刁志瑞 葉慧妍 盧 韞

[摘 ?要] 基于以往“解三角形應(yīng)用”課堂中容易出現(xiàn)例子斷裂分割，缺乏聯(lián)系而造成的學(xué)習(xí)障礙，文章將重新從數(shù)學(xué)建模的視角，通過(guò)設(shè)計(jì)完整的探險(xiǎn)故事，在問(wèn)題解決的過(guò)程中整體聯(lián)系解三角形應(yīng)用模型，從而培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)和建模能力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;解三角形的應(yīng)用;解三角形;教學(xué)設(shè)計(jì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出重視培養(yǎng)學(xué)生的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析. 數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生需要掌握的重要思想和能力. 數(shù)學(xué)建模構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活，生活聯(lián)系數(shù)學(xué)的重要形式. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地基于數(shù)學(xué)建模思想設(shè)計(jì)課程，將有助于讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美;同時(shí)利用數(shù)學(xué)建模過(guò)程充分發(fā)展學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)其良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

“解三角形的應(yīng)用”與現(xiàn)實(shí)生活有著密切聯(lián)系. 如何能夠?qū)?shù)學(xué)建模思想貫穿于課程中，又不顯得與生活脫節(jié)而無(wú)趣呢？為此，本文將基于數(shù)學(xué)建模思想，在“解三角形的應(yīng)用”一課中，通過(guò)創(chuàng)設(shè)有趣、完整的探險(xiǎn)故事，統(tǒng)領(lǐng)解三角形應(yīng)用的幾種數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生能夠在“問(wèn)題解決中學(xué)習(xí)”，實(shí)現(xiàn)在課程中培養(yǎng)建模思想和建模能力的目標(biāo).

教材分析

天文觀測(cè)、航海和地理測(cè)量是人類認(rèn)識(shí)自然的重要方面，而解三角形的理論在其中發(fā)揮了重要作用. 同時(shí)，數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上，受到天文測(cè)量、航海測(cè)量和地理測(cè)量等方面實(shí)踐活動(dòng)的推動(dòng)，解三角形的理論也得到不斷發(fā)展，并被用于解決許多測(cè)量問(wèn)題. 在初中，我們已經(jīng)能夠借助于銳角三角函數(shù)解決有關(guān)直角三角形的一些測(cè)量問(wèn)題. 然而在實(shí)際工作中我們還會(huì)遇到許多其他的測(cè)量問(wèn)題，這些問(wèn)題僅用銳角三角函數(shù)就不夠了，如：怎樣在航行途中測(cè)出海上兩個(gè)島嶼之間的距離？怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度？這些問(wèn)題的解決需要應(yīng)用本章學(xué)習(xí)的正弦定理與余弦定理.

本節(jié)內(nèi)容選自人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第一單元1.2節(jié)“解三角形應(yīng)用舉例”. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》指出“能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”，因此本節(jié)解三角形的應(yīng)用是在前面正弦、余弦定理學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步把其遷移到實(shí)際問(wèn)題的重要知識(shí)，是實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合的典型案例，能夠充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模在實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)勢(shì)和力量，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的重要教學(xué)內(nèi)容.

學(xué)情分析

1. 認(rèn)知基礎(chǔ)

本節(jié)課針對(duì)成績(jī)中等偏上的學(xué)生設(shè)計(jì)，在這之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、正弦定理和余弦定理，對(duì)這些內(nèi)容有比較透徹的理解，并且經(jīng)過(guò)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，具備一定的數(shù)學(xué)抽象能力.

2.認(rèn)知障礙

雖然已經(jīng)掌握正弦定理與余弦定理，但學(xué)生對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中解三角形的應(yīng)用還不熟悉，對(duì)于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的抽象與三角形模型的構(gòu)建存在一定困難，數(shù)學(xué)建模能力有待進(jìn)一步加強(qiáng).

教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：了解解三角形在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用;能夠利用解三角形相關(guān)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題.

2.過(guò)程與方法：通過(guò)講故事的學(xué)習(xí)形式，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中感受解三角形應(yīng)用的價(jià)值，感知數(shù)形結(jié)合、分類討論和數(shù)學(xué)建模的思想方法，豐富數(shù)學(xué)建模與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

教學(xué)重難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：解三角形的應(yīng)用.

2.教學(xué)難點(diǎn)：實(shí)際問(wèn)題中解三角形的建模方法.

教學(xué)過(guò)程

1. 復(fù)習(xí)引入

師：在之前的課程中，我們學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理及其證明，也鼓勵(lì)大家課下積極探索多樣的證明方式. 下面，我們首先復(fù)習(xí)一下這兩個(gè)定理.

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即==.

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.

師：事實(shí)上，正弦定理和余弦定理在實(shí)際測(cè)量中有許多應(yīng)用，尤其是古代. 下面，讓我們回到古代，使用古人的工具（測(cè)角儀和皮卷尺）來(lái)感受這兩個(gè)定理的魅力.

2. 情境探究

時(shí)間回到古代，這時(shí)候按照藏寶圖，你帶著測(cè)角儀、皮卷尺和指南針來(lái)到了一座小島上. 接下來(lái)，你將根據(jù)藏寶圖的指示，靈活使用手中的測(cè)量工具去尋找寶藏. 藏寶圖顯示，尋寶的起點(diǎn)是一棵有特殊標(biāo)記的高大樹(shù)木. 經(jīng)過(guò)比對(duì)，你走到了這棵樹(shù)的旁邊，打開(kāi)了藏寶圖……

指示1：（例題）請(qǐng)沿西南方向走一段距離，該距離為兩倍樹(shù)木高度，走過(guò)這段距離，你將看到一個(gè)瞭望臺(tái).

師：憑借手中的指南針，我們可以確定下一步走的方向，但如何用測(cè)角儀、皮卷尺測(cè)量樹(shù)高呢？（給出示范，如圖2）

師：測(cè)角儀可以測(cè)出視角，皮卷尺可以測(cè)出你與樹(shù)木之間的距離，這樣就構(gòu)成了已知一個(gè)銳角和一條直角邊的直角三角形，根據(jù)l1=d1·tanα求出樹(shù)木高度. 我們稱這種高度測(cè)量為“底部可到達(dá)”.

設(shè)計(jì)意圖：本題屬于解三角形中的基礎(chǔ)題型，主要目的是通過(guò)演示和簡(jiǎn)單講解，讓學(xué)生熟悉情境，并利用情境中已有的工具測(cè)量樹(shù)高，了解實(shí)際情境中解三角形的應(yīng)用概況，構(gòu)造三角形，尋找已知量. 本題只需要根據(jù)樹(shù)木與地面垂直的隱含條件構(gòu)造一個(gè)直角三角形即可求解，是高度測(cè)量中底部可到達(dá)的最容易的類型，用于熟悉情境和引入相對(duì)恰當(dāng).

指示2：請(qǐng)測(cè)量瞭望臺(tái)頂部高度，并向東走一段距離，該距離為五倍瞭望臺(tái)頂部高度. 在那里，你將隔著海面看到一座燈塔.

師：與上一個(gè)指示類似，這時(shí)你依然可以走到瞭望臺(tái)旁，但你需要測(cè)它的一部分高度，這種情況下，僅構(gòu)造一個(gè)三角形夠嗎？請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手試一試. 完成的同學(xué)可以上臺(tái)演示你的做法.

此時(shí)，需要構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，l2=d2（tanγ-tanβ）.

設(shè)計(jì)意圖：本題屬于解三角形中的基礎(chǔ)題型，代表了高度測(cè)量中的“底部可到達(dá)”，但未知量是建筑中的一部分，是第一個(gè)例題的變式，此時(shí)需要選擇. 此題依然不涉及復(fù)雜的推理過(guò)程，相對(duì)容易，主要目的是讓絕大多數(shù)學(xué)生體會(huì)從實(shí)際情境中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，并初步使用情境中給出的工具，體會(huì)測(cè)量中的數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值.

指示3：請(qǐng)你測(cè)量燈塔的高度，并沿著海岸向南走一段距離，該距離為三倍塔高. 在那里，你將隔?？吹揭凰矣屋?

師：此時(shí)，我們已經(jīng)不能測(cè)出燈塔與自己的距離. 要如何轉(zhuǎn)化呢？需要構(gòu)造幾個(gè)三角形呢？請(qǐng)同學(xué)們4人一組，進(jìn)行討論. 有想法的小組可以演示.

此時(shí)需要構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，根據(jù)三角形中的兩個(gè)等量關(guān)系可以求出兩個(gè)未知量，其中一個(gè)即為塔高l3. （m1+d3）tanα2=m1tanα1？圯m1=？圯l3=.

設(shè)計(jì)意圖：本題為測(cè)高度的第三種類型——底部不可達(dá)，相對(duì)前面兩題難度有提升. 仍需要構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，但此時(shí)觀察者不再是站在原地改變視角，而是通過(guò)改變自己的位置，創(chuàng)造出多個(gè)已知量，進(jìn)一步解決問(wèn)題. 這一情境是上一題的變式練習(xí)，通過(guò)這一問(wèn)題，學(xué)生對(duì)從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)構(gòu)造三角形應(yīng)有更深刻的認(rèn)識(shí).

指示4：你現(xiàn)在可以看到一艘大船了嗎？恭喜，你已經(jīng)離寶藏很近了——它就在船上. 但你還需要測(cè)量出船到岸邊的距離，來(lái)搭建一個(gè)上船需要的橋，你會(huì)怎么做呢？

師：在這個(gè)情境中，我們需要測(cè)量一段未知的距離. 現(xiàn)在僅有兩個(gè)點(diǎn)，我們需要構(gòu)造三角形嗎？如果要的話，需要構(gòu)造幾個(gè)三角形？請(qǐng)同學(xué)們4人一組，進(jìn)行討論. 有想法的小組可以演示.

l4待求，根據(jù)正弦定理有==？圯l4=.

設(shè)計(jì)意圖：本題為測(cè)兩點(diǎn)距離的第一種題型——有一點(diǎn)可達(dá)，相對(duì)基礎(chǔ). 通過(guò)此題，學(xué)生將感受到正弦定理在解決測(cè)量問(wèn)題中的應(yīng)用. 解決這一問(wèn)題只需要一個(gè)三角形，與上一題類似，難點(diǎn)在于學(xué)生需要通過(guò)改變自己的位置，創(chuàng)造出一條線段來(lái)構(gòu)造三角形. 本題構(gòu)造三角形與解三角形的方式也是為下面的練習(xí)做鋪墊.

指示5：你搭好了橋，走上大船. 當(dāng)你在船上準(zhǔn)備打開(kāi)寶箱時(shí)，突然看到遠(yuǎn)處一艘帆船上的一伙人試圖靠岸，他們向你尋求幫助：他們的船距離燈塔還有多遠(yuǎn)？

師：在這個(gè)情境中，我們?nèi)孕枰獪y(cè)量一段未知的距離. 現(xiàn)在有已知的兩個(gè)點(diǎn)，以及你腳下的一艘大船. 我們需要構(gòu)造三角形嗎？如果要的話，需要構(gòu)造幾個(gè)三角形？請(qǐng)同學(xué)們4人一組，進(jìn)行討論. 有想法的小組可以演示.

（提示：腳下的船可以不看做一點(diǎn)，你可以在上面移動(dòng)來(lái)創(chuàng)造線段）

AB長(zhǎng)度待求. 在△BCD中，根據(jù)正弦定理有=？圯BC=. 同理在△ACD中，AC=. 在△ABC中，根據(jù)余弦定理，有AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cos（β1-α2）？圯AB=.

設(shè)計(jì)意圖：此題是距離測(cè)量中的兩點(diǎn)均不可達(dá)情形，相對(duì)復(fù)雜. 本題需要至少三個(gè)三角形，在三個(gè)三角形中綜合使用正弦定理和余弦定理，進(jìn)一步將已知邊長(zhǎng)、角度與待求的線段長(zhǎng)聯(lián)系起來(lái)，多次轉(zhuǎn)化，較為靈活. 與之前的題目不同，此題構(gòu)造出三個(gè)三角形后，也衍生出了許多其他的與上述解法無(wú)關(guān)的三角形，也為一題多解創(chuàng)設(shè)了條件. 在構(gòu)造過(guò)程中可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行提示，構(gòu)造模型完成后也可以鼓勵(lì)學(xué)生使用多種解法.

完成以上5個(gè)指示以后，恭喜你成功登上藏有寶藏的船. 打開(kāi)寶箱，你看到一卷羊皮紙，上面寫(xiě)著：“恭喜你探險(xiǎn)者，你已經(jīng)擁有了世界上最難得的財(cái)富——數(shù)學(xué)的智慧！”

3.課堂小結(jié)

簡(jiǎn)單介紹解三角形在古代測(cè)量學(xué)中的應(yīng)用——測(cè)距、測(cè)高、測(cè)深，并根據(jù)課堂內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)：

（1）“1種應(yīng)用”——解三角形的應(yīng)用.

（2）“2種測(cè)量”——高度測(cè)量、距離測(cè)量.

（3）“3個(gè)定理”——正弦定理、余弦定理、勾股定理.

（4）“4個(gè)素養(yǎng)”——數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象.

（5）“5種分類”：

本節(jié)課中解三角形的知識(shí)應(yīng)用于高度測(cè)量與距離測(cè)量，可分為五種情形：

高度測(cè)量底部可達(dá)整體高度部分高度底部不可達(dá)：整體高度

距離測(cè)量一點(diǎn)可達(dá)兩點(diǎn)不可達(dá)

事實(shí)上，對(duì)于解三角形的應(yīng)用可總結(jié)出具體的方法和模型，請(qǐng)學(xué)生根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容，填寫(xiě)完成以下概念圖（圖7）.

4. 作業(yè)布置

（1）底部不可達(dá)的情況下，如何測(cè)量部分高度？請(qǐng)各小組課后進(jìn)行自主探究.

（2）情境：你發(fā)現(xiàn)在你的幫助下上島的人是海盜，他們也為寶藏而來(lái)，你要如何逃出這個(gè)島？請(qǐng)你根據(jù)這一情境，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生完成小結(jié)中框架圖的完善工作，使學(xué)科知識(shí)更加結(jié)構(gòu)化. 學(xué)生根據(jù)情境自己嘗試探索，提高提出問(wèn)題能力，培養(yǎng)發(fā)散思維.

實(shí)際上，數(shù)學(xué)建模過(guò)程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，完整的數(shù)學(xué)建?？赡茌^為費(fèi)時(shí)，難以在一節(jié)課中實(shí)施. 但是，這并不影響教師在日常教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想. 本節(jié)“解三角形的應(yīng)用”的教學(xué)創(chuàng)新在于并不是通過(guò)獨(dú)立的、割裂的、沒(méi)有聯(lián)系的多種習(xí)題講解如何應(yīng)用解三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，而是通過(guò)創(chuàng)設(shè)一個(gè)較為連貫的、有趣的、有具體情境的探險(xiǎn)故事，串聯(lián)解三角形的多種模型，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模過(guò)程的微小化.