黃安錦

[摘? 要] APOS理論關(guān)注學(xué)生怎么學(xué)和怎么幫助學(xué)生去學(xué)兩個(gè)核心問(wèn)題，讓數(shù)學(xué)概念知識(shí)的生成和發(fā)展的過(guò)程與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的生成過(guò)程自然融合，文章就相關(guān)理論的認(rèn)識(shí)及教學(xué)中的實(shí)踐設(shè)計(jì)進(jìn)行探索.

[關(guān)鍵詞] APOS理論;數(shù)學(xué)概念;算術(shù)平方根

問(wèn)題的源起

在日常教學(xué)中，有些教師容易忽略概念的生成，通過(guò)簡(jiǎn)單的例子講解直接拋出定義，更重視概念的機(jī)械識(shí)記和重復(fù)的練習(xí)鞏固. 學(xué)生未曾經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，很難理解概念，甚至混淆概念. 概念教學(xué)包括了概念的生成、理解、保持和應(yīng)用四個(gè)環(huán)節(jié)，當(dāng)前教學(xué)中教師更側(cè)重于概念的應(yīng)用，而概念的生成環(huán)節(jié)往往會(huì)被忽略. 在初中概念教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的抽象與歸納能力沒(méi)有得到發(fā)展，容易造成概念記得住，就是用不好的現(xiàn)象. 新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基本概念的理解，核心概念貫穿教學(xué)，并幫助學(xué)生構(gòu)建基本的知識(shí)體系，逐步加深對(duì)核心概念的理解，掌握其中蘊(yùn)含的基本思想，最終發(fā)展成為學(xué)生終身受用的學(xué)科素養(yǎng).

杜賓斯基等人在建構(gòu)主義理念基礎(chǔ)上通過(guò)實(shí)踐研究提出了APOS理論，他們認(rèn)為概念的形成要重視“學(xué)生怎么學(xué)習(xí)概念”以及“怎樣才能幫助學(xué)生去學(xué)好概念”，該理論由活動(dòng)、過(guò)程、對(duì)象和圖示四階段組成（如圖1），凸顯“學(xué)生的主體性和教師的主導(dǎo)性”.

以“算術(shù)平方根”為例的教學(xué)實(shí)踐

1. 活動(dòng)階段——問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)

在活動(dòng)階段中，教師通過(guò)問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生參與操作，讓學(xué)生在操作過(guò)程中回顧與新概念學(xué)習(xí)相關(guān)的前知識(shí)，觸發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓新概念在實(shí)際中顯現(xiàn)和概化，為情境的抽象和概念的生成奠定基礎(chǔ). 在這個(gè)過(guò)程中，問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)一定要注意數(shù)量和難度上的雙適度，既要給予學(xué)生充足的操作空間，也要找準(zhǔn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生“看得見(jiàn)、夠得著”，太難或太泛都不利于學(xué)生對(duì)概念生成過(guò)程的觀察、操作、反思和總結(jié).

（1）學(xué)習(xí)準(zhǔn)備

練習(xí)1：請(qǐng)說(shuō)出20以內(nèi)所有自然數(shù)的平方.

練習(xí)2：求出下列各式的值.

課前通過(guò)練習(xí)幫助學(xué)生回顧前面所學(xué)的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，為本節(jié)課教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展作好鋪墊，這也是學(xué)生對(duì)后面實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行操作思考的起點(diǎn).

（2）情境導(dǎo)入，引發(fā)認(rèn)知沖突

情境一：如圖2，請(qǐng)想辦法將下面兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)更大的正方形.

由于學(xué)生在前面學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)時(shí)接觸過(guò)此圖，所以好奇心和求知欲瞬間被激活了，很快就投入小組合作與討論中，最終得到以下幾種操作方案（如圖3）：

師：拼出來(lái)的這個(gè)大正方形的面積是多少？

生1：2.

師：設(shè)這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為x，那么x應(yīng)該滿足什么條件？

生2：x2=2.

生3：x一定是正數(shù).

師：那在前面的學(xué)習(xí)中，你能想辦法求出x的值嗎？

學(xué)生陷入沉思，嘗試用已知的知識(shí)解決問(wèn)題未果.

師：上面的問(wèn)題能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述？

生4：已知正數(shù)x的平方等于2，求x的值.

師：我們帶著這個(gè)問(wèn)題進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)這個(gè)數(shù).

2. 過(guò)程階段——探究體驗(yàn)的過(guò)程

過(guò)程階段是數(shù)學(xué)概念生成的重要環(huán)節(jié)，在此階段中，教師通過(guò)活動(dòng)設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探索、小組合作等形式對(duì)具體的問(wèn)題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和分析，并對(duì)學(xué)生探索的方向和方法提供適度的指導(dǎo). 學(xué)生親歷數(shù)學(xué)概念從具體化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抽象化的概述，從特殊情況的探索轉(zhuǎn)化為對(duì)一般情況的思考，從文字語(yǔ)言的描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)化的表示，從對(duì)新知識(shí)的感性認(rèn)知轉(zhuǎn)化為理性認(rèn)知的生成過(guò)程，圍繞問(wèn)題積極思考、嘗試探究、交流反思、歸納總結(jié)，最終形成數(shù)學(xué)概念.

（1）設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)主動(dòng)探索

師：算術(shù)平方根是什么？它與我們所學(xué)過(guò)的知識(shí)有何聯(lián)系？我們能否從現(xiàn)實(shí)生活中通過(guò)我們已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)算術(shù)平方根的概念進(jìn)行概括？應(yīng)該從什么地方入手去探索這個(gè)新的概念？

生5：上面的例子中“一個(gè)正數(shù)的平方等于2”，我們前面學(xué)過(guò)平方的運(yùn)算，能不能從平方運(yùn)算入手去試試看？

師：好，那我們就從特殊的正方形面積和邊長(zhǎng)來(lái)看看能否解決上面的問(wèn)題？

情境二：你能根據(jù)某正方形的邊長(zhǎng)求出這個(gè)正方形的面積嗎？

生6：簡(jiǎn)單，邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=面積.

師：很好，那請(qǐng)根據(jù)已知條件填寫表1. （引導(dǎo)學(xué)生填表，并引入新情境）

情境三：為了布置教室，小明想剪出一塊面積為36dm2的正方形彩紙，用于剪紙?jiān)O(shè)計(jì)，請(qǐng)問(wèn)這塊正方形彩紙的邊長(zhǎng)應(yīng)取多少比較合適？

生7：這塊正方形彩紙的邊長(zhǎng)應(yīng)該為6dm.

師：為什么？

生8：因?yàn)?2=36，所以應(yīng)該為6dm.

師：很好，那如果小明需要剪出的正方形的面積是4dm2、25dm2、100dm2、dm2呢？

（引導(dǎo)學(xué)生填表2）

師：上面兩個(gè)表中的運(yùn)算有什么關(guān)系？

生9：表1是已知邊長(zhǎng)求面積，表2是已知面積求邊長(zhǎng)，它們是互逆的.

師：上面的例子中，已知x2=a，a叫做x的平方，那么x叫做a的什么呢？

很多學(xué)生脫口而出：算術(shù)平方根.

師：怎樣正確描述算術(shù)平方根呢？請(qǐng)從課本中找出相關(guān)的概念.

板書(shū)課題，展示算術(shù)平方根的定義（暫不引出符號(hào)表示）.

（2）初步應(yīng)用，了解概念

師：請(qǐng)同學(xué)們相互談?wù)摚谐鲆粋€(gè)數(shù)，并嘗試說(shuō)出這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根. （學(xué)生活動(dòng)）

師：在所有的數(shù)中，有個(gè)數(shù)非常特別，并通過(guò)多媒體出示“0”，請(qǐng)問(wèn)它有算術(shù)平方根嗎？如果有，它的算術(shù)平方根是多少？

生10：沒(méi)有.

生11：有，因?yàn)?2=0，所以0的算術(shù)平方根是0.

其他學(xué)生恍然大悟，教師通過(guò)多媒體展示“0的算術(shù)平方根是0”.

練習(xí)1 填空題.

因?yàn)?2=25，所以5是25的________;

因?yàn)椋? ）=100，所以____是____的算術(shù)平方根.

練習(xí)2 求出下列各數(shù)的算術(shù)平方根.

①4 ②25 ③0.81 ④

教師對(duì)例2中“求900的算術(shù)平方根”進(jìn)行示范解答并板演，強(qiáng)調(diào)答題規(guī)范性.

（3）引入符號(hào)，追尋本源.

師：有沒(méi)有什么辦法可以讓上面的求某個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的解答過(guò)程更加簡(jiǎn)潔？

生10：可以像平方一樣用符號(hào)來(lái)表示算術(shù)平方根.

師：很好，用符號(hào)來(lái)描述一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根既簡(jiǎn)潔又方便. 歷史上古人曾用不同的符號(hào)描述算術(shù)平方根，直至17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)造了“”，它的出現(xiàn)得到了數(shù)學(xué)界的公認(rèn)，一直沿用至今. 一般地，我們把a(bǔ)（a≥0）的算術(shù)平方根記為，讀作“根號(hào)a”，例如5的算術(shù)平方根可寫成，例2中“900的算術(shù)平方根是30”可以寫成“=30”.

練習(xí)3 求下列各式的值.

3. 對(duì)象階段——交流形成的對(duì)象

本階段是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)特征的重要環(huán)節(jié)，也是教師指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探究并加深對(duì)概念理解的環(huán)節(jié). 本環(huán)節(jié)主要由師生共同開(kāi)展活動(dòng)完成. 在上一階段得出概念后，教師通過(guò)變式練習(xí)或探究活動(dòng)幫助學(xué)生完善對(duì)概念的理解，從新的角度或其他非本質(zhì)特征辨析概念，以凸顯新概念的本質(zhì)特征. 教師在本階段中應(yīng)注重學(xué)生對(duì)新概念本質(zhì)和規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)活動(dòng)中及時(shí)反饋學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，把握寶貴的可再生知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在辨析中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，并嘗試通過(guò)探索分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，促使學(xué)生對(duì)新概念的鞏固并嘗試應(yīng)用.

在練習(xí)3中，教師通過(guò)巡視，發(fā)現(xiàn)第4小題有部分同學(xué)的答案為“= -2”，通過(guò)實(shí)物投影展示，并提出思考：=-2，大家對(duì)這題答案有異議嗎？

很快就有學(xué)生搶答：負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根.

教師緊接著通過(guò)多媒體出示問(wèn)題：“（1）負(fù)數(shù)有平方根嗎？為什么？（2）一個(gè)數(shù)如果有算術(shù)平方根，它需要滿足什么條件？”教師組織學(xué)生小組內(nèi)討論并得出答案：任何正數(shù)都有一個(gè)算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0，負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根. 一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根同樣是非負(fù)數(shù);當(dāng)a≥0時(shí)，≥0.

練習(xí)4 判斷題.

①16的算術(shù)平方根是4;

②因?yàn)椋?3）2=9，所以9的算術(shù)平方根是-3;

③5是-25的算術(shù)平方根，9的算術(shù)平方根是-3;

④100的算術(shù)平方根是10，0.1的算術(shù)平方根是0.01.

練習(xí)5 解答題.

①的算術(shù)平方根是多少？

②下列各式是否有意義，為什么？

-

教師組織學(xué)生自主練習(xí)，并通過(guò)抽查提問(wèn)反饋學(xué)生答題情況. 對(duì)于學(xué)生答題中的錯(cuò)誤，通過(guò)小組幫扶和全班辨析加以解惑，讓學(xué)生的錯(cuò)誤反饋形成再生知識(shí)，輻射到其他可能對(duì)算術(shù)平方根特性不熟悉的學(xué)生上. 教師也應(yīng)根據(jù)題目中的特例加以強(qiáng)調(diào)，如：“正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，所以即使（-3）2=9，9的算術(shù)平方根是3而非-3”“-是指2的算術(shù)平方根的相反數(shù)，所以該式有意義”“判斷一個(gè)根式是否有意義，不要只關(guān)心根號(hào)里面有沒(méi)有負(fù)號(hào)，而要看清被開(kāi)方數(shù)是否為非負(fù)數(shù)”等等，并對(duì)題目進(jìn)行變式訓(xùn)練，讓學(xué)生從非本質(zhì)特性中找到算術(shù)平方根的本質(zhì)，深入對(duì)新概念的理解和應(yīng)用.

練習(xí)6 =_________，

=_________，

-=_________.

練習(xí)7 若有意義，那么a_____（填取值范圍）.

4. 圖示階段——概括形成的圖示

本階段旨在讓學(xué)生從認(rèn)知結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生新概念，幫助學(xué)生構(gòu)建綜合心理圖示，擴(kuò)展新概念的外延，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的掌握和應(yīng)用. 教師在此階段中，應(yīng)通過(guò)綜合訓(xùn)練和課堂小結(jié)，一方面將學(xué)生新學(xué)概念與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來(lái)，對(duì)本節(jié)課的相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行綜合思考;另一方面通過(guò)課堂小結(jié)，幫助學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單的思維導(dǎo)圖或結(jié)構(gòu)圖示鞏固對(duì)新概念定義及其本質(zhì)特征的理解，讓本節(jié)課知識(shí)得以延續(xù)和拓展.

練習(xí)8 若x-5的算術(shù)平方根是3，那么x=_______.

練習(xí)9 計(jì)算.

①（-1）2+-

②+（-）

練習(xí)10 已知5是a+2+1的算術(shù)平方根，那么a=_______.

課堂小結(jié)：

（1）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有何收獲？

（2）表示什么意義？

（3）請(qǐng)根據(jù)今天所學(xué)內(nèi)容繪制知識(shí)結(jié)構(gòu)圖樣，說(shuō)說(shuō)你掌握本節(jié)知識(shí)的做法.

（出示知識(shí)結(jié)構(gòu)圖（圖4），加深學(xué)生理解）

通過(guò)練習(xí)和師生共同小結(jié)，學(xué)生對(duì)算術(shù)平方根的概念和意義有了更深刻的理解，也掌握了如何判斷一個(gè)有理數(shù)是否存在算術(shù)平方根及如何去求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根，學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)得以生成和發(fā)展.

結(jié)語(yǔ)

杜賓斯基說(shuō)過(guò)：“學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念需要進(jìn)行心理建構(gòu)，只有在自身已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，主動(dòng)建構(gòu)新知識(shí)的意義，才能達(dá)成理解.”APOS理論的提出喚起了對(duì)如何開(kāi)展數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的新一輪思考，它還指出教師在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中要關(guān)注到學(xué)生的心理構(gòu)建過(guò)程，由“教會(huì)學(xué)生如何做”轉(zhuǎn)向“教會(huì)學(xué)生如何學(xué)”. APOS理論強(qiáng)調(diào)學(xué)生在教師的精心設(shè)計(jì)情境引導(dǎo)下，主動(dòng)參與學(xué)習(xí)并通過(guò)同伴互助、自主探索等形式掌握新概念的本質(zhì)特征，讓學(xué)生成為課堂真正的“主人”，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中自然養(yǎng)成.