 一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)抽象大體經(jīng)由簡約階段、符號階段、普適階段等三個(gè)基本階段形成. 數(shù)學(xué)抽象是抽象的下位概念，以教學(xué)形態(tài)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)抽象，遵循數(shù)學(xué)抽象的一般規(guī)律，同時(shí)又具有實(shí)物抽象、半符號抽象、符號抽象和形式化抽象四種表現(xiàn)形式. 這樣的界定超越了一般的經(jīng)驗(yàn)層面，對于數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)其從經(jīng)驗(yàn)走向?qū)W術(shù)、走向智慧，同時(shí)也為數(shù)學(xué)抽象的具體教學(xué)提供了數(shù)學(xué)學(xué)科前提和思維訓(xùn)練的教育基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)抽象是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，是總“閥門”. 這既是因?yàn)閿?shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成要素，也是因?yàn)樵趯W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，首先就是通過它去觸摸數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的. 如同上面所指出的那樣，數(shù)學(xué)抽象體現(xiàn)著數(shù)學(xué)學(xué)科最基本的特征，如果離開了數(shù)學(xué)抽象去談數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，那么無異于構(gòu)造空中樓閣.

與此同時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，除為了積累數(shù)學(xué)學(xué)科知識外，還為了發(fā)展自身的能力、提升自身的學(xué)習(xí)品質(zhì)，就是新課程改革中所強(qiáng)調(diào)的“用數(shù)學(xué)教”. 那么能力與品質(zhì)怎樣得到提升呢？這就需要教師給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)能夠體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象的空間，當(dāng)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識生成過程，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象時(shí)，學(xué)生眼中的“事物”就會抽象成“數(shù)”或“形”，“事物之間的聯(lián)系”就會抽象成“數(shù)的關(guān)系”或“空間‘形’式”. 如果能真正達(dá)到這個(gè)目的，那么數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展的途徑也就清晰了.

數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展路徑

從學(xué)理的角度來看，數(shù)學(xué)抽象可以理解為數(shù)學(xué)的基本思想，是反映現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律的基本方式. 由于抽象的過程必然會剝離一些無關(guān)要素，只會留下與核心、本質(zhì)相關(guān)的要素，因此數(shù)學(xué)抽象在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著獨(dú)特的、不可替代的作用. 結(jié)合上述分析，可以將數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展路徑概括為：結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，研究學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，選擇與學(xué)生生活關(guān)系密切的素材作為課程資源，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象的過程中，通過對數(shù)與形及其關(guān)系的研究，得到與學(xué)習(xí)內(nèi)容相一致的數(shù)學(xué)認(rèn)識，并且最終能夠用數(shù)學(xué)語言將這些認(rèn)識表述出來.

例如，在“軸對稱”這一內(nèi)容的教學(xué)中，筆者注意到教材中通常會列舉一些自然景觀、藝術(shù)作品、建筑物、交通標(biāo)志以及生活中的常見物品等，然后對這些例子具有的對稱特征進(jìn)行分析. 分析教材這一設(shè)計(jì)思路，對教師的啟發(fā)就是：教學(xué)前，要找學(xué)生熟悉的、能形成良好的直覺感知的例子進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì). 考慮到學(xué)生在生活中本身已建立起了對“對稱”的初步認(rèn)識，因此筆者教學(xué)設(shè)計(jì)的第一個(gè)任務(wù)就是：請學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)，尋找具有對稱特征的事物.

事實(shí)證明，初中學(xué)生對這個(gè)任務(wù)非常感興趣，他們會將目光投向自己的生活，投向自己眼前所看到的事物，然后就能指出很多鮮活生動的例子，比如人的外表、人的臉、黑板、長方形白紙、一雙鞋、一副手套……這些例子可以說是五花八門. 這里有一個(gè)非常重要的有價(jià)值的細(xì)節(jié)，那就是學(xué)生在指出這些例子時(shí)，會自發(fā)地進(jìn)行討論，而討論又伴隨著一個(gè)去偽存真的過程. 比如有學(xué)生指出“衣服”的例子，就有學(xué)生提出有些衣服是“不對稱”的. 這實(shí)際上是一個(gè)拓展，意味著學(xué)生在大腦中同時(shí)加工對稱與不對稱兩種事物.

這里加工的既是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程，又是一個(gè)對比的過程，學(xué)生會下意識地將所舉出的例子進(jìn)行簡化——這實(shí)際上就是去除非數(shù)學(xué)元素、留下數(shù)學(xué)元素的過程，也就是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程. 抽象到最后學(xué)生大腦中留下來的是簡化后的“形”，而通過對比又可以發(fā)現(xiàn)，這些“形”有的是對稱的，有的是不對稱的. 這時(shí)教師就可以追問：你判斷對稱或不對稱的依據(jù)是什么呢？這實(shí)際上就是將學(xué)生的直覺感知轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思考的過程，也伴隨著高度的數(shù)學(xué)抽象. 學(xué)生依然會通過抽象與對比，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：生活中常說的對稱也就是對折后能夠完全重合，而不對稱就是對折后不能夠完全重合. 要知道這只是學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象后運(yùn)用自己的語言進(jìn)行的概括，而這個(gè)概括事實(shí)上已經(jīng)高度接近于數(shù)學(xué)的軸對稱定義. 這也說明了上述學(xué)習(xí)過程是高效的！

在核心素養(yǎng)的背景下審視數(shù)學(xué)教學(xué)

很多的事實(shí)也確實(shí)能夠證明，只要給學(xué)生一個(gè)充分的思考空間，讓學(xué)生的思維有足夠形象的事物進(jìn)行加工，再加上數(shù)學(xué)問題的驅(qū)動，那么學(xué)生在這樣的一個(gè)過程中，無論是有意識還是無意識，最終的學(xué)習(xí)過程與結(jié)果都會走向抽象. 因此從這個(gè)角度來看，初中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，對數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)歷有著必然性.

數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的第一個(gè)組成要素，所體現(xiàn)出來的是其基礎(chǔ)性地位. 而今天的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，顯然要在核心素養(yǎng)的背景下進(jìn)行思考. 作為教師，既要尋找到有效的核心素養(yǎng)的培育途徑，又要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果結(jié)合核心素養(yǎng)要素進(jìn)行評價(jià). 因此在核心素養(yǎng)的背景下審視當(dāng)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)當(dāng)意味著一些重要的變化必然會發(fā)生. 以數(shù)學(xué)抽象為例，教師就不能替代學(xué)生的思維與努力，而應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生去經(jīng)歷一個(gè)充分的數(shù)學(xué)抽象過程. 大量的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，只要學(xué)生有了這樣一個(gè)空間，能夠經(jīng)歷這樣一個(gè)過程，那么養(yǎng)成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)就是有保障的.

總體而言，教學(xué)抽象實(shí)際上體現(xiàn)了人類活動的最基本的特征. 無論是從教學(xué)的角度來看，還是從教學(xué)研究的角度來看，初中數(shù)學(xué)教師都要從數(shù)學(xué)抽象的背景、產(chǎn)生、內(nèi)容、方法和形式等方面探究數(shù)學(xué)抽象活動的過程與結(jié)果、形式與實(shí)質(zhì)之間的思辨關(guān)系，而這正是深化數(shù)學(xué)教育理論研究的需要. 面向?qū)W生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，只有滿足了這種需要，才能讓初中數(shù)學(xué)教學(xué)真正置于核心素養(yǎng)的培育環(huán)境，才能為初中數(shù)學(xué)教學(xué)開辟出一條新的途徑. 這條途徑的一端連接著當(dāng)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，另一端指向數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地. 筆者對這條途徑的探索才剛剛邁出第一步，以上只是為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象的發(fā)展做了最初步的探究，對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)同行，希望能夠起到拋磚引玉的作用.