李海波

[摘? 要] 數(shù)學是一門“模型”的科學. 數(shù)學模型學習能力是學生數(shù)學學習能力的重要標識，也是學生數(shù)學模型素養(yǎng)的重要標識. 在初中數(shù)學教學中，教師要引導學生數(shù)學模型認知、數(shù)學模型修正和數(shù)學模型遷移. “模型認知”有助于促進學生模型理解，“模型修正”有助于促進學生模型建構(gòu)，“模型遷移”有助于促進學生模型應(yīng)用. 數(shù)學模型認知、理解、建構(gòu)、完善、遷移、應(yīng)用等都有助于學生數(shù)學模型創(chuàng)新.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學;模型理解;模型建構(gòu);模型應(yīng)用

數(shù)學是一門“模型”科學. 一切數(shù)學概念、法則、公理、定理等，從最寬泛的意義上說，都是數(shù)學模型. 在初中數(shù)學教學中，教師要引導學生模型認知，促進學生模型建構(gòu)，助推學生模型應(yīng)用. 借助于模型認知、模型建構(gòu)和模型應(yīng)用，促進學生建模思想、建模素養(yǎng)的生成. 正如東北師范大學史寧中教授所說，“數(shù)學的核心素養(yǎng)主要有三：抽象、推理和建?！盵1]. 數(shù)學模型的認知、建構(gòu)與應(yīng)用，能有效地提升學生的學習能力，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

在“模型認知”中促進學生模型理解

模型認知是學生建構(gòu)數(shù)學模型的基礎(chǔ). 學生學習數(shù)學，首先就是對各種數(shù)學模型的認知. 模型認知，不是教師直接地呈現(xiàn)數(shù)學模型讓學生認識，而是學生在教師的引導下對數(shù)學模型的產(chǎn)生、發(fā)展的認識. 完整的模型認知，應(yīng)當引導學生重新蹈入人類探索數(shù)學模型的關(guān)鍵步子，引導學生思考人類在模型建構(gòu)中所提出的相關(guān)問題，從而助推學生對數(shù)學模型深度認知和理解. 可以這樣說，對數(shù)學模型的認知模糊會直接影響著學生數(shù)學學習的效能.

模型認知是一個逐步深化的過程. 在初中數(shù)學教學中，教師不僅要引導學生把握模型內(nèi)容，更要引導學生把握模型形式;要讓學生自主提出相關(guān)的建模問題，自主思考相關(guān)的建模問題. 初中數(shù)學模型非常豐富，常見的有方程（組）模型、不等式模型、函數(shù)模型和幾何模型等，這些模型貫穿學生數(shù)學學習的始終. 以方程模型的認知為例，引導學生認識方程模型，不僅是讓學生認識各種不同的方程模型，重點是引導學生經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學問題并進行解釋和應(yīng)用的過程. 具體言之，認識方程模型，關(guān)鍵是引導學生將實際問題提煉、抽象、轉(zhuǎn)化成一元一次方程、一元二次方程、方程組和分式方程等. 以人教版七年級上冊的“一元一次方程”模型的建構(gòu)為例，教學中教師給學生提供了許多生活化的素材，比如行程問題、盈虧問題等. 將實際問題抽象、提煉成數(shù)學問題，關(guān)鍵是要讓學生把握實際問題中蘊含的數(shù)量關(guān)系. 當學生在學習中借助于相關(guān)的、豐富的資源、素材等建構(gòu)成方程模型后，教師就可以著力引導學生解方程. 模型認知是學生認識世界的基礎(chǔ). 可以這樣說，學生頭腦中的數(shù)學模型越豐富，學生解決實際問題的能力就會越強.

數(shù)學模型的認知關(guān)鍵是對數(shù)學模型本質(zhì)的認識和理解，對數(shù)學模型中蘊含的相關(guān)關(guān)系的熟悉和掌握. 數(shù)學模型的形成，是建立在學生對相關(guān)問題、素材、資源等的收集、提取、分析的基礎(chǔ)上的. 學生只有深刻地認識了數(shù)學模型，才能對數(shù)學模型的意義和價值形成深刻的、持久的體認.

在“模型修正”中促進學生模型建構(gòu)

學生學習數(shù)學的過程不僅是模型的認知過程，更是模型的建構(gòu)過程. 學生對數(shù)學模型的建構(gòu)不是一蹴而就的，而是一個循序漸進的過程. 在這個過程中，學生需要不斷地對數(shù)學模型進行修正，從而促進數(shù)學模型不斷臻于完善;在這個過程中，教師還要引導學生進行模型辨識，要對數(shù)學模型進行宏觀和微觀的多層面思考與探究. 模型修正能促進學生模型建構(gòu).

應(yīng)該說，一個科學的、合理的數(shù)學模型往往能反映、解釋現(xiàn)實問題的形態(tài)、特征和本質(zhì). 從某種意義上說，一個數(shù)學模型的建立是要經(jīng)過形成、修正、實踐、再修正、再實踐的反復的過程的[2]. 作為教師，要引導學生積極主動地質(zhì)疑、批判，培養(yǎng)學生的反思意識和態(tài)度. 在這個過程中，教師要善于激發(fā)學生的認知沖突，利用學生的認知沖突引領(lǐng)學生建構(gòu)數(shù)學模型. 比如引導學生建構(gòu)“最短路線”模型時，教師從著名的“將軍飲馬”問題入手，引導學生將軍營抽象成一個點，將河流抽象成一根線，將“將軍飲馬”問題抽象、建構(gòu)成一個“最短路線”模型. 在這個過程中，通過諸多的軍營、河流的關(guān)系，教師不斷對“最短路線”模型進行補充、豐富、完善，從而幫助學生建立這一數(shù)學模型完善的解決思路. 比如有學生對兩點“同側(cè)關(guān)系”的“最短路線”問題進行了總結(jié)：首先明確同側(cè)的兩點;其次選取這兩點中的任意一點，然后以直線為對稱軸作該點的對稱點;再次連接對稱點和另一點，其與直線（即河流）的交點就是所求的點的位置. 這樣的一種模型建構(gòu)，充分應(yīng)用了學生的生活經(jīng)驗，讓學生自主探究問題的背后本質(zhì)，建立起能夠有效解決“這一類”問題的數(shù)學模型.

模型是人類認識世界、改造世界的工具. 在初中數(shù)學教學中，教師要找準學生數(shù)學建模的起點，把握好學生數(shù)學建模的具體學情，引導學生積極建構(gòu)數(shù)學模型，主動修正數(shù)學模型，不斷地彌補數(shù)學模型，從而讓數(shù)學模型趨于完善. 實踐證明，好的數(shù)學模型有助于促進學生數(shù)學深度學習.

在“模型遷移”中促進學生模型應(yīng)用

盡管數(shù)學模型對于學生的數(shù)學學習來說具有普適性的意義，但在具體應(yīng)用數(shù)學模型的過程中，不同的數(shù)學問題、不同的現(xiàn)實情境面臨著不同的數(shù)學模型的應(yīng)用. 在初中數(shù)學教學中，教師要讓學生認識到數(shù)學模型的內(nèi)涵與外延，尤其是要把握“數(shù)學模型的應(yīng)用域”，引導學生積極地進行數(shù)學模型的遷移，促進學生數(shù)學模型的應(yīng)用. 數(shù)學模型的遷移不是數(shù)學模型的套用，而是要對現(xiàn)實問題和數(shù)學模型進行深度考量. 從中找到現(xiàn)實問題與數(shù)學模型的連接點、結(jié)合點等.

數(shù)學模型是學生數(shù)學學習過程的一種沉淀、生成. 從某種意義上來說，數(shù)學模型的認知、理解和建構(gòu)對數(shù)學模型的應(yīng)用有著重要的影響. 學生能否對數(shù)學模型進行有效的遷移、應(yīng)用、創(chuàng)新等，是學生數(shù)學模型素養(yǎng)的重要標識. 數(shù)學模型應(yīng)當指向哪里？數(shù)學模型指向的是現(xiàn)實應(yīng)用，指向的是問題解決. 一個數(shù)學模型，如果它不能解決相關(guān)的問題，或者它解決的問題較少，這樣的模型就不是“好的模型”. “好的模型”具有較強的包攝性、普適性. 作為數(shù)學教師，不僅要引導學生將數(shù)學模型應(yīng)用于問題解決之中，而且要通過對問題的適度變形，讓問題更適合應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學模型來解決. 從這個意義上來說，數(shù)學模型與數(shù)學問題的解決應(yīng)當是相輔相成、相互匹配、相互促進的. 在解決一些問題時，模型是隱形的，教師要善于歸納，善于顯化. 比如教學“相似三角形”這一部分內(nèi)容，當引導學生建構(gòu)相似三角形判定定理的相關(guān)數(shù)學模型后，學生展開了積極的實踐練習. 在實踐練習中，學生根據(jù)所做的一些練習題，重點總結(jié)出了具體化的模型應(yīng)用策略，如“A字形”“8字形”“雙垂直形”“母子形”“三垂直形”“手拉手形”等相關(guān)的數(shù)學模型. 如果說，相似三角形判定定理的數(shù)學模型的建構(gòu)有助于深化學生數(shù)學認知，那么這些數(shù)學模型的建立則有助于學生解決數(shù)學問題. 如果說，相似三角形判定定理的數(shù)學模型是人類生命實踐智慧的產(chǎn)物，那么這些具有具體性、操作性的數(shù)學模型則是學生數(shù)學生命實踐智慧的結(jié)晶. 盡管數(shù)學問題千變?nèi)f化，但萬變不離其宗. 善于在實踐、應(yīng)用中總結(jié)、提煉數(shù)學模型，有助于培育學生直觀的圖感、抽象的數(shù)感，能為學生綜合應(yīng)用相似三角形相關(guān)的判定模型奠定堅實的基礎(chǔ). 在實踐中總結(jié)、提煉數(shù)學模型，有助于學生發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造相似三角形，從而解決更加復雜的相關(guān)問題.

數(shù)學模型認知是數(shù)學模型理解的基礎(chǔ)，數(shù)學模型修正是數(shù)學模型建構(gòu)的關(guān)鍵，數(shù)學模型遷移是數(shù)學模型應(yīng)用的重要標識. 在數(shù)學教學中，教師要善于對相關(guān)的現(xiàn)實問題進行分析、推理，借助于模型予以證實或者證偽. 在學生的數(shù)學模型學習中，教師重點要引導學生認識數(shù)學模型的本質(zhì)特征、構(gòu)成要素及相互之間的聯(lián)系，引導學生把握數(shù)學模型與現(xiàn)實問題的關(guān)聯(lián)，促進學生對數(shù)學模型靈活的應(yīng)用.

數(shù)學模型認知是學生模型學習的起點，而數(shù)學模型建構(gòu)則是學生數(shù)學模型學習的關(guān)鍵，數(shù)學模型應(yīng)用是學生模型學習走向成熟的標識. 只有打好堅實的基礎(chǔ)，把握好關(guān)鍵、核心，才能引導學生抵達模型學習更高的起點. 數(shù)學模型認知、理解、建構(gòu)、完善、遷移、應(yīng)用等都有助于學生數(shù)學模型創(chuàng)新. 數(shù)學模型創(chuàng)新，不僅是學生解決數(shù)學問題的綜合能力的重要標識，而且是學生數(shù)學學習能力的重要標識，更是學生數(shù)學模型素養(yǎng)的重要標識.

參考文獻：

[1] 葉笛. 基于深度學習的初中科學課堂教學重構(gòu)[J]. 教學與管理，2019（22）：53-55.

[2] 程新展. 數(shù)學課堂問題情境引入設(shè)計的五個著力點[J]. 教學與管理，2020（10）：31-33.