○王文英

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》將“會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”作為素養(yǎng)目標(biāo)之一，說明數(shù)學(xué)語言對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及素養(yǎng)發(fā)展的重要性。

反觀當(dāng)下，由于教師對數(shù)學(xué)語言的重要性認識不充分，數(shù)學(xué)課堂重“練”輕“說”的情況還很普遍：學(xué)生會做題，卻不會有條理地表達思維過程；學(xué)生有發(fā)現(xiàn)，卻無法用恰當(dāng)?shù)姆绞矫枋霈F(xiàn)象；學(xué)生能明白，卻很難用簡潔的語言解釋交流……種種現(xiàn)象，暴露了數(shù)學(xué)語言能力培養(yǎng)的缺失。關(guān)注數(shù)學(xué)語言，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達是數(shù)學(xué)教學(xué)亟待思考并落實的問題。

一、數(shù)學(xué)語言的內(nèi)涵和意義

語言是人類用來表達和交流的重要工具。數(shù)學(xué)語言是自然語言的一種特殊的模式，一般分為文字語言、符號語言和圖形語言。

文字語言是數(shù)學(xué)化的自然語言，是對自然語言進行加工、改造之后形成的精確化的表達。如“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”“兩點之間線段最短”“三角形任意兩邊之和大于第三邊”……像這樣的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)事實和公理就是文字語言，與一般的文字語言相比，更加簡潔、完整和準(zhǔn)確。

符號語言是用字母、數(shù)字、運算符號、邏輯符號等表達數(shù)學(xué)的觀念，有自身特有的符號系統(tǒng)。數(shù)學(xué)家M·克萊因曾指出：“數(shù)學(xué)的另一個重要特征就是它的符號語言。如同音樂利用符號來代表和傳播聲音一樣，數(shù)學(xué)也用符號表示數(shù)量關(guān)系和空間形式?！睌?shù)學(xué)中公式、規(guī)律的表示，推理過程的記錄，幾何證明的過程都離不開符號語言。符號語言具有簡明扼要、高度概括的特征。

圖形語言是通過圖形的視覺形態(tài)來準(zhǔn)確地傳遞信息，它是一種視覺語言。數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計圖、解決問題時畫的線段圖或示意圖等，都是通過圖形傳遞信息，是圖形語言。圖形語言具有直觀、生動的特征。

數(shù)學(xué)語言與其他語言形式相比，其意義主要表現(xiàn)在以下三個方面：

1.更便于概括。

眾所周知，一個公式可以解決一類問題，一個字母表達式可以表示一類現(xiàn)象，數(shù)學(xué)語言的高度概括性讓數(shù)學(xué)充滿了無限魅力。比如，（a+b）×c=ac+bc表達了運算中的重要規(guī)律——乘法對加法的分配律。再如，所有正方形周長的計算都可以用C=4a表示。高度的概括性說明數(shù)學(xué)語言具有一般性。

2.更利于交流。

數(shù)學(xué)語言不會因教師的教學(xué)風(fēng)格、地域差異而改變，全國各地教材版本不同、語言不同，但數(shù)學(xué)的表達完全相同，尤其是符號語言，甚至可以跨越國界無阻礙地進行交流。如14:00，不同國籍的人們看到它都明白表示什么，便于交流。說明數(shù)學(xué)語言具有科學(xué)性和嚴謹性。

3.更助于理解。

相對于其他語言形式來講，數(shù)學(xué)語言的簡潔能夠幫助學(xué)生更好地理解教學(xué)內(nèi)容。如加法結(jié)合律，用文字表述為：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)，或者先把后兩個數(shù)相加，再與第一個數(shù)相加，它們的和不變。這樣表述顯然比較繁瑣，學(xué)生也難以理解。如果用（a+b）+c=a+（b+c）表示，學(xué)生不僅容易理解，而且能很快地記住。

數(shù)學(xué)語言不僅可以簡潔、準(zhǔn)確地描述數(shù)量關(guān)系和空間形式，構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，有助于解決問題，還可以解釋和預(yù)測日常生活中的不確定現(xiàn)象。諾貝爾獎得主、物理學(xué)家費格曼也曾說過：“若是沒有數(shù)學(xué)語言，宇宙似乎是不可描述的?！?/p>

二、如何指導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)學(xué)的語言”表達

1.強化用數(shù)學(xué)語言表達的意識。

學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的語言表達，首先需要強化意識。

第一，在生活與數(shù)學(xué)間搭建橋梁。一是引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)到的知識去描述現(xiàn)實情境。如教學(xué)“認識乘法”，學(xué)生掌握了“幾個幾”的表述之后，讓他們聯(lián)系生活舉例，“每個人有（2 個5）根手指”“小火車里共有（4 個6）人”……二是讓學(xué)生用生活現(xiàn)象去解釋數(shù)學(xué)知識。如教學(xué)“減法的性質(zhì)”，可以結(jié)合購物中付錢的情境，去解釋為何能“先加后減”——買了練習(xí)本、筆、橡皮之后，可以把買這些文具花的錢加起來，然后用付的錢去減。如果教師經(jīng)常這么做，就能有效增強學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達的意識。

第二，在不同語言形式間相互轉(zhuǎn)換。文字語言、符號語言和圖形語言是可以相互轉(zhuǎn)換的。轉(zhuǎn)換不僅可以促進語言表達能力的提高，還能夠幫助學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)和解決問題。如這道題：已知甲、乙兩個數(shù)的和是14.3，當(dāng)甲數(shù)的小數(shù)點向左移動一位時正好等于乙數(shù)，甲數(shù)是（ ），乙數(shù)是（ ）。如果將乙數(shù)看作a，上述文字轉(zhuǎn)換成10a+a=14.3，問 題就容易解決。再如：計算，如果轉(zhuǎn)換成用圖表示，就能直接轉(zhuǎn)化為，使計算變得簡便。這樣“互譯”可以幫助學(xué)生形成用數(shù)學(xué)語言表達的自覺性。

第三，在比較和抽象中嘗試歸納。當(dāng)學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中體會到數(shù)學(xué)語言的價值時，就能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中自覺使用。教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言歸納的過程。如探索“和的奇偶性”，教師首先引導(dǎo)學(xué)生對奇數(shù)和偶數(shù)的特征加以歸納：所有的奇數(shù)除以2 余數(shù)為1，所有的偶數(shù)除以2 余數(shù)為0，因此，兩數(shù)相加判斷奇偶的問題，事實上就是看余數(shù)相加的結(jié)果；偶數(shù)+偶數(shù)，除以2 余數(shù)依然為0，結(jié)果是偶數(shù)；奇數(shù)+奇數(shù)，除以2 余數(shù)為0，結(jié)果是偶數(shù)；奇數(shù)+偶數(shù)，除以2 余數(shù)為1，因此結(jié)果為奇數(shù)。用這樣的辦法推廣到幾個數(shù)相加，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：奇數(shù)個奇數(shù)相加，除以2 余數(shù)一定是1，結(jié)果是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)相加，除以2 余數(shù)是0，結(jié)果是偶數(shù)……最后歸納出：判斷和的奇偶性，只需要看加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)。一個看似復(fù)雜的問題，只用一句簡潔的話就能解決，這無疑能激勵學(xué)生去學(xué)習(xí)并運用。

2.創(chuàng)造用數(shù)學(xué)語言表達的機會。

首先，教師在課堂上應(yīng)留出足夠的時間，讓學(xué)生充分地表達。比如，新授學(xué)習(xí)時，說說自己的解決方案或猜想；經(jīng)歷探究之后，介紹如何探究，有什么發(fā)現(xiàn)；當(dāng)同伴發(fā)言之后，說說自己的意見。當(dāng)然，學(xué)生的表達可能毫無章法，教師需要有耐心，鼓勵學(xué)生講完。

其次，教師要善于捕捉學(xué)生對數(shù)學(xué)對象的多元表征，豐富學(xué)生的表達方式。如探索“乘法分配律”，師生共同歸納出字母式子（a+b）c=ac+bc后，教師追問：“這樣的現(xiàn)象是巧合，還是有科學(xué)依據(jù)？你能用學(xué)到的知識去解釋這樣的現(xiàn)象嗎？”有的學(xué)生用舉例的方式，有的學(xué)生聯(lián)系乘法的意義解釋，還有的學(xué)生用面積去說明（如圖）。

通過比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)舉例不能窮盡，這樣的解釋經(jīng)不起推敲，而用乘法意義或是用面積的方式更有說服力。可見，多元表征的呈現(xiàn)，既豐富了學(xué)生的認知，也促進了學(xué)生對不同數(shù)學(xué)語言表達方式的認識。

再次，教師可以組織相關(guān)的競賽展示活動，鍛煉學(xué)生的表達能力。筆者曾工作過的一所學(xué)校，每年都會舉辦“說思路”比賽，教師準(zhǔn)備多個實際問題，學(xué)生當(dāng)場抽簽，并在講臺前當(dāng)“小老師”，進行解題思路的講解。此項活動學(xué)生喜歡，同時也極大地鍛煉了學(xué)生的口頭表達能力。另外，學(xué)期末可以舉行口頭表達能力測試，教師結(jié)合本冊教材內(nèi)容，將公式推導(dǎo)、算理解釋及解題思路講述作為口試題目，學(xué)生抽簽接受測試。這樣的舉措，為學(xué)生營造了數(shù)學(xué)表達的濃厚氛圍。

3.有序為數(shù)學(xué)語言進階服務(wù)。

學(xué)生一般都會經(jīng)歷從“不會說”到“會說”、從說得不規(guī)范到規(guī)范表述、從說得不嚴謹?shù)娇茖W(xué)表達的過程。為此，教師要做好數(shù)學(xué)語言進階的規(guī)劃。對于低年級的學(xué)生，強調(diào)用完整的話表達。在描述圖意的時候，可以說“我看到（發(fā)現(xiàn)）圖上有……”；在表達自己的想法時，可以說“我是這樣想的……”；在表達不同意見時，可以說“我不同意××的想法，我的想法是……”。對于中年級的學(xué)生，要強調(diào)表達時有理有據(jù)，可以用“因為……所以……”的句式。而對高年級的學(xué)生，則要求表達時有條有理，教師可以提供表達的基本范式，也可以通過表揚的方式或幫助完善學(xué)生回答的方式，讓學(xué)生的語言表達能力實現(xiàn)逐層進階。

三、提高數(shù)學(xué)語言表達能力的三項措施

1.加強數(shù)學(xué)閱讀。

數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)應(yīng)該跟語文、英語的學(xué)習(xí)一樣，需要多閱讀、多積累。然而當(dāng)下，數(shù)學(xué)閱讀并未引起足夠的重視。一是數(shù)學(xué)課外讀物不夠豐富；二是數(shù)學(xué)閱讀難度較大，因為學(xué)生沒有數(shù)學(xué)知識的儲備，不具備一定的思維能力，面對數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)定理等，很難真正理解；三是缺乏相應(yīng)的閱讀指導(dǎo)。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)課外讀物進行長期閱讀，有了相應(yīng)的積累，學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達能力將會大幅提高。

2.撰寫數(shù)學(xué)論文。

十年前，筆者就開始關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)小論文的撰寫，指導(dǎo)學(xué)生將生活中觀察到的數(shù)學(xué)現(xiàn)象加以描述并進行分析，將獨特的解題思路寫下來并加以說明，將探究的過程逐一記錄并反思得失，指導(dǎo)學(xué)生發(fā)表了《我會辯證地看問題》《抓住不變量解決問題》《我和媽媽一起“做數(shù)學(xué)”》等系列小論文。這一舉措極大地激發(fā)了學(xué)生的興趣，在寫作、修改的過程中，數(shù)學(xué)語言表達能力也得到了培養(yǎng)。

3.開展主題式學(xué)習(xí)。

應(yīng)用意識是數(shù)學(xué)語言的主要表現(xiàn)之一，而主題式學(xué)習(xí)是應(yīng)用意識得以充分體現(xiàn)的重要方式。在主題式學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要有意識地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法，去解釋、解決現(xiàn)實世界中的問題，切身體會數(shù)學(xué)作為通用的科學(xué)語言在其他學(xué)科中的應(yīng)用。因此，這將是提高學(xué)生數(shù)學(xué)語言能力的另一重要途徑。